Гравитационный потенциал вращающейся Земли

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #971191 писал(а):

Не всё, что имеет место в ОТО, имеет место и в ньютоновской теории. Это раз.

И дело даже не в малости наблюдаемых эффектов, а в количестве степеней свободы...

Munin в сообщении #971191 писал(а):

Для невекторного поля понятие "вихревое" не имеет абсолютно никакого смысла Это два.

Об этом и речь . Гравитационное поле вращающегося небесного тела является вихревым, поэтому не может быть описано с помощью потенциала.

Munin в сообщении #971191 писал(а):

Решение Керра тут ни при чём, и эффект Лензе-Тирринга для Земли пренебрежимо мал, его и измерили-то впервые только миссией Gravity Probe B в 2004-2005 годах, и на геодезию это никак не повлияло, смею утверждать.

Ну это кому как...

Munin в сообщении #971191 писал(а):

Заявить вы это заявили, а вот рассчитать это векторное поле не справились. Что такое? Где ваше хвастовство? Или вы решения Керра не смогли найти? Или не смогли преобразовать его к выдуманному вами виду? Или не смогли пренебречь малыми членами? Или вы это всё-таки сделали, и увидели, что поле потенциально, и стыдливо скрыли и не стали оглашать результаты?

Очень смешно, правда Вы вообще хорошо подумали прежде чем это написать????????


Берём решение Керра в координатах Бойера - Линдквиста:

$$ g_{00} = 1 - \frac{a}{r} \frac{1}{1+\frac{b^2}{r^2} \cos^2 (\theta) }, $$

$$ g_{03} = b \frac{a}{r} \frac{\sin^2(\theta)}{1+\frac{b^2}{r^2} \cos^2 (\theta) }, $$

$$ g_{11} = - \frac{1+\frac{b^2}{r^2} \cos^2 (\theta) }{1-\frac{a}{r}+\frac{b^2}{r^2}}, $$

$$ g_{22} = - r^2 \left( 1+\frac{b^2}{r^2} \cos^2 (\theta) \right), $$

$$ g_{33} = - r^2 \sin^2 (\theta) \left( 1+\frac{b^2}{r^2} \left( 1 + \frac{a}{r} \frac{\sin^2(\theta)}{1+\frac{b^2}{r^2} \cos^2 (\theta) } \right) \right), $$

здесь $a$ - Шварцщильдов гравитационный радиус, $b$ - Керровская константа интегрирования, и заменяем времениподобную координату $x^0$ на $t$ по формуле

$$ dx^0 = dt - \frac{\sqrt{a r (r^2+b^2)}}{b^2 + r^2 - a r} \, dr $$

получаем метрику вида

$$ ds^2 = dt^2 - \gamma_{i j} \left( dx^i - V^i dt \right) \left( dx^j - V^j dt \right) $$

со следующими компонентами:

$$ \gamma_{r r} = \frac{r^2+b^2\cos^2(\theta)}{b^2+r^2- a r} - \frac{a r (b^2 + r^2) \left( 1 - \frac{a r}{r^2+b^2\cos^2(\theta)} \right)}{(b^2+r^2 -a r)^2}, $$

$$ \gamma_{\theta \theta} = r^2 \left( 1+\frac{b^2}{r^2} \cos^2 (\theta) \right) $$

$$ \gamma_{\varphi \varphi} = r^2 \sin^2 (\theta) \left( 1+\frac{b^2}{r^2} \left( 1 + \frac{a}{r} \frac{\sin^2(\theta)}{1+\frac{b^2}{r^2} \cos^2 (\theta) } \right) \right) $$

$$ \gamma_{r \varphi} = \frac{a^{3/2} b r \sqrt{r(b^2+r^2)} \sin^2(\theta) }{(b^2+r^2-ar)(r^2+b^2\cos^2(\theta))} $$

$$ V^{r} = - \sqrt{\frac{a}{r}} \frac{\sqrt{1+ \frac{b^2}{r^2} }}{1 + \frac{b^2}{r^2} \cos^2(\theta)} $$

$$ V^{\varphi} = \frac{2 a b r}{(b^2+r^2-ar)(b^2+2r^2+b^2\cos(2\theta))} $$

Поле Лензе - Тирринга получается линеаризацией по $b$:

$$ \gamma_{r r} = 1, \quad \gamma_{\theta \theta} = r^2, \quad \gamma_{\varphi \varphi} = r^2 \sin^2(\theta), \quad \gamma_{r \varphi} = b \left( \frac{a}{r} \right)^{3/2} \frac{\sin^2(\theta)}{1-\frac{a}{r}} \eqno(1) $$

$$ V^{r} = - \sqrt{\frac{a}{r}}, \quad V^{\varphi} = \frac{a b}{r^3 \left( 1 - \frac{a}{r} \right)} \eqno(2) $$

Munin в сообщении #971191 писал(а):

И именно этот частный случай для Земли и имеет место, и с этой банальности и началась тема (которую отделили, чтобы вы не мусорили в приличном месте, и правильно сделали).

Ну как бы вот и нет, не имеет . Гравитационное поле Земли описывается вихревым полем (2). Движение в этом поле невозможно представить как движение в неком потенциале.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #971323 писал(а):

Очень смешно, правда :D :D :D Вы вообще хорошо подумали прежде чем это написать????????

Ага. Это была провокация :-)

-- 30.01.2015 23:07:23 --

SergeyGubanov в сообщении #971323 писал(а):

Гравитационное поле вращающегося небесного тела является вихревым, поэтому не может быть описано с помощью потенциала.

Оно может быть описано с помощью метрики. Так что ваше заявление про "вихревое" не стыкуется с отсылками к Керру. Вы бы привели мозги в порядок. Отдельно ньютоновская теория в классической механике и нерелятивистском пространстве-времени, отдельно ОТО.

SergeyGubanov в сообщении #971323 писал(а):

Поле Лензе - Тирринга получается линеаризацией по $b$:

Ненулевое $V^{r}$ (да ещё и неисчезающее по $b\to 0$) доставляет. Зачем вы эту замену делали, можете объяснить? Именно эту, $t=f(x^0,r)$? Это же не переход во вращающуюся систему отсчёта, никоим образом.

[мат-ламер]

zvm в сообщении #970789 писал(а):

мат-ламер в сообщении #970762 писал(а):

Если включить вращение, то к силам тяготения прибавятся центробежные силы. Полученное поле сил конечно же не будет потенциальным.

Это почему же оно не будет потенциальным?

Munin в сообщении #970846 писал(а):

мат-ламер в сообщении #970762

писал(а):
Если включить вращение, то к силам тяготения прибавятся центробежные силы. Полученное поле сил конечно же не будет потенциальным.

Почему же это "конечно же"? А если посчитать?

Потому что интеграл по пути от поля сил не равен работе по перемещению.

[zvm]

мат-ламер в сообщении #971966 писал(а):

Потому что интеграл по пути от поля сил не равен работе по перемещению.

Как он может быть не равен, если именно этот интеграл и называется работой перемещения? Интеграл по пути от силы, с которой поле действует на перемещающийся объект, не зависит от пути, а зависит только от положения начальной и конечной точек пути. Следовательно, поле потенциально. Проверьте на простых случаях.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #971966 писал(а):

Потому что интеграл по пути от поля сил не равен работе по перемещению.

А это разве определение потенциального поля? А если в учебник матанализа заглянуть?

[Ingus]

Munin в сообщении #971362 писал(а):

Отдельно ньютоновская теория в классической механике и нерелятивистском пространстве-времени, отдельно ОТО.

Поскольку в ОТО гравитационный потенциал не является скаляром. (Я это сказал как попугай, имитирующий человеческую речь)

[Munin]

Иногда метрику $g_{\mu\nu}$ называют потенциалом, но не слишком часто. Обычно сравнивая ОТО с другими теориями поля. Либо потенциалом можно называть метрику за вычетом фона: $h_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}-\eta_{\mu\nu}$ или $h_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}-\tilde{g}_{\mu\nu}.$

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #971362 писал(а):

Ненулевое $V^{r}$ (да ещё и неисчезающее по $b\to 0$) доставляет.

При $b=0$ решение Керра переходит в решение Шварцшильда, у него $V^{r} = - \sqrt{\frac{a}{r}}$.

Munin в сообщении #971362 писал(а):

Зачем вы эту замену делали, можете объяснить? Именно эту, $t=f(x^0,r)$? Это же не переход во вращающуюся систему отсчёта, никоим образом.

Разумеется это не переход во вращающуюся систему отсчёта. При чём тут вообще вращающаяся система? Ни причём. Ёпрст, неужели я на столько непонятно объясняю?.. Зачем нужна замена $t=f(x^0,r)$ должно было быть понятно ещё из головного сообщения этой темы. Согласно принципу эквивалентности классическая свободно падающая пробная частица описывается Лагранжианом:

$$ L = \frac{1}{2} m \, \gamma_{i j} \left( {\frac{dx}{dt}}^i - V^i \right) \left( {\frac{dx}{dt}}^j - V^j \right), \eqno(1) $$

и, соответственно, Гамильтонианом

$$ H = \frac{1}{2 m} \, \gamma^{i j} P_i P_j + P_i V^i, \eqno(2) $$

который может быть приведён к виду а-ля "Ньютоновская гравитация" заменой

$$p_i = P_i + m V_i \eqno(3)$$

$$ H = \frac{1}{2 m} \, \gamma^{i j} p_i p_j + m \Phi, \quad \Phi = -\frac{1}{2} \gamma_{i j} V^i V^j, \eqno(4) $$

но чтобы замена (3) была канонической нужно чтоб скобка Пуассона $\{ p_i, p_j \}$ обращалась в нуль

$$\{ p_i, p_j \} = m \left( \partial_i V_j - \partial_j V_i \right) = 0. \eqno(5)$$

То есть Ньютоновская теория гравитации (4) определена лишь когда гравитационное поле $V^i$ безвихревое.

Вместе с тем Лагранжиан (1) получается в нерелятивистском пределе из следующей метрики:

$$ ds^2 = c^2 dt^2 - \gamma_{i j} \left( dx^i - V^i dt \right) \left( dx^j - V^j dt \right). \eqno(6) $$

Гравитационное поле вращающейся Земли описывается решением Керра. Чтобы привести решение Керра к виду (6) оно берётся в координатах Бойера-Линдквиста и делается замена

$$dx^0 \to c \, dt - \frac{\sqrt{a r (r^2+b^2)}}{b^2 + r^2 - a r} \, dr. \eqno(7)$$

После линеаризации по $b$ получаем:

$$ \gamma_{r r} = 1, \quad \gamma_{\theta \theta} = r^2, \quad \gamma_{\varphi \varphi} = r^2 \sin^2(\theta), \quad \gamma_{r \varphi} = b \left( \frac{a}{r} \right)^{3/2} \frac{\sin^2(\theta)}{1-\frac{a}{r}}, \eqno(8) $$

$$ V^{r} = - c \sqrt{\frac{a}{r}}, \quad V^{\varphi} = \frac{a b c}{r^3 \left( 1 - \frac{a}{r} \right)}. \eqno(9) $$

Эту линеаризованную метрику можно диагонализовать изменив начало отсчёта угла $\varphi$:

$$d\varphi \to d\varphi - \frac{a^{3/2} b}{r^{7/2} \left(1 - \frac{a}{r} \right)} dr. \eqno(10) $$

Окончательно, для линеаризованного по $b$ гравитационного поля вращающейся Земли получаем:

$$ \gamma_{r r} = 1, \quad \gamma_{\theta \theta} = r^2, \quad \gamma_{\varphi \varphi} = r^2 \sin^2(\theta), \eqno(11) $$

$$ V^{r} = - c \sqrt{\frac{a}{r}}, \quad V^{\varphi} = \frac{a b c}{r^3}. \eqno(12) $$

В "традиционном" четырёхмерном виде (подставляю $a = 2 k M / c^2$):

$$ ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr + \sqrt{\frac{2 k M}{r}} dt \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin^2(\theta) \left( d\varphi - \frac{2 k M b}{c \, r^3} dt \right)^2. \eqno(13) $$

Соответственно, нерелятивистский Лагранжиан свободно падающей частицы:

$$ L = \frac{m}{2} \left( \left( \frac{dr}{dt} + \sqrt{\frac{2 k M}{r}} \right)^2 + r^2 \left( \frac{d\theta}{dt} \right)^2 + r^2 \sin^2(\theta) \left( \frac{d\varphi}{dt} - \frac{2 k M b}{c \, r^3} \right)^2 \right), \eqno(14) $$

Гамильтониан:

$$ H = \frac{1}{2 m} \left( P^2_r + \frac{1}{r^2} P^2_{\theta} + \frac{1}{r^2 \sin^2} P^2_{\varphi} - P_r \sqrt{\frac{2 k M}{r}} + P_{\varphi} \frac{2 k M b}{c \, r^3} \right). \eqno(15) $$

Он не может быть сведён к виду (4).

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #972494 писал(а):

Вместе с тем Лагранжиан (1) получается в нерелятивистском пределе из следующей метрики

Я думаю, у вас в этом месте косяк. Нерелятивистские пределы от разных вещей - разные, не изоморфные друг другу, а вы считаете, что взяв нерелятивистский предел от метрики падающей СО, вы получите нерелятивистский предел от теории тяготения.

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #972517 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #972494 писал(а):

Вместе с тем Лагранжиан (1) получается в нерелятивистском пределе из следующей метрики

Я думаю, у вас в этом месте косяк. Нерелятивистские пределы от разных вещей - разные, не изоморфные друг другу, а вы считаете, что взяв нерелятивистский предел от метрики падающей СО, вы получите нерелятивистский предел от теории тяготения.

Нету там косяка.

$$ ds^2 = c^2 dt^2 - \gamma_{i j} \left( dx^i - V^i dt \right) \left( dx^j - V^j dt \right) \eqno(1) $$

$$ L_{\text{relativistic}} = - m c^2 \sqrt{1 - \frac{1}{c^2} \gamma_{i j} \left( {\frac{dx}{dt}}^i - V^i \right) \left( {\frac{dx}{dt}}^j - V^j \right) } \eqno(2) $$

$$ L_{\text{classic}} = \frac{m}{2} \gamma_{i j} \left( {\frac{dx}{dt}}^i - V^i \right) \left( {\frac{dx}{dt}}^j - V^j \right) \eqno(3) $$

[Munin]

Косяк не в том, как вы вывели классический лагранжиан, а в том, какие выводы вы из этого делаете.

[SergeyGubanov]

Что не так с выводами?

[Munin]

Ну, этот лагранжиан не совпадает с лагранжианом частицы в статическом гравитационном поле в ньютоновском приближении.

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #972603 писал(а):

Ну, этот лагранжиан не совпадает с лагранжианом частицы в статическом гравитационном поле в ньютоновском приближении.

Не понял, что?..

Статическое -- значит не зависящее от времени. Решение Керра -- статическое. Учёт (линеаризованного) гравитационного поля Керра (Лензе - Тирринга) с помощью какой-либо модификации Ньютоновского гравитационного потенциала невозможен. Так, спрашивается, что с чем может не совпадать ежели в Ньютоновой гравитации поля Лензе-Тирринга не может быть в принципе?

А ежели под словами "статическое гравитационное поле" Вами имелось ввиду гравитационное поле Шварцшильда, то всё совпадает.

Гамильтониан

$$ H = \frac{1}{2 m} \left( P^2_r + \frac{1}{r^2} P^2_{\theta} + \frac{1}{r^2 \sin^2 (\theta)} P^2_{\varphi} \right) - P_r \sqrt{\frac{2 k M}{r}} \eqno(1) $$

следующей канонической заменой:

$$ p_r = P_r - m \sqrt{\frac{2 k M}{r}}, \quad p_{\theta} = P_{\theta}, \quad p_{\varphi} = P_{\varphi}, \eqno(2) $$

приводится к виду а-ля "Ньютоновская гравитация":

$$ H = \frac{1}{2 m} \left( p^2_r + \frac{1}{r^2} p^2_{\theta} + \frac{1}{r^2 \sin^2 (\theta)} p^2_{\varphi} \right) - \frac{k M m}{r}. \eqno(3) $$

-- 02.02.2015, 18:51 --

SergeyGubanov в сообщении #972494 писал(а):

Гамильтониан:

$$ H = \frac{1}{2 m} \left( P^2_r + \frac{1}{r^2} P^2_{\theta} + \frac{1}{r^2 \sin^2} P^2_{\varphi} - P_r \sqrt{\frac{2 k M}{r}} + P_{\varphi} \frac{2 k M b}{c \, r^3} \right). \eqno(15) $$

Он не может быть сведён к виду (4).

Заметил опечатку: правая круглая скобка должна быть смещена влево на два слагаемых, пропущен аргумент у синуса. Правильная формула:

$$ H = \frac{1}{2 m} \left( P^2_r + \frac{1}{r^2} P^2_{\theta} + \frac{1}{r^2 \sin^2 (\theta)} P^2_{\varphi} \right) - P_r \sqrt{\frac{2 k M}{r}} + P_{\varphi} \frac{2 k M b}{c \, r^3} . \eqno(15) $$

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #972612 писал(а):

Учёт (линеаризованного) гравитационного поля Керра (Лензе - Тирринга) с помощью какой-либо модификации Ньютоновского гравитационного потенциала невозможен.

Ну вот об этом я и говорю. Ньютоновская классическая гравитация обходится без ваших выкрутасов.

SergeyGubanov в сообщении #972612 писал(а):

Так, спрашивается, что с чем может не совпадать ежели в Ньютоновой гравитации поля Лензе-Тирринга не может быть в принципе?

А кто вас просил учитывать поле Лензе-Тирринга (точнее, эффект Лензе-Тирринга, поле-то тут Керра)? Геодезисты? Только от того, что вы не умеете разбираться, какие эффекты какой порядок малости имеют, вы придумали себе проблему, а потом пытаетесь переложить её на головы окружающих.