Гравитационный потенциал вращающейся Земли

[SergeyGubanov]

Pphantom:

Отделено от «Измеряем ли потенциал силы тяжести»

А вообще не потенциал $\varphi$ надо измерять, а поле скоростей $\vec{V}$.

Земля же вращается, а гравитационное поле вращающегося небесного тела потенциалом $\varphi$ описать невозможно.

В классической механике Лагранжиан и Гамильтониан свободной частицы в неинерциальной системе координат движущейся со скоростью $\vec{V}$ относительно инерциальной системы:

$$ L = \frac{1}{2} m \left( \frac{d \vec{r}}{dt} - \vec{V} \right)^2 \eqno(1) $$

$$ H = \frac{1}{2m} {\vec{P}}^2 + \vec{P} \vec{V} \eqno(2) $$

Иногда можно привести Гамильтониан (2) к Ньютоновскому виду с потенциалом $\varphi$, для этого надо сделать следующую замену переменных:

$$ {\bf p} = \vec{P} + m \vec{V}, \eqno(3) $$

тогда

$$ H = \frac{{\bf p}^2}{2 m} + m \varphi, \eqno(4) $$

Ньютоновский гравитационный потенциал:

$$ \varphi = - \frac{1}{2} {\vec{V}}^2. \eqno(5) $$

Однако, чтобы замена переменных (3) была канонической нужно чтобы компоненты нового импульса ${\bf p}$ коммутировали друг с другом в смысле скобок Пуассона

$$ \left\{ p_i , p_j \right\} = m \left( \partial_i V_j - \partial_j V_i \right) = 0 \eqno(6) $$

То есть, Ньютоновский гравитационный потенциал определён лишь тогда, когда поле скоростей безвихревое.

[Munin]

SergeyGubanov
А теперь не ленитесь, и добавьте к (1) обычный произвольный потенциал.

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #969413 писал(а):

SergeyGubanov
А теперь не ленитесь, и добавьте к (1) обычный произвольный потенциал.

Нельзя. Частица свободная. Свободно падает, летит по инерции.

[SergeyGubanov]

мат-ламер в сообщении #969501 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #969241 писал(а):

Земля же вращается, а гравитационное поле вращающегося небесного тела потенциалом $\varphi$ описать невозможно.

Вы имеете в виду, что сейчас измерения стали настолько точны, что уже играют роль эффекты ОТО?

Я имею ввиду существующее ограничение на область применимости Ньютоновской теории гравитации накладываемое принципом эквивалентности.

Причём, заметьте, в указанном ограничении не фигурирует ни скорость света, ни гравитационная постоянная.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #969881 писал(а):

Я имею ввиду существующее ограничение на область применимости Ньютоновской теории гравитации накладываемое принципом эквивалентности.

Опять очередная выдуманная вами чушь... Как в ньютоновской механике избавляться от вращения системы отсчёта, учат на первом, кажется, курсе.

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #970074 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #969881 писал(а):

Я имею ввиду существующее ограничение на область применимости Ньютоновской теории гравитации накладываемое принципом эквивалентности.

Опять очередная выдуманная вами чушь... Как в ньютоновской механике избавляться от вращения системы отсчёта, учат на первом, кажется, курсе.

И не чушь, и не мной, и не очередная И, кстати, причём тут избавление от вращения системы отсчёта?..

[Munin]

Он даже не понял, что сам написал...

[SergeyGubanov]

Munin, когда ротор ускорения свободного падения ненулевой, тогда ускорение свободного падения нельзя представить в виде градиента $\varphi$ ибо $\operatorname{rot} \operatorname{grad} \varphi = 0$, и в этом ограничении не фигурирует ни скорость света, ни гравитационная постоянная, просто матан.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #970409 писал(а):

Munin, когда ротор ускорения свободного падения ненулевой

А это ничего, что ваше $\vec{V}$ не имеет ничего общего с этим? И вообще, такой ситуации в классической механике не бывает, от слова "никогда"?

[мат-ламер]

SergeyGubanov в сообщении #970409 писал(а):

Munin, когда ротор ускорения свободного падения ненулевой, тогда ускорение свободного падения нельзя представить в виде градиента $\varphi$ ибо $\operatorname{rot} \operatorname{grad} \varphi = 0$, и в этом ограничении не фигурирует ни скорость света, ни гравитационная постоянная, просто матан.

SergeyGubanov
Я что-то вас не совсем понимаю. Если Земля не вращается, то в ньютоновсом приближении её поле силы тяжести потенциально. Если включить вращение, то к силам тяготения прибавятся центробежные силы. Полученное поле сил конечно же не будет потенциальным. Это поле сил мы измеряем. Затем мы вычитаем из измерений центробежные силы. Затем уже для полученного поля пытаемся найти потенциал. Или я что-то не так понимаю? Мне тут что-то намекали

amon в сообщении #969521 писал(а):

мат-ламер в сообщении #969518 писал(а):

Центробежную силу уже учли.

Oleg Zubelevich"a на Вас нет.

Но я ничего не понял. Может вы просветите?

[zvm]

мат-ламер в сообщении #970762 писал(а):

Если включить вращение, то к силам тяготения прибавятся центробежные силы. Полученное поле сил конечно же не будет потенциальным.

Это почему же оно не будет потенциальным?

[Munin]

мат-ламер в сообщении #970762 писал(а):

Если включить вращение, то к силам тяготения прибавятся центробежные силы. Полученное поле сил конечно же не будет потенциальным.

Почему же это "конечно же"? А если посчитать? ;-)

мат-ламер в сообщении #970762 писал(а):

Но я ничего не понял. Может вы просветите?

Считать надо, лентяй! Перед тем, как произносносить любое "конечно же".

[SergeyGubanov]

мат-ламер в сообщении #970762 писал(а):

Я что-то вас не совсем понимаю. Если Земля не вращается, то в ньютоновсом приближении её поле силы тяжести потенциально. Если включить вращение, то к силам тяготения прибавятся центробежные силы. Полученное поле сил конечно же не будет потенциальным. Это поле сил мы измеряем. Затем мы вычитаем из измерений центробежные силы. Затем уже для полученного поля пытаемся найти потенциал. Или я что-то не так понимаю? Мне тут что-то намекали

Дело не в центробежных силах, а в том, что гравитационное поле вращающегося небесного тела вихревое (решение Керра, эффект Лензе-Тирринга). Оно описывается метрикой навроде такой:

$$ ds^2 = c^2 dt - \gamma_{i j} \left( dx^i - V^i dt \right) \left( dx^j - V^j dt \right), \eqno(1) $$

которая в нерелятивистском пределе даёт тот самый Лагранжиан свободной частицы, о котором я говорил ранее:

$$ L = \frac{1}{2} m \gamma_{i j} \left( {\frac{dx}{dt}}^i - V^i \right) \left( {\frac{dx}{dt}}^j - V^j \right) = \frac{1}{2} m \left( \frac{d\vec{r}}{dt} - \vec{V} \right)^2. \eqno(2) $$

То есть в классическом пределе гравитационное поле задаётся трёхмерным векторным полем $\vec{V}$.

И лишь в частном случае, когда гравитационное поле $\vec{V}$ безвихревое, вместо него можно эффективно ввести Ньютоновский гравитационный потенциал

$$ \varphi = - \frac{1}{2} {\vec{V}}^2. \eqno(3) $$

Munin в сообщении #970561 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #970409 писал(а):

Munin, когда ротор ускорения свободного падения ненулевой

А это ничего, что ваше $\vec{V}$ не имеет ничего общего с этим? И вообще, такой ситуации в классической механике не бывает, от слова "никогда"?

А вот и не угадали . Имеет прямое отношение. И, кстати, падение пробной нерелятивистской частицы в слабом гравитационном поле Лензе-Тирринга имеет смысл описывать как раз таки в рамках классической механики.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #971130 писал(а):

Дело не в центробежных силах, а в том, что гравитационное поле вращающегося небесного тела вихревое (решение Керра, эффект Лензе-Тирринга).

Не всё, что имеет место в ОТО, имеет место и в ньютоновской теории. Это раз.

Для невекторного поля понятие "вихревое" не имеет абсолютно никакого смысла :-) Это два.

Решение Керра тут ни при чём, и эффект Лензе-Тирринга для Земли пренебрежимо мал, его и измерили-то впервые только миссией Gravity Probe B в 2004-2005 годах, и на геодезию это никак не повлияло, смею утверждать.

SergeyGubanov в сообщении #971130 писал(а):

То есть в классическом пределе гравитационное поле задаётся трёхмерным векторным полем $\vec{V}$.

Заявить вы это заявили, а вот рассчитать это векторное поле не справились. Что такое? Где ваше хвастовство? Или вы решения Керра не смогли найти? Или не смогли преобразовать его к выдуманному вами виду? Или не смогли пренебречь малыми членами? Или вы это всё-таки сделали, и увидели, что поле потенциально, и стыдливо скрыли и не стали оглашать результаты?

SergeyGubanov в сообщении #971130 писал(а):

И лишь в частном случае, когда гравитационное поле $\vec{V}$ безвихревое, вместо него можно эффективно ввести Ньютоновский гравитационный потенциал

$$ \varphi = - \frac{1}{2} {\vec{V}}^2. \eqno(3) $$

И именно этот частный случай для Земли и имеет место, и с этой банальности и началась тема (которую отделили, чтобы вы не мусорили в приличном месте, и правильно сделали).

SergeyGubanov в сообщении #971130 писал(а):

И, кстати, падение пробной нерелятивистской частицы в слабом гравитационном поле Лензе-Тирринга имеет смысл описывать как раз таки в рамках классической механики.

Ну вот, вы сами всё сказали.

[Oleg Zubelevich]

в чем смысл спора не очень понял ,но выскажусь

Материальная точка движется в гравитационном поле Земли: $L=m\overline v^2/2-V(r)$ где $r$ -- расстояние от точки до центра Земли. Это в инерциальной системе. Переходим в систему свзяанную с Землей. Функция $V$ не изменилась. по теореме сложения скоростей ,имеем: $\overline v=\overline v_r+\overline v_e$; переносная скорость $\overline v_e=[\overline \omega,\overline r]$; где $\overline \omega$ -- угловая скорость вращения Земли; $\overline r$ -- радиус-вектор точки, торчащий из центра. Подставляем все это в Лагранжиан, получаем систему с обобщенным потенциалом, линейно зависящим от скорости, как и полагается:

$$L=m\overline v_r^2/2-W;\quad W(\overline r,\overline v_r)=V(r)-m(2(\overline v_r,\overline v_e)+\overline v_e^2)/2$$

Обобщенный потенциал в классической динамике имеет вид $W=W_0(q)+w_i(q)\dot q^i$. Если форма $\omega=w_i(q)dq^i$ точна, то силы не обобщенно потенциальны, а потенциальны т.к. добавок $w_i(q)\dot q^i$ превращается в полную производную и выпадает из Лагранжиана. Однако, это не наш случай.