Бесконечности нет

[Padawan]

Что будет, если из списка аксиом теории множеств убрать аксиому бесконечноcти $\exists a(\varnothing\in a\, \&\, \forall x (x\in a\Rightarrow x\cup \{x\}\in a))$? Как далеко можно продвинуться, развивая такую теорию множеств?

Например, теорему Кантора-Бернштейна можно доказать?

[Nemiroff]

axiom-of-infinity-needed-in-cantor-bernstein

[hurtsy]

Padawan в сообщении #977304 писал(а):

Например, теорему Кантора-Бернштейна можно доказать?

Я тоже буду ждать ответа от форума. Если можно, у меня вопрос по аксиоме. Так как, $x\in a \Rightarrow x \in a $ тавтология то можно ли сократить $x \in a \Rightarrow \{x\} \in a$? И ещё, о мощности $a$ в формуле ничего не сказано, не является ли это

Цитата:

Порочный круг

? Нельзя ли

Цитата:

огласить остаток списка

после устранения лишней? С уважением,

[kp9r4d]

hurtsy в сообщении #979882 писал(а):

Так как, $x\in a \Rightarrow x \in a $ тавтология то можно ли сократить $x \in a \Rightarrow \{x\} \in a$?

Очевидно, что нет. Каким образом вы сокращаете?

[Someone]

ZFC без аксиомы бесконечности имеет модель, состоящую из наследственно конечных множеств. По-моему, без неё аксиомы индукции будут недоказуемы, так что эта теория будет слабее арифметики.

[grizzly]

Оставлю здесь пару ссылок, которые, кажется, по теме: эту и вот эту. Жаль только, что я не сумею поучаствовать в их обсуждении :)
Буду благодарен за ответ на вопрос: правильно ли я понимаю, что в статье по первой ссылке утверждается, что в некотором смысле PA эквивалентна "ZF+аксиома отрицания бесконечности"? (Я понимаю, что "ZF+аксиома отрицания бесконечности" это намного проще, чем просто ZF без аксиомы бесконечности, о которой спрашивается в теме).

-- 22.02.2015, 20:29 --

Здесь отдельные кусочки мозаики выглядят чуть понятнее.

[Someone]

grizzly в сообщении #981302 писал(а):

Буду благодарен за ответ на вопрос: правильно ли я понимаю, что в статье по первой ссылке утверждается, что в некотором смысле PA эквивалентна "ZF+аксиома отрицания бесконечности"?

"В некотором смысле эквивалентна" в данном случае означает, что в каждой из двух теорий можно построить интерпретацию другой. И нужна не просто ZF с отрицанием аксиомы бесконечности (она оказывается слишком слабой). Требуется ещё добавить аксиому, что каждое множество является подмножеством транзитивного множества (множество называется транзитивным, если каждый его элемент является его подмножеством). Видимо, эта добавка нужна, чтобы можно было доказать аксиомы индукции в модели арифметики.

grizzly в сообщении #981302 писал(а):

Я понимаю, что "ZF+аксиома отрицания бесконечности" это намного проще, чем просто ZF без аксиомы бесконечности, о которой спрашивается в теме

Да, конечно.

[grizzly]

Someone
Большое спасибо! Действительно, необходима дополнительная неслабая аксиома -- я был невнимателен. Та ссылка была не очень в тему.

[hurtsy]

kp9r4d в сообщении #981173 писал(а):

Каким образом вы сокращаете?

Я не сокращаю, но очень хочется. Примерно так

$$x\in a\Rightarrow x\cup\{ x \}\in a =(x\in a\Rightarrow x\in a) \cup (x\in a\Rightarrow\{x\}\in a) = x\in a\Rightarrow\{x\}\in a$$

grizzly в сообщении #981347 писал(а):

Действительно, необходима дополнительная неслабая аксиома

Всё же вычисление $\pi$ с точностью более 30 миллионов десятичных знаков используется лишь для тестирования суперпроцессоров и для фокусников типа печально известного "Мистера Пи".Возможно, возникающие прямо на наших глазах квантовые процессоры, позволят, в своё время, отказаться от "слишком сильной" аксиоматики Пеано. Вряд ли,ожидание будет бесконечно долгим. С уважением,

[Pphantom]

(Оффтоп)

hurtsy в сообщении #981388 писал(а):

Всё же вычисление $\pi$ с точностью более 30 миллионов десятичных знаков используется лишь для тестирования суперпроцессоров

Странные у Вас представления о суперпроцессорах. Это задача на несколько минут для обычной персоналки.

[hurtsy]

(Оффтоп)

Спасибо, за внимание! С уважением,

[Someone]

grizzly в сообщении #981347 писал(а):

Та ссылка была не очень в тему.

"Та" — это которая из двух? Статья, на мой взгляд, совершенно нормальная. А вот ссылка на mathoverflow несерьёзная.

[grizzly]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #981437 писал(а):

А вот ссылка на mathoverflow несерьёзная.

Зато я из неё про недоказуемость в PA усиленной теоремы Рамсея узнал. Про последовательности Гудстейна на каждом шагу пишут, а это ведь не менее интересно. Но мне раньше ни разу не попадалось (притом, что теорией Рамсея сколько-то интересовался).

[arseniiv]

hurtsy в сообщении #981388 писал(а):

Примерно так

$$x\in a\Rightarrow x\cup\{ x \}\in a =(x\in a\Rightarrow x\in a) \cup (x\in a\Rightarrow\{x\}\in a) = x\in a\Rightarrow\{x\}\in a$$

Надеюсь, это была шутка.

[Sicker]

Что такое $\{x\}$?