Бесконечности нет

[AGu]

Munin в сообщении #991399 писал(а):

AGu в сообщении #991341 писал(а):

Лучше помогите hurtsy.

А в чём? Я не спец в теории множеств.

Да нет, это я так, к сообществу обращался. Впрочем, тут и спецом-то быть не обязательно. Надо просто терпеливо выяснить суть вопроса. В иной ситуации я бы, как это у нас часто бывает, устроил дерзкий «допрос» и докопался до сути недопонимания, но мне неловко что-либо требовать от hurtsy.

[Munin]

AGu в сообщении #991414 писал(а):

но мне неловко что-либо требовать от hurtsy.

В таком случае, есть вариант "просто прекратить разговор". Если ему нужно будет - сам сформулирует достаточно внятно.

[hurtsy]

Munin в сообщении #991490 писал(а):

Если ему нужно будет - сам сформулирует достаточно внятно.

Munin Спасибо за доверие. Действительно

Цитата:

Если гора не идет к Магомету, Магомет идет к горе.

AGu в сообщении #991341 писал(а):

Друзья, перепалки контрпродуктивны. Лучше помогите hurtsy.

Блестящая интерпретация команды "break".
Я, неправильно понял, что вы отказались от бесплодных разговоров. Спасибо.

AGu в сообщении #991341 писал(а):

Изначально я думал, что вопрос состоит в том, изменится ли мощность наименьшего множества, удовлетворяющего условию аксиомы бесконечности, если в это условие вставить булеан, как это сделал hurtsy. (Ответ, разумеется, отрицательный, оно будет по-прежнему счетным.) Но, как выяснилось, вопрос был о чем-то другом. Сам вопрос-то наверняка простой, но я не могу понять, о чем он. Помогите, пожалуйста.

Подчеркнутое в тексте никак не следует из намерений моих постов.
Я, повторно, цитирую примечание к "Аксиоме бесконечности" из Википедии

Цитата:

«Аксиому бесконечности» можно сформулировать следующим образом: «Существует [по меньшей мере одно] „бесконечное множество“, которое состоит из

$$ ~ \varnothing, \ \ \varnothing \cup \{\varnothing\}, \ \ \varnothing \cup \{\varnothing\} \cup \{\varnothing \cup \{\varnothing\}\}, \ ....»$$

С "точки зрения программиста" формула этой аксиомы представляет собой бесконечный цикл, результатом работы которого является "бесконечное множество". В программировании это "грабли", наступая на которые, начинающие получают бесценный опыт. Мне осталось только внести в тело цикла булеан и предположить, что результатом "работы" программы будет существование кардиналов старше счетного. В самом "тексте" программы нет ничего об, изменится ли мощность наименьшего множества, удовлетворяющего условию аксиомы бесконечности. Возможно, вам текст настолько знаком, что вы понимаете его автоматически, не читая, т.е. вы понимаете то чего в тексте нет, иллюзию. С уважением,

[Nemiroff]

hurtsy в сообщении #991543 писал(а):

Мне осталось только внести в тело цикла булеан и предположить, что результатом "работы" программы будет существование кардиналов старше счетного.

Они и так существуют, куда там ещё что-то вносить?

[Munin]

hurtsy в сообщении #991543 писал(а):

С "точки зрения программиста" формула этой аксиомы представляет собой бесконечный цикл, результатом работы которого является "бесконечное множество". В программировании это "грабли", наступая на которые, начинающие получают бесценный опыт.

Бывают такие языки программирования, в которых бесконечный цикл - не ошибка, и программисты на этих языках программирования. Чисто так, к сведению. Я бы порекомендовал использовать в математике точку зрения математика. Начиная с того, что аксиома - это не программа.

[hurtsy]

Nemiroff в сообщении #991547 писал(а):

Они и так существуют, куда там ещё что-то вносить?

А без аксиомы бесконечности они существовали? Если да, то зачем нужна аксиома бесконечности? С уважением,

[AGu]

hurtsy в сообщении #991543 писал(а):

Цитата:

$\varnothing, \ \ \varnothing \cup \{\varnothing\}, \ \ \varnothing \cup \{\varnothing\} \cup \{\varnothing \cup \{\varnothing\}\}, \ ....»$

Мне осталось только внести в тело цикла булеан и предположить, что результатом "работы" программы будет существование кардиналов старше счетного.

Поскольку формально это по-прежнему бессмыслица, я предприму очередную попытку придать смысл. Сразу предупреждаю, что у меня, к сожалению, получится тот же самый вопрос, на который я неоднократно пытался ответить, увы. (Пожалуйста, не обижайтесь, это у меня нечаянно получается.) На этот раз, отвечая то же самое, я сделаю это менее математично и более программистски (раз уж предложен такой стиль).

Итак, сначала тело цикла имело такой вид:

${\rm output}\ x;\quad x := x\cup\{x\}$

Выдача была такой:

$\varnothing,\quad\varnothing\cup\{\varnothing\},\quad\varnothing\cup\{\varnothing\}\cup\bigl\{\varnothing\cup\{\varnothing\}\bigr\},\quad\dots$

Мы заменяем тело на такой код:

${\rm output}\ x;\quad x:=\mathcal P(x\cup\{x\})$

Выдача становится такой:

$\varnothing,\quad\mathcal P(\varnothing\cup\{\varnothing\}),\quad\mathcal P\bigl(\mathcal P(\varnothing\cup\{\varnothing\})\cup\bigl\{\mathcal P(\varnothing\cup\{\varnothing\})\bigr\}\bigr),\quad\dots$

(С формальной точки зрения эта выдача как раз и является наименьшим множеством, удовлетворяющим условию модифицированной аксиомы бесконечности.)
Нас интересует, после вставки булеана изменилось ли что-нибудь в выдаче с точки зрения бесконечных мощностей?
Ответ: ничего не изменилось.
Действительно, каждое из множеств, фигурирующих в выдаче, как было конечным, так и осталось конечным.
Сама выдача (т.е. совокупность всех фигурирующих в ней множеств) как была счетной, так и осталась счетной.
Ничего «старше счетного» никак не проявилось.

[hurtsy]

AGu в сообщении #991562 писал(а):

Выдача была такой:

$$\varnothing,\quad\varnothing\cup\{\varnothing\},\quad\varnothing\cup\{\varnothing\}\cup\bigl\{\varnothing\cup\{\varnothing\}\bigr\},\quad\dots$$

Обозначим элемент этого множества больший любого конечного $\varnothing_\infty$. Тогда $\mathcal P(\varnothing_\infty)$ будет изоморфно бесконечному множеству из нулей и единичек( несчетному), с точностью до формального синтаксиса, который для меня в вашей терминологии "формальная бессмыслица" а как по мне "сокровище за семью замками". Не владею я этим апаратом. С уважением,

[arseniiv]

Действительно, если программа выдаёт последовательность каких-то вещей, эта последовательность не более чем счётна.

hurtsy в сообщении #991543 писал(а):

С "точки зрения программиста" формула этой аксиомы представляет собой бесконечный цикл, результатом работы которого является "бесконечное множество".

Как уже сказали, это неправильный подход (читать формулы как программы). Эту формулу нельзя единственным способом преобразовать в код, и тем более в код цикла, результатом которого что-то будет. Формула ассоциирована с конкретным языком первого порядка с двуместными предикатными символами $\in$ и $=$, но на этом и всё. У языка есть интерпретации, в которых формула принимает какое-то значение истинности — но никаких интерпретаций, сопоставляющих формулам алгоритмы, нет. (И, если вдруг что, изоморфизм Карри—Говарда — про другое.)

Плюс, «состоит из» в цитате неверно, и эту часть следует читать как «содержит». Условие аксиомы не требует, чтобы множество не содержало элементов, не содержащихся среди

$$\varnothing,\quad\varnothing\cup\{\varnothing\},\quad\varnothing\cup\{\varnothing\}\cup\bigl\{\varnothing\cup\{\varnothing\}\bigr\},\quad\dots,$$

так что множество может оказаться и несчётным. Зато любые удовлетворяющие условию множества пересекаются по как минимум как раз

$$\left\{\varnothing,\quad\varnothing\cup\{\varnothing\},\quad\varnothing\cup\{\varnothing\}\cup\bigl\{\varnothing\cup\{\varnothing\}\bigr\},\quad\dots\right\},$$

и оно счётное всегда.

Это я другими словами пересказал то, что уже было в теме.

[AGu]

hurtsy в сообщении #991586 писал(а):

Обозначим элемент этого множества больший любого конечного

Там нет такого элемента. Все элементы этого множества конечны. (Если угодно, этот факт можно доказать индукцией: первый элемент конечен, а из конечности очередного следует конечность следующего. Следовательно, все они конечны.)

[hurtsy]

AGu в сообщении #991591 писал(а):

Все элементы этого множества конечны.

Все конечные элементы можно выбросить, и ваше счетное множество опустеет. Противоречие. Лучше согласиться, с названием данным ТС. С уважением,

[Nemiroff]

hurtsy в сообщении #991558 писал(а):

А без аксиомы бесконечности они существовали?

Их существование не получится доказать.

[arseniiv]

hurtsy в сообщении #991599 писал(а):

Все конечные элементы можно выбросить, и ваше счетное множество опустеет. Противоречие.

Противоречие с чем? Что мешает счётному множеству иметь конечные элементы? Конечных множеств ого-го как много. Даже все сиглетоны образуют собственно класс.

[Nemiroff]

hurtsy в сообщении #991599 писал(а):

Все конечные элементы можно выбросить, и ваше счетное множество опустеет. Противоречие.

Где здесь противоречие? Каждый элемент конечен. Всего их счётное число.

[AGu]

hurtsy в сообщении #991599 писал(а):

Все конечные элементы можно выбросить, и ваше счетное множество опустеет.

Что значит «можно»? Я скажу так: если выбросить — да, опустеет.

hurtsy в сообщении #991599 писал(а):

Противоречие.

Противоречия здесь нет.

Уважаемый hurtsy, Вы уж меня простите, но мне стало слишком скучно. Уверен, кроме меня есть уйма участников форума, способных отвечать на такие наивные вопросы.