STilda писал(а):
Так я и знал что это будет какоето "извращение", извините за выражение.
Да, выражение точное.
Эти утверждения стоят в одном ряду с существованием неизмеримых по Лебегу множеств и
парадоксом Банаха-Тарского. Всё это строится на основе так называемой
аксиомы выбора (статья по этой ссылке - так себе, но разобраться можно). В вышеупомянутом Куроше про это тоже написана глава.
С помощью аксиомы выбора можно доказывать всякие глобальные утверждения, типа
* Любое множество можно
вполне упорядочить* В любом
векторном пространстве существует
базиси т.д.
Первое утверждение обосновывает возможность "трансфинитной индукции", то есть математическую индукцию по (вообще говоря)
несчетным вполне упорядоченным множествам. Второе, фактически, позволяет полностью классифицировать все векторные пространства, и оно же используется в решении задачек.
Скажем, вторая задачка решается так. Рассмотрим
и
как векторные пространства над полем
рациональных чисел. В каждом из них есть базис, то есть такой набор векторов, что каждый вектор пространства есть линейная комбинация
конечного числа векторов из базиса, и при этом вектор
а базиса друг через друга так не выражаются. В обоих случаях базис получается несчетный, и два получаемых базиса будут иметь одинаковую мощность. Тогда, устанавливая взаимно однозначное соответствие между базисами, получим, что
и
изоморфны как векторные пространства над
, и тем более как группы.
Все, конечно, хорошо, но базис у
над
представить себе уже не удается.
Первая задачка: берем снова базис
в пространстве
над
, и пусть
- это коеффициент при разложении
вектора при первом базисном векторе
. Функция
- искомая. Аддитивность очевидна, а нелинейность следует хотя бы из того, что
принимает только рациональные значения.
Ладно, Вы вроде этого не заказывали, это я так.
Вообще, трансфинитная индукция - штука полезная, когда надо что-то новое построить.
Еще несколько ответов.
STilda писал(а):
Многополярное поле - это множество чисел с двумя операциями на них.
А почему именно две? (кстати, а почему их вообще конечное число?) А они предполагаются бинарными?
Все равно в таком виде эта теория полностью покрывается теорией универсальных алгебр из того же Куроша. На то она и общая алгебра. Как ни странно, теория достаточно богатая получается.
Только вот при чем тут много/мало-полярность? Чего тут много, а там мало? Хотя ладно, я еще глубоко не разбирался.
STilda писал(а):
Заметьте, там, в квантовой физике, почему-то выдумывают умопомрачительные математические аппараты, частицы представляют в виде операторов и всякие такие "ухищрения"...
... кварки теже, компенсируются только втроем вместе, вдвоем - никак. чем не несогласованность с "обычным" мат аппаратом?
А Вы там глубоко в этой теме, да? Разбираетесь в квантовой механике? Я вот не очень секу, и мне наоборот приятно, что красивая математика там используется
А что криво все - это у них всегда так, у этих физиков. Мысль ваша интересная, понятная, внешнюю тему почитал немного. Много ясности мышления (физического) нужно, чтобы аксиомы выбрать правильные.