2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Задача по планиметрии
Сообщение12.02.2015, 06:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4624
Нов-ск
Изображение
Через центр описанной окружности провели диаметр $AD.$
Через т. $F$ (середину $CB$) провели $PD=2DF.$
Получили точку $P$ - точку пересечения высот тр-ка $ABC.$
(По построению, $P$ - это центр описанной окружности вокруг тр-ка, для которого тр-к $ABC$ является срединным.)
Синие линии перпендикулярны (по условию).

Очевидно, $AQ$ является высотой и биссектрисой в тр-ке $PAO,$
поэтому $AP=AO=2OF,$ поэтому угол $COB=120$ ($OF$ равно половине радиуса)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии
Сообщение12.02.2015, 15:32 


01/12/11

1047
Что такое срединный треугольник?
Если точка $P$ - центр описанной окружности, то почему она не лежит на диаметре $AD$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии
Сообщение12.02.2015, 22:53 


05/12/13
26
TOTAL в сообщении #977169 писал(а):
$PD=2DF.$

Ммм, а как это увидеть? Тогда и то, что $CB$ пополам делит $OE$, наверное, станет понятно.

(Оффтоп)

Кстати, в какой программе вы рисовали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии
Сообщение13.02.2015, 07:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4624
Нов-ск
AVV в сообщении #977465 писал(а):
TOTAL в сообщении #977169 писал(а):
$PD=2DF.$
Ммм, а как это увидеть?
Что увидеть? Я провел $PD$ так, что $PD=2DF$. Не верите, что это можно сделать?

-- Пт фев 13, 2015 08:25:59 --

Skeptic в сообщении #977302 писал(а):
Что такое срединный треугольник?
Это треугольник, вершинами которого являются основания медиан.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии
Сообщение13.02.2015, 16:25 


05/12/13
26
TOTAL в сообщении #977558 писал(а):
Что увидеть?

Что это точка пересечения высот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии
Сообщение16.02.2015, 06:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4624
Нов-ск
AVV в сообщении #977733 писал(а):
TOTAL в сообщении #977558 писал(а):
Что увидеть?
Что это точка пересечения высот.
Там есть подсказка про то, что это центр окружности, описанной вокруг треугольника, для которого исходный треугольник является срединным. Точка $D$ - центр окружности, описанной вокруг треугольника, который в два раза больше исходного.

(Здесь дважды гомотетия: сначала с центром в т.$A$ с коэффициентом $2$, затем с центром в т.$F$ с коэффициентом $-1$.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии
Сообщение16.02.2015, 10:36 


01/12/11

1047
TOTAL, вы исходите из предположения, что $\angle A=60^{\circle}$, а это надо доказать.
Совершенно не очевидно, что $PQ=QO$.
Не доказано, что точка $F$ - общая точка пересечения прямых $CB$, $PD$ и $OE$.
Не доказано, что точка $F $ делит $OE$ пополам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии
Сообщение16.02.2015, 11:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4624
Нов-ск
Skeptic в сообщении #979019 писал(а):
TOTAL, вы исходите из предположения, что $\angle A=60^{\circle}$, а это надо доказать.
Я не исхожу из такого предположения, я это доказал. Откуда Вы взяли, что "исхожу"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии
Сообщение16.02.2015, 16:11 


01/12/11

1047
TOTAL в сообщении #977169 писал(а):

Очевидно, $AQ$ является высотой и биссектрисой в тр-ке $PAO,$
поэтому $AP=AO=2OF,$ поэтому угол $COB=120$ ($OF$ равно половине радиуса)

Это нужно доказать!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии
Сообщение17.02.2015, 05:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4624
Нов-ск
Skeptic в сообщении #979127 писал(а):
TOTAL в сообщении #977169 писал(а):

Очевидно, $AQ$ является высотой и биссектрисой в тр-ке $PAO,$
поэтому $AP=AO=2OF,$ поэтому угол $COB=120$ ($OF$ равно половине радиуса)

Это нужно доказать!
Что нужно доказать? Что гипотенуза в два раза длиннее катета, лежащего против угла 30 градусов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии
Сообщение17.02.2015, 09:55 
Аватара пользователя


28/01/14
313
Москва
TOTAL в сообщении #979445 писал(а):
Что нужно доказать?

Что $AQ$ является биссектрисой в тр-ке $PAO$, разумеется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии
Сообщение17.02.2015, 10:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4624
Нов-ск
OlegCh в сообщении #979474 писал(а):
TOTAL в сообщении #979445 писал(а):
Что нужно доказать?
Что $AQ$ является биссектрисой в тр-ке $PAO$, разумеется.

$FO \parallel PA$ Дальше сами (можно смотреть на рисунок)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии
Сообщение17.02.2015, 15:59 
Аватара пользователя


28/01/14
313
Москва
Мой вариант решения.
Изображение

Здесь зеленые - высоты, синие - медианы, оранжевая - биссектриса угла $A$.
$PQ$ - прямая, которой перпендикулярна наша биссектриса.
Поскольку в тр-ке $APQ$ биссектриса является и высотой, то тр-к $APQ$ равнобедренный и $\angle P=\angle Q$. Докажем, что $\bigtriangleup APQ$ оказывается одновременно и равносторонним.
Поскольку $PQ$ по определению является прямой Эйлера, то пересечение с ней серединного перпендикуляра стороны $AC$ дает точку $O$ - центр описанной окружности.
Покажем, что углы $BAH$ и $OAC$ равны.
Пусть луч $AO$ пересекает описанную окружность в точке $B'$, тогда углы $ABC$ и $AB'C$ равны, поскольку опираются на одну и ту же хорду $AC$. Т.к. $AB'$ - диаметр, то в тр-ке $AB'C$ угол $C$ прямой, поэтому в этом тр-ке $\angle A=90^{\circ}-\angle B'$. Аналогично, поскольку $AA_H$ высота, то в тр-ке $ABA_H$ $\angle A=90^{\circ}-\angle B$. Отсюда углы $BAH$ и $OAC$ равны.
Из равенства этих углов и равнобедренности тр-ка $APQ$ следует, что $PH=OQ$, следовательно тр-ки $PC_HH$ и $OB_MQ$ равны по стороне и двум углам (ну то, что углы O и H равны, это понятно?). В этих тр-ках высоты, опущенные на прямую Эйлера, стало быть тоже равны, поэтому $C_HB_M\parallel PQ$. Но $\triangle AC_HC$ прямоугольный и $C_HB_M$ его медиана, поэтому $C_HB_M=AB_M$. А т.к. тр-к $AC_HB_M$ к тому же ещё и равнобедренный, то он равносторонний. Отсюда сразу следует, что $\angle A=60^{\circ}$ и заодно что $\triangle APQ$ равностороний. Уф... (это вместо чтд).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии
Сообщение17.02.2015, 16:37 


01/12/11

1047
Ещё одно решение.
Переместим вершину искомого $\angle  A$ по описанной окружности так, чтобы одна сторона треугольника совпала с диаметром описанной окружности. Получим прямоугольный треугольник. Медиана, проведённая с прямого угла сопадает с линией, соединяющей точки пересечения меридан и высот. Треугольник, образованный вершиной $\angle A$ и медианой из прямого угла - равнобедренный относительно биссектрисы $\angle  A$, но его боковая сторона и основание (медиана) равны радиусу описанной окружности. Следовательно $\angle A=60^{\circle}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии
Сообщение17.02.2015, 16:56 
Аватара пользователя


28/01/14
313
Москва
Skeptic в сообщении #979576 писал(а):
Переместим вершину искомого $\angle  A$ по описанной окружности так, чтобы одна сторона треугольника совпала с диаметром описанной окружности.

Ну так это же будет другой треугольник...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group