Гравитационное поле и поле Хиггса

[fizeg]

В том-то и дело, что по-моему никакого. А вот член Гиббонса-Хокинга таковой имеет - интеграл внешней кривизны поверхности. Плюс в форме $S_{EH}+S_{GH}$ действие очевидно общековариантно, в отличии от того лагранжиана (он же не тензор) Так что на Эйнштейна и Гильберта я бы сразу не отказывался)))

[Munin]

Так, а $S_{EH}+S_{GH}$ полностью выпишете?

-- 11.05.2015 17:42:42 --

fizeg в сообщении #1013331 писал(а):

Например весьма популярный
$L=g^{\mu\nu}\Big(\Gamma^\alpha_{\mu\beta}\Gamma^\beta_{\alpha\nu}-\Gamma^\alpha_{\alpha\beta}\Gamma^\beta_{\mu\nu}\Big)$
Однако Гиббонс с Хокингом и Йорк показали, что для самогласованного вариационного принципа Эйнштейн-Гильберт сам по себе не подходит и его нужно дополнить поверхностным членом, который как раз приводит его к лагранжиану выписанному выше.

Вот дополнение GHY (цит. по physics.SE):

$$I_{EH} + I_{GHY} = \frac{1}{2 \kappa^2} \int_{M}d^{d+1}x \sqrt{-g} R + \frac{1}{\kappa^2} \int_{\partial M} d^{d}x \sqrt{-h} K ~.$$

И чего я не вижу ни там, ни у Wald-а, это вычисления, как он приводит к названному вами лагранжиану. Это можно показать?

[SergeyGubanov]

fizeg в сообщении #1013331 писал(а):

Однако Гиббонс с Хокингом и Йорк показали, что для самогласованного вариационного принципа Эйнштейн-Гильберт сам по себе не подходит и его нужно дополнить поверхностным членом, который как раз приводит его к лагранжиану выписанному выше.

Сарданашвили Том 5 Гравитация, стр. 32-33:

Короче, пространство событий $M$ - некомпактное параллелизуемое. Прошу пояснить о какой ещё границе $\partial M$ вообще может всерьёз идти речь?

[fizeg]

Munin
Тот лагранжиан получается так. Вы расписываете $R$ через символы Кристоффеля, у вас получается два члена с производными. Вы эти производные по частям перебрасываете на $\sqrt{-g}g^{\mu\nu}$. При этом естественно выскочит граничный член

Посмотрев на него сейчас, я пожалуй откажусь от своего раннего утверждения об эквивалентности с Гиббонсом-Хокингом за исключением случая, когда на границе у вас нормальные координаты, т.е. $ds^2=g^{(3)}_{ab}dx^a dx^b - dy^2$, где $g^{(3)}$ - индуцированная метрика на границе, а $dy$ идет вдоль нормали. Само собой тоже нетривиальное ограничение.

[fizeg]

SergeyGubanov
Ага, если время завернуто в кольцо, то о какой причинности речь? Речь же идет о том, что в русскоязычной литературе более аккуратно называется многообразие с краем. Естественно я мог бы взять любое глобально гиперболичное пространство и сделать из него вырез (например по горизонтам событий), не нарушая причинной структуры. Мне может понадобиться резать пространство-время на части и для изучения дефектов, вроде тонких оболочек (будь это просто идеализация в реальности гладких распределений материи или фундаментальная поверхность). Да и не делая никаких вырезов меня может интересовать нетривиальное асимптотическое поведение метрики на бесконечности, вблизи сингулярностей итп.

[Munin]

fizeg в сообщении #1014372 писал(а):

за исключением случая, когда на границе у вас нормальные координаты

Блин, так кто-то из них ещё и не ковариантен?

[fizeg]

Значит так. Действие Эйнштейна-Гильберта очевидно инвариантно, член Гиббонса-Хокинга тоже. Выписанный мной лагранжиан не является скаляром, однако соответствующее действие отличается от действия Эйнштейна-Гильберта на поверхностный член,
$\int\limits_{\operatorname{boundary}}dS \sqrt{-g}n_\mu\Big(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}g^{\alpha\beta}-\Gamma^\alpha_{\alpha\nu}g^{\mu\nu}\Big)$
поэтому когда его можно выкинуть, оно тоже инвариантно. Когда на границе нормальные координаты, поверхностный член просто совпадает с $-S_{GH}$. Однако я не стану утверждать сейчас, что он действительно инвариантен и потому это и есть член Гиббонса-Хокинга. Очень вероятно, что я сомневаюсь зря и все срабатывает, но я бы перепроверил.

[SergeyGubanov]

fizeg, вот, кстати, по горизонтам событий "трудно" резать. Трёхмерная индуцированная метрика там вырождена $\sqrt{-h} = 0$. Эта беда касается всех изотропных гиперповерхностей. Эта беда даже выходит за пределы ОТО. Например, в обычной квантовой электродинамике надо уметь брать интегралы в плоском импульсном пространстве по трёхмерной гиперповерхности $p^2 = 0$, но трёхмерная индуцированная метрика этой гиперповерхности вырождена, интеграл "не определён".

По поводу поверхностного члена. Когда $R_4\sqrt{-g}$ разрывается на две части, то нековариантными являются обе. Нельзя нековариантную часть скомпенсировать ковариантной добавкой. Чтобы скомпенсировать нековариантную добавку нужна точно такая же нековариантная добавка. На сколько я понял $S_{GH}$ тоже разрывается на две нековариантных части. Первая нековариантная часть компенсирует нековариантный поверхностный член от $R_4\sqrt{-g}$, а другая нековариантная часть $S_{GH}$ улетает на границу границы $\partial \partial M = 0$.

[Munin]

fizeg в сообщении #1014492 писал(а):

Выписанный мной лагранжиан не является скаляром

Во! Спасибо. Жаль, красиво выглядит. А из скалярных самый популярный - остаётся Гильберта?

[kinoman84]

Munin
При чтении одной книги возник вопрос. Вот поле Хиггса нарушает симметрию между слабым и электромагнитным взаимодействием. А что означает понятие симметрии между этими взаимодействиями? В каком смысле они становятся неотличимыми, если переносчики различны? Чем вообще по структуре отличаются эти переносчики?

[Munin]

kinoman84 в сообщении #1015991 писал(а):

При чтении одной книги возник вопрос. Вот поле Хиггса нарушает симметрию между слабым и электромагнитным взаимодействием. А что означает понятие симметрии между этими взаимодействиями? В каком смысле они становятся неотличимыми, если переносчики различны? Чем вообще по структуре отличаются эти переносчики?

На эту тему есть большая книга
Рубаков. Классические калибровочные поля.

[kinoman84]

Munin
Уже целый список наметился по Вашим наводкам)

[Munin]

Это, на самом деле, книга, которую вы никогда не прочитаете. И вопрос этот никогда не поймёте. Она - серьёзный учебник.

[kinoman84]

А если так, зачем Вы тогда на неё ссылаетесь? В книге, которую Вы советовали к чтению, "Куда течет река времени?", приводится цитата - "Аналогии если и не дают полного представления о процессе, то помогают хотя бы примерно представить себе, как протекает этот процесс". Нет ли возможности "своими словами" объяснить, чем принципиально отличаются переносчики взаимодействия? В вышеупомянутой книге говорится, что сильное взаимодействие называют еще цветной силой, и сами переносчики имеют цвет, потому они могут излучать сами себя. Но структурно чем они отличаются от других переносчиков?

[Munin]

kinoman84 в сообщении #1016041 писал(а):

А если так, зачем Вы тогда на неё ссылаетесь?

Вы меня достали, и уже тянет над вами поиздеваться. Но вы этого даже не понимаете: благодарите за книгу, даже не открыв её.

А вопрос действительно такой, что вам его не объяснить никогда.

kinoman84 в сообщении #1016041 писал(а):

В книге, которую Вы советовали к чтению, "Куда течет река времени?", приводится цитата - "Аналогии если и не дают полного представления о процессе, то помогают хотя бы примерно представить себе, как протекает этот процесс".

На самом деле, не всегда вообще аналогии возможны, и даже в лучшем случае это "представить себе" - очень отдалённое и с ошибками.