2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Мощность множества всех фигур на плоскости
Сообщение10.01.2015, 02:02 
Аватара пользователя


06/01/15
78
Собственно, чему эта мощность равна ?
Понятное дело что сверху можно его оценить $2^{R  \times R} $, но вот чем оценить снизу? Я вот пытаюсь подобрать какой-нибудь класс фигур который можно биективно отобразить в $2^{R } $ или в $2^{R \times R} $ или $2^{R_{+}} $, но по-моему такого класса не существует, ведь подмножества могут быть разрывные, что это тогда за фигуры получатся ? Или может как-то иначе доказательство строить? :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность множества всех фигур на плоскости
Сообщение10.01.2015, 02:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7981
Hogtown
А что такое "фигура"? Если это любое множество, то ответ будет тот, который Вы указали, но я думаю что под фигурой Вы понимаете нечто не столь общее. Определение требуется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность множества всех фигур на плоскости
Сообщение10.01.2015, 02:12 
Аватара пользователя


06/01/15
78
Red_Herring
Я предполагаю, что фигура понимается как множество точек на плоскости, которое ограниченно конечным числом линий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность множества всех фигур на плоскости
Сообщение10.01.2015, 02:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7981
Hogtown
Прекрасно, дайте определение линии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность множества всех фигур на плоскости
Сообщение10.01.2015, 03:03 


12/09/13
19
Москва
Ни коим образом не претендуя на помощь великому Red_Herring, предлагаю ТС решить задачу о мощности множества непрерывных функций, и определить понятие линии через понятие непрерывной функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность множества всех фигур на плоскости
Сообщение10.01.2015, 03:08 
Аватара пользователя


06/01/15
78
Red_Herring
В этой задаче, наверно это то, что под линией понимают в элементарной геометрии: прямая, кривая, окружность, отрезок и т.д.
Вы хотите сказать, что без точного определения объекта этого множества не получится посчитать его мощность ? Может тогда попытаться конкретизировать задачу? Допустим, то что это подмножество булеана $R \times R $ понятно, если еще теперь показать что его мощность превосходит континуум и остановится на такой оценке, например. Но как тогда построить такое доказательство?

-- 10.01.2015, 03:14 --

Yhn112
Очень это радикально, мне кажется, мы тогда получим что множество всех фигур континуум, это как-то странно.
Да и обделим огромное множество кривых которые не являются функциями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность множества всех фигур на плоскости
Сообщение10.01.2015, 03:26 


12/09/13
19
Москва
Не смею мешать Вам доказывать, что кривых на плоскости не то чтобы сильно больше чем непрерывных функций. И привыкать к странностям, да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность множества всех фигур на плоскости
Сообщение10.01.2015, 03:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
658
матмех спбгу
Непрерывная линия локально является графиком непрерывной функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность множества всех фигур на плоскости
Сообщение10.01.2015, 04:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5040
demolishka в сообщении #959403 писал(а):
Непрерывная линия локально является графиком непрерывной функции.


Прямо уж любая непрерывная кривая?

На самом деле это не важно. Любая непрерывная кривая на плоскости — это пара непрерывных функций $(x(t),y(t))$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность множества всех фигур на плоскости
Сообщение10.01.2015, 14:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7981
Hogtown
Безусловно, при всех более или менее разумных определених "фигура" (ну например замкнутое множество, или даже борелевское множество) результат будет одним и тем же (но уже если под фигурой понимать "измеримое по Лебегу" ответ будет совсем другим). Но в любом случае задачу надо формулировать четко, и именно это была моя претензия к ТС.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность множества всех фигур на плоскости
Сообщение10.01.2015, 15:35 


04/06/12
393
g______d в сообщении #959406 писал(а):
demolishka в сообщении #959403 писал(а):
Непрерывная линия локально является графиком непрерывной функции.


Прямо уж любая непрерывная кривая?



Так вроде да. Теорема Уитни и теорема о неявной функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность множества всех фигур на плоскости
Сообщение10.01.2015, 15:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3883
МФТИ ФУПМ
Не каждая кривая локально монотонна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность множества всех фигур на плоскости
Сообщение10.01.2015, 17:33 


29/08/13
226
Terraniux в сообщении #959501 писал(а):
Так вроде да. Теорема Уитни и теорема о неявной функции.

Даже если бы речь шла о регулярных кривых, то при чём тут теорема Уитни (хотя может я не на ту теорему подумал)? Так или иначе, это была бы просто теорема о неявной функции.

А про просто непрерывные - Пеано с Вами не согласился бы наверно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность множества всех фигур на плоскости
Сообщение10.01.2015, 18:01 


04/06/12
393
VanD в сообщении #959537 писал(а):
Terraniux в сообщении #959501 писал(а):
Так вроде да. Теорема Уитни и теорема о неявной функции.

Даже если бы речь шла о регулярных кривых, то при чём тут теорема Уитни (хотя может я не на ту теорему подумал)? Так или иначе, это была бы просто теорема о неявной функции.

А про просто непрерывные - Пеано с Вами не согласился бы наверно).

(Оффтоп)

Теорема о том, что всякое замкнутое множество в $\mathbb{R}^n$ является поверхностью уровня некоторой функции, притом бесконечно дифференцируемой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность множества всех фигур на плоскости
Сообщение10.01.2015, 18:33 


29/08/13
226

(Оффтоп)

Но ведь быть множеством уровня гладкой функции ещё не значит локально быть графиком какой-нибудь гладкой функции?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group