Основное состояние квантовых полей

[Ms-dos4]

Попытаюсь подвести некий промежуточный итог: (система единиц $\[\hbar = c = 1\]$)
Имеем уравнение $\[{\nabla ^2}\vec A = \partial _t^2\vec A\]$ с калибровкой $\[{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec A = 0\]$
Пусть $\[\vec F(\vec k)\]$ - наш набор ортонормированных поперечных полей и $\[\lambda (\vec k)\]$ - собственные числа к ним (т.е. $\[({\nabla ^2} + {\lambda ^2}(\vec k))\vec F(\vec k) = 0\]$)
Выберем $\[\vec F(\vec k)\]$ в виде плоских волн

$$\[\vec F(\vec k) = \frac{{{{\vec e}_\mu }}}{{\sqrt {2\lambda } }}{e^{i\vec k\vec r}}\]$$

где $\[\mu \]$ принимает два значения. Введём канонические переменные

$$\[{q_\mu }(\vec k) = \frac{1}{{\sqrt {4\pi } }}\int {\vec F(\vec k)\vec Ad\vec r} \]$$

$$\[{p_\mu }(\vec k) = \frac{1}{{\sqrt {4\pi } }}\int {\vec F(\vec k){\partial _t}\vec Ad\vec r} \]$$

Гамильтониан имеет вид

$$\[H = \frac{1}{{2 \cdot {{(2\pi )}^3}}}\int {[p{}^2(\vec k) + {\lambda ^2}(\vec k){q^2}(\vec k)]d\vec k} \]$$

Теперь приступим к квантованию.
Введём операторы $\[{{\hat p}_\mu }(\vec k)\]$ и $\[{{\hat q}_\mu }(\vec k)\]$
Коммутатор

$$\[[{{\hat q}_\mu }(\vec k),{{\hat p}_{\mu '}}(\vec k')] = i\delta (\vec k - \vec k'){\delta _{\mu \mu '}}\]$$

Введём вместо канонических переменных операторы

$$\[\hat a(\vec k) = \frac{1}{{\sqrt {2\lambda (\vec k)} }}(\lambda (\vec k)\hat q(\vec k) + i\hat p(\vec k))\]$$

и

$$\[{{\hat a}^ + }(\vec k) = \frac{1}{{\sqrt {2\lambda (\vec k)} }}(\lambda (\vec k)\hat q(\vec k) - i\hat p(\vec k))\]$$

Для них коммутационное соотношение

$$\[[{{\hat a}_\mu }(\vec k),\hat a_{\mu '}^ + (\vec k')] = \delta (\vec k - \vec k'){\delta _{\mu \mu '}}\]$$

Разложение для потенциала имеет вид

$$\[\vec A = \frac{1}{{\sqrt {{{(2\pi )}^3}} }}\int {d\vec k} \sum\limits_\mu {\frac{{a(\vec k){{\vec e}_\mu }{e^{i\vec k\vec r}} + {a^ + }(\vec k){{\vec e}_\mu }{e^{ - i\vec k\vec r}}}}{{\sqrt {2\lambda (\vec k)} }}} \]$$

Гамильтониан выраженный через эти операторы

$$\[\hat H = \frac{1}{{2 \cdot {{(2\pi )}^3}}}\int {d\vec k\sum\limits_\mu {\lambda (\hat a_\mu ^ + {{\hat a}_\mu } + {{\hat a}_\mu }\hat a_\mu ^ + )} } \]$$

Вводя

$$\[{{\hat N}_\mu }(\vec k) = \hat a_\mu ^ + (\vec k){{\hat a}_\mu }(\vec k)\]$$

оператор числа фотонов, имеем для энергии и импульса поля

$$\[E = \frac{1}{{{{(2\pi )}^3}}}\int {d\vec k\sum\limits_\mu {({N_\mu }(\vec k) + \frac{1}{2}} )\lambda (\vec k)} \]$$

$$\[\vec P = \frac{1}{{{{(2\pi )}^3}}}\int {d\vec k\sum\limits_\mu {({N_\mu }(\vec k) + \frac{1}{2}} )\vec k} \]$$

Ну вроде как основная часть закончена. Пока не очень понятно, как это перевести в Фоковское представление. Я уже писал до этого, что по видимому $\[{{a^ + }(\vec k)a(\vec k)}\]$ играет роль "плотности". Насколько это всё корректно, мне не ясно
(Всё существенно хуже, если не вычёркивать продольные поля, но это уже тонкости)

[Red_Herring]

Ms-dos4
Все разумно--но читать невозможно. Старайтесь уменьшить этажность формул, а сложные—в отдельную строку.

[Munin]

Итак, $\hat{q}_\mu(\vec k)$ $\hat{p}_\mu(\vec k)$ - одновременно обобщённые функции и операторы. Но операторы над чем? Какими свойствами они обладают?

-- 18.01.2015 20:55:47 --

Red_Herring в сообщении #964440 писал(а):

Все разумно--но читать невозможно. Старайтесь уменьшить этажность формул, а сложные—в отдельную строку.

Дахоспади, всё там просто и стандартно. А "в столбик" наоборот, длинновато: глазом не охватишь.

-- 18.01.2015 20:58:38 --

Ms-dos4 в сообщении #964425 писал(а):

Пока не очень понятно, как это перевести в Фоковское представление.

В разложении для потенциала группируете в одну скобку все $a^+$ в первой степени - это одночастичное состояние. В одну скобку все $a^+$ во второй степени - это двухчастичное состояние. И так далее.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #964452 писал(а):

одновременно обобщённые функции и операторы. Но операторы над чем?

Над абстрактным гильбертовым пространством. А свойства—свойства коммутации. А что означает обобщённые "функции и операторы"—тоже не бог весь что: например: операторнозначные обобщенные функции (т.е. подействовав на скалярную основную, получим операторы)

[jlecter]

Как то даже боязно вмешаться Но я попробую. Основное состояние ЭМ поля имеет энергию-импульс?

[Munin]

Red_Herring в сообщении #964456 писал(а):

Над абстрактным гильбертовым пространством.

Э нет. Интересует конкретика, хотя бы на уровне, ограничены ли они, как соотносятся между собой их области определения, чему равны их сопряжённые...

Red_Herring в сообщении #964456 писал(а):

А что означает обобщённые "функции и операторы"—тоже не бог весь что

Пардон, скобки неправильно расставлены: "(обобщённые функции) и (операторы)".

jlecter в сообщении #964457 писал(а):

Основное состояние ЭМ поля имеет энергию-импульс?

Да. В смысле квантового среднего. Но вычислить его нельзя.

[jlecter]

Munin в сообщении #964473 писал(а):

Да. В смысле квантового среднего. Но вычислить его нельзя.

То есть гравитационное поле взаимодействует даже с основным состоянием ЭМ поля (иными словами, ЭМ поле гравитриует и в основном состоянии)?

[Munin]

jlecter в сообщении #964477 писал(а):

То есть гравитационное поле взаимодействует даже с основным состоянием ЭМ поля (иными словами, ЭМ поле гравитриует и в основном состоянии)?

Возможно. Поскольку экспериментально этого изучить нельзя, то точно вам никто не ответит.

И это - одна из версий происхождения космологической тёмной энергии.

[amon]

По-моему, Фейнман отметил, что вес мотка проволоки должен быть бесконечным или близким к тому (за счет нулевых акустических колебаний, к черту все остальное).

[Ms-dos4]

Munin
Да такие же стандартные операторы, как и в "дискретном случае", во всяком случае тут то они не какие угодно, а во первых соответствуют наблюдаемым, а во вторых ограничены коммутационным соотношением. Разве что их нужно рассматривать как обобщённые операторы (в стандартном смысле$ \[\int {({\Psi _i},\hat q{\Psi _j})\varphi (\vec k)d\vec k} = {c_{ij}}\]$). Про другие конкретные свойства я сейчас сказать не готов (можно подумать в принципе). Но что интересно - если мы положим основную функцию $\[\varphi \]$ отличной от нуля в ограниченной области (например кубе $\[{L^3}\]$), то снова получим нормальный дискретный случай.

[Munin]

Ms-dos4 в сообщении #964701 писал(а):

Да такие же стандартные операторы, как и в "дискретном случае"

Как я уже уловил из объяснений Red_Herring (да и до него было дело), "стандартные" бывают только у физиков, которые не лезут в математические тонкости.

[Red_Herring]

Да, тут есть проблема (возможно решенная): модель, показывающая, что это все реализуемо. Я спрошу у матфизиков

[jlecter]

Munin в сообщении #964483 писал(а):

Возможно. Поскольку экспериментально этого изучить нельзя, то точно вам никто не ответит.

Есть ли взаимозависимость между энергией/импульсом фотона и интенсивностью его гравитации?

[kira_97]

jlecter в сообщении #966040 писал(а):

Есть ли взаимозависимость между энергией/импульсом фотона и интенсивностью его гравитации?

Наверное нет.

[Ms-dos4]

jlecter
Вы начинаете задавать уже весьма сложные вопросы. Гравитация между светом - это весьма экзотично. Но ответ на ваш вопрос - по идее да, зависимость от энергии должна быть. (Если я не прав, пусть меня поправят более знающие в этом вопросе). Кто то тут недавно задавал уже вопрос о силе гравитации между лучами света, и я давал "игрушечную" оценку, что эти лучи должны иметь энергию $\[ \sim m{c^2}\]$, что бы гравитировать как массы $\[m\]$.
kira_97
А вам лучше молчать, вы то откуда знаете?