2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Остаток при делении числа на другое число
Сообщение10.12.2014, 14:55 
Аватара пользователя
ZumbiAzul в сообщении #943654 писал(а):
Почему это так?

Числа принадлежащие одному классу вычетов взаимозаменяемы.

 
 
 
 Re: Остаток при делении числа на другое число
Сообщение10.12.2014, 15:00 
whitefox в сообщении #943649 писал(а):
Вычислите $21^{10}\bmod13$ указанным мной способом.

$$21^{10}\equiv(-5)^{10}\equiv25^5\equiv(-1)^5=-1\equiv12\equiv25\pmod{13}$$
Но где тогда кроется ошибка в моих рассуждениях?

-- Ср дек 10, 2014 15:06:00 --

whitefox в сообщении #943655 писал(а):
Числа принадлежащие одному классу вычетов взаимозаменяемы.

Откуда следует, что если основание $a$ числа $a^n$ заменить на число $b$, принадлежащее тому же классу вычетов, что и $a$, то полученное число $b^n$ будет взаимозаменяемым c исходным числом $a^n$?

 
 
 
 Re: Остаток при делении числа на другое число
Сообщение10.12.2014, 15:15 
Аватара пользователя
Сравнения по одному основанию можно складывать, перемножать и, следовательно, возводить в натуральную степень. Первые два свойства проверяются простым вычислением. Впрочем, последнее также довольно очевидно, так как $x^n-y^n$ делится (как многочлен) на $x-y$.

 
 
 
 Re: Остаток при делении числа на другое число
Сообщение10.12.2014, 15:16 
provincialka в сообщении #943661 писал(а):
Сравнения по одному основанию можно складывать, перемножать и, следовательно, возводить в натуральную степень. Первые два свойства проверяются простым вычислением. Впрочем, последнее также довольно очевидно, так как $x^n-y^n$ делится (как многочлен) на $x-y$.

Спасибо, теперь понятно.
whitefox в сообщении #943626 писал(а):
$$21^{10}\equiv(-5)^{10}\equiv25^5\equiv(-1)^5\pmod{26}$$

в исходной задаче ответ писать следует -1 или 25?

 
 
 
 Re: Остаток при делении числа на другое число
Сообщение10.12.2014, 15:20 
Аватара пользователя
ZumbiAzul в сообщении #943657 писал(а):
Но где тогда кроется ошибка в моих рассуждениях?


ZumbiAzul в сообщении #943595 писал(а):
1. Т.к. $26=2\cdot13$ и Н.О.Д(21,2)=Н.О.Д.(21,13)=1, то по малой теореме Ферма имеют место следующие два сравнения:$$21^1\equiv1\pmod2,$$$$21^{12}\equiv1\pmod{13}.$$ Беря корень 12-й степени из второго сравнения, получаем$$21^1\equiv1\pmod2,$$$$21^1\equiv1\pmod{13}.$$
Любопытно как Вы вычисляли корень 12 степени. Для сравнений даже корень второй степени не всегда существует.

О том, что Ваш метод не может быть верным говорит не верный результат, так как $21\not\equiv1\pmod{13}.$

-- 10 дек 2014, 15:24 --

ZumbiAzul в сообщении #943663 писал(а):
в исходной задаче ответ писать следует -1 или 25?

Там, вроде как, остаток вычисляется? А по определению знак остатка равен знаку делителя.

 
 
 
 Re: Остаток при делении числа на другое число
Сообщение10.12.2014, 15:31 
Спасибо! :D
Вот решение (пока без ответа):
$11^{21^{71^{9}}}\equiv11^{21^{71^{9}}\bmod {78}}\pmod{79}=11^{(21\cdot21^{71^{9}-1})\bmod {78}}\pmod{79}=11^{3\cdot[(7\cdot21^{71^{9}-1})\bmod {26}]}\pmod{79}=11^{3\cdot[((7\bmod26)(21^{71^{9}-1}\bmod {26}))\bmod26]}\pmod{79}=11^{3\cdot[(7\cdot(21^{(71^{9}-1)\bmod\lambda(26)}\bmod {26}))\bmod26]}\pmod{79}=11^{3\cdot[(7\cdot(21^{71^{9}\bmod\lambda(26)-1}\bmod {26}))\bmod26]}\pmod{79}=11^{3\cdot[(7\cdot(21^{(71^{9}\bmod12+(-1)\bmod12)\bmod12}\bmod {26}))\bmod26]}\pmod{79}=11^{3\cdot[(7\cdot(21^{(71^{9\bmod\lambda(12)}\bmod12+11)\bmod12}\bmod {26}))\bmod26]}\pmod{79}=11^{3\cdot[(7\cdot(21^{(71^{9\bmod2}\bmod12+11)\bmod12}\bmod {26}))\bmod26]}\pmod{79}=11^{3\cdot[(7\cdot(21^{[(71^{1}\bmod12)\bmod12+11\bmod12]\bmod12}\bmod {26}))\bmod26]}\pmod{79}=11^{3\cdot[(7\cdot(21^{22\bmod12}\bmod {26}))\bmod26]}\pmod{79}=11^{3\cdot[(7\cdot(21^{10}\bmod {26}))\bmod26]}\pmod{79}=11^{3\cdot[(7\cdot25)\bmod26]}\pmod{79}=11^{57}\pmod{79}=??.$

Остается посчитать остаток от деления $11^{57}$ на 79.
Остальное ведь теперь все верно? :-)

-- Ср дек 10, 2014 15:36:55 --

whitefox в сообщении #943664 писал(а):
Любопытно как Вы вычисляли корень 12 степени. Для сравнений даже корень второй степени не всегда существует.

Но ведь для любого целого числа $a$ верно соотношение $(a^{12})^{\frac{1}{12}}=a$. Т.е. корень из 12 степени числа в степени 12 будет само число.

 
 
 
 Re: Остаток при делении числа на другое число
Сообщение10.12.2014, 15:45 
Аватара пользователя
ZumbiAzul в сообщении #943670 писал(а):
Остается посчитать остаток от деления $11^{57}$ на 79.
Остальное ведь теперь все верно? :-)

Вроде как :D
У меня вышло тоже самое.

-- 10 дек 2014, 15:54 --

ZumbiAzul в сообщении #943670 писал(а):
Но ведь для любого целого числа $a$ верно соотношение $(a^{12})^{\frac{1}{12}}=a$. Т.е. корень из 12 степени числа в степени 12 будет само число.

Со сравнениями так просто не получится. Ваша попытка вычисления $21^{10}\bmod13$ показывает что может найтись пара чисел $a$ и $b$ не сравнимых по модулю $m$ таких, что $a^n\equiv b^n\pmod m.$

Как в Вашем случае $21\not\equiv1\pmod{13}$ в то время как $21^{12}\equiv1^{12}\pmod{13}.$

 
 
 
 Re: Остаток при делении числа на другое число
Сообщение10.12.2014, 16:05 
whitefox в сообщении #943677 писал(а):
Вроде как :D
У меня вышло тоже самое.

Ответ будет 49? :D

 
 
 
 Re: Остаток при делении числа на другое число
Сообщение10.12.2014, 16:19 
Аватара пользователя
ZumbiAzul в сообщении #943683 писал(а):
Ответ будет 49? :D

У меня ответ другой.

 
 
 
 Re: Остаток при делении числа на другое число
Сообщение10.12.2014, 16:39 
whitefox в сообщении #943689 писал(а):
У меня ответ другой.

я так и думал)
вашим методом не получается получить что-либо дельное, как тогда решить?

 
 
 
 Re: Остаток при делении числа на другое число
Сообщение10.12.2014, 16:48 
Аватара пользователя
ZumbiAzul в сообщении #943694 писал(а):
вашим методом не получается получить что-либо дельное, как тогда решить?

Им и решать: $$11^{57}\equiv11\cdot11^{56}\equiv11\cdot42^{28}\pmod{79}$$ и так далее.

 
 
 
 Re: Остаток при делении числа на другое число
Сообщение10.12.2014, 17:03 
whitefox в сообщении #943699 писал(а):
и так далее.

Ответ 21? :D

 
 
 
 Re: Остаток при делении числа на другое число
Сообщение10.12.2014, 17:08 
Аватара пользователя
Да :D

 
 
 
 Re: Остаток при делении числа на другое число
Сообщение10.12.2014, 17:25 
Ур-р-р-р-ра-а-а-а!=)
Теперь осталась первая задача :D

Вот, что у меня получается:

$7^{7^{7^{7^{{...}^{7^{7\bmod1}\bmod1}{...}}\bmod1}\bmod2}\bmod12}\bmod13= 7^{7^{7^{7^{{...}^{7^{0}\bmod1}{...}}\bmod1}\bmod2}\bmod12}\bmod13= 7^{7^{7^{7^{{...}^{1\bmod1}{...}}\bmod1}\bmod2}\bmod12}\bmod13= 7^{7^{7^{7^{{...}^{0}{...}}\bmod1}\bmod2}\bmod12}\bmod13= 7^{7^{7^{7^{0}\bmod1}\bmod2}\bmod12}\bmod13= 7^{7^{7^{1\bmod1}\bmod2}\bmod12}\bmod13= 7^{7^{7^{0}\bmod2}\bmod12}\bmod13= 7^{7^{1\bmod2}\bmod12}\bmod13= 7^{7^{1}\bmod12}\bmod13= 7^{7\bmod12}\bmod13= 7^{0}\bmod13 = 1\bmod13 = 1.$

Как-то слишком все просто. Я правильно решил?

 
 
 
 Re: Остаток при делении числа на другое число
Сообщение10.12.2014, 17:51 
Аватара пользователя
Вы уверены, что это $7\bmod12=0$ правильно?

 
 
 [ Сообщений: 51 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group