2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Задача по планиметрии
Сообщение08.02.2015, 10:20 


05/12/13
26
Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ перпендикулярна прямой, проходящей через точку пересечения медиан $M$ и точку пересечения высот $H$. Найти угол $A$.

Даже не знаю с чего подступиться. Видна только банальность, что треугольники, на которые делит биссектриса делит треугольник, отсекаемый от треугольника $ABC$ прямой $MH$, равны. То, что на $MH$ лежит точка пересечения серединных перпендикуляров, тоже ни на что не наталкивает.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение08.02.2015, 14:29 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5697
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

AVV
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии
Сообщение08.02.2015, 15:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13264
Можно посмотреть, каким может быть угол $A$. Острым, прямым, тупым? Замеченное Вами свойство биссектрисы позволяет вообще отказаться от неё. Достаточно, чтобы озвученная прямая отсекала на сторонах (продолжениях) равные отрезки от вершина $A$. Случай равностороннего треугольника можно, конечно, и притянуть за ухо.
На первый взгляд задача для координат хороша. Треугольник $(0,0),(6,0),(6a,6b)$. Точки пересечения медиан и высот получаются легко. А потом можно пустить вектор из вершины и посмотреть. Вот только вдруг появятся уравнения больше второй степени :?:

Можно ещё частным случаем поиграть, когда треугольник прямоугольный, но биссектриса исходит не из прямого угла. Ну тут уж устно :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии
Сообщение09.02.2015, 00:16 


05/12/13
26
Для прямоугольного треугольника действительно устно, за счёт того, что $MH$ пересекает треугольник в удачной точке -- вершине. В общем же случае, непонятно, чем точки пересечения характеризуются.

Этот случай показывает, что угол $A$ может быть острым и не может быть прямым.

Координаты выглядят естественно, да. Опасение насчёт степени уравнений разделяю -- $a$ и $b$ явно в степени выше второй будут. Ну, и, даже если бы всё хорошо получалось бы, явно должно быть более элегантное геометрическое решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии
Сообщение09.02.2015, 07:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13264
С помощью координат видно, что для $\angle A=60^{\circle}$ биссектриса перпендикулярна прямой в любом треугольнике. Наверное, можно найти какое-то соотношение между тангенсами соответствующих углов? Хотя, Вы правы, должно быть геометрическое решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии
Сообщение09.02.2015, 14:46 


13/08/14
349
Удобней исходить из описанной окружности (центр $O$). Диаметр этой окружности будет прямой Эйлера треугольника $ABC$. Хорда $AE$, перпендикулярная этому диаметру, будет биссектрисой треугольника $ABC$. Сторона $BC$ будет хордой, перпендикулярной радиусу $OE$ и проходящей через его середину.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии
Сообщение10.02.2015, 09:12 


05/12/13
26
Отличная наводка! Действительно, нетрудно показать, что биссектриса угла и серединный перпендикуляр противоположной стороны проходят через одну и ту же точку на описанной окружности. Это для всякого треугольника. Теперь нужно как-то элегантно понять, чем выделен именно этот диаметр.

С учётом вышеказанного, задача сводится в следующей, кажущейся более простой. А именно. Вокруг треугольника $ABC$ описана окружность. Серединный перпендикуляр к $BC$, направленный "от треугольнка" пересекает окружность в точке $E$. Хорда $AE$ перпендикулярна прямой, проходящей через центр окружности и точку пересечения высот.

Расстояния от точки пересечения высот $H$ до $AE$ такое же как и от $O$, так как $OE$ параллельна $AH$ и $AE$ перпендикулярна $OH$ (вот элегантная привязка диаметра и появилась). Также $AH = HE = R$, где $R$ -- радиус описанной окружности.

Кажется, что осталось совсем чуть-чуть, но финальный шаг сделать не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии
Сообщение10.02.2015, 10:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4627
Нов-ск
AVV в сообщении #976174 писал(а):
С учётом вышеказанного, задача сводится в следующей, кажущейся более простой. А именно. Вокруг треугольника $ABC$ описана окружность. Серединный перпендикуляр к $BC$, направленный "от треугольнка" пересекает окружность в точке $E$. Хорда $AE$ перпендикулярна прямой, проходящей через центр окружности и точку пересечения высот.
... и точку пересечения медиан

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии
Сообщение10.02.2015, 10:34 


05/12/13
26
TOTAL в сообщении #976190 писал(а):
... и точку пересечения медиан

Это да. Подразумевалось, что про прямую Эйлера мы помним, и, потому, явно не говорил.

Или это подсказка, что посмотреть в сторону медиан небесполезно? Я в той стороне чего-то хорошего не увидел. Для медиан не вижу естественной связи с описанной окружностью, в отличие от серединных перпендикуляров. И хорошей связи с последними, в отличие от высот. Т.е. связь-то очевидная есть, но она углы не уважает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии
Сообщение10.02.2015, 10:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4627
Нов-ск
AVV в сообщении #976192 писал(а):
Или это подсказка, что посмотреть в сторону медиан небесполезно?
Это в условии сказано про медианы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии
Сообщение10.02.2015, 10:52 


05/12/13
26
TOTAL в сообщении #976195 писал(а):
Это в условии сказано про медианы.

Так приведена же эквивалентная формулировка, ввиду того, что точки пересечения медиан, высот и серединных перпендикуляров всегда лежат на одной прямой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии
Сообщение10.02.2015, 15:22 


01/12/11

1047
Построим равносторонний треугольник. Очевидно, он является одним из решений. Затем, сдвигая один угол треугльника вдоль стороны, найти закон передвижения точек пересечений высот и медиан, т.е. положение соединяющей их прямой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии
Сообщение11.02.2015, 07:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4627
Нов-ск
Skeptic в сообщении #976285 писал(а):
Построим равносторонний треугольник. Очевидно, он является одним из решений.
Как в равностороннем треугольнике расположена прямая, проходящая через точку пересечения медиан и точку пересечения высот?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии
Сообщение11.02.2015, 10:40 


23/01/07
3198
Новосибирск
Skeptic в сообщении #976285 писал(а):
Построим равносторонний треугольник. Очевидно, он является одним из решений. Затем, сдвигая один угол треугльника вдоль стороны, найти закон передвижения точек пересечений высот и медиан, т.е. положение соединяющей их прямой.

Т.к. ответ в задаче предполагается в единственном числе, то не замудряясь законом передвижения точек, можно все сдвигать, не меняя угол $A=60^\circ$. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии
Сообщение11.02.2015, 14:16 


05/12/13
26
Skeptic в сообщении #976285 писал(а):
Построим равносторонний треугольник. Очевидно, он является одним из решений. Затем, сдвигая один угол треугльника вдоль стороны, найти закон передвижения точек пересечений высот и медиан, т.е. положение соединяющей их прямой.

Хмм, а что-то в этом есть. Как было замечено выше, равносторонний треугольник вырожден. Если начинать не с равностороннего треугольника, а с прямоугольного, и если предположить, что условия задачи реализуются для любого треугольника, то ясно, что угол $A$ равен 60 градусам, так как его не двигаем.

Это тривиальность. Но она позволяет сделать предположение, что в треугольнике, удовлетворяющей условия задачи, прямая Эйлера пересекает стороны под уголом 60 градусов. Т.е., в остроугольном треугольнике она отсекает от него равносторонний треугольник.

Также, раз при таком движении сторона смежная с $A$ остаётся на месте, то то на месте остаётся и точка пересечения серединного перпендикуляра к ней, высоты из другой точки стороны, и биссектрисы $A$. Т.е. нетривиальность в том, что они вообще в одной точке пересекаются.

Сказанное выше работает, если угол $A$ 60 градусов. Может как-то показать, что невыполнение последнего противоречит условию?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group