О смешном парадоксе "Большой" теоремы Ферма.

[PAV]

Кажется, я понял, какое рассуждение Вы пытаетесь представить. Поправьте, если я не прав.
(Пока не забыл: при наборе формул не набирайте тег math сами, форум это сделает за Вас, но окружите формулы знаками долларов. Смотрите разницу: у Вас A^f, а правильно $A^f$. Наведите курсор мыши на формулу и всплывающая подсказка покажет, как эта формула была набрана.)

Но ближе к теме. Допустим, $A^n+B^n=C^n$. (1)
Это равенство можно переписать в виде $(\sqrt{A^n})^2+(\sqrt{B^n})^2=(\sqrt{C^n})^2$. (2)
То есть треугольник со сторонами $(\sqrt{A^n},\sqrt{B^n},\sqrt{C^n})$ - прямоугольный.
Но он геометрически подобен тругольнику со сторонами $(A,B,C)$. (*)
Значит, последний также прямоуголен, откуда $A^2+B^2=C^2$. (3)
Но равенства (1) и (3) исключают друг друга. Действительно, поскольку $C>A$ и $C>B$, то умножая равенство (3) на $C^{n-2}$, получим
$C^n=A^2C^{n-2}+B^2C^{n-2}>A^n+B^n$.
Противоречие.


Если это так (в смысле - соответствует Вашему рассуждению), то я пометил (*) неверное утверждение. Если нет, то постарайтесь изложить Ваше рассуждение примерно в таком же стиле, лаконично, с минимальным числом слов, без банальностей типа "любое соотношение выполнено либо со знаком равенства, либо со знаком неравенства" и т.п. Вообще давайте обойдемся без обобщений, не надо писать про "любые соотношения", проведите лучше все рассуждения над именно тем конкретным соотношением, которое нам нужно.

И уж как минимум, поскольку Вы упоминаете про геометрическое подобие фигур, то точно опишите пожалуйста, какие именно фигуры Вы считаете подобными.

[bot]

В конце концов, в математике не столько важен результат, сколько важен метод его получения. Автора темы, за исключением быть может ещё 1-2 человек, здесь не понимают. Не видит никто никакой связи между простым упражнением и ВТФ, придираются к тому, что само собой "очевидно". Вот и возникла у меня мысль взять другое уравнение и пусть автор вынесет свой вердикт. Неужто не захочет продемонстрировать, что у него не только результат, но и метод?
Меня несколько опередил PAV и я заколебался, ждать ответа на его вопрос или нет? Решил не ждать - в конце концов, мы оба спрашиваем об одном и том же. А предоставленной халявой грех не воспользоваться - чуток подправил предыдущее и вуаля:

Допустим,
(1) $\ \ A^{\frac{1}{n}}+B^{\frac{1}{n}}=C^{\frac{1}{n}}$.
Это равенство можно переписать в виде
(2) $\ \ (\sqrt{A^{\frac{1}{n}}})^2+(\sqrt{B^{\frac{1}{n}}})^2=(\sqrt{C^{\frac{1}{n}}})^2$.
То есть треугольник со сторонами $(\sqrt{A^{\frac{1}{n}}},\sqrt{B^{\frac{1}{n}}},\sqrt{C^{\frac{1}{n}}})$ - прямоугольный.
Но он геометрически подобен треугольнику со сторонами $(A,B,C)$.
Значит, последний также прямоуголен, откуда
(3) $\ \ A^2+B^2=C^2$.
Но равенства (1) и (3) исключают друг друга. Действительно, поскольку $C>A$ и $C>B$, то разделив равенство (3) на $C^{2-\frac{1}{n}}$, получим
$A^{\frac{1}{n}}+B^{\frac{1}{n}}>\frac{A^2}{C^{2-\frac{1}{n}}}+\frac{B^2}{C^{2-\frac{1}{n}}}=C^{\frac{1}{n}}$.
Противоречие.

Теперь у меня вопрос к автору темы: Доказал я или нет следующее утверждение?

Уравнение $\ \ A^{\frac{1}{n}}+B^{\frac{1}{n}}=C^{\frac{1}{n}}$ не имеет решений в натуральных числах?

[VladStro]

Уважаемые господа, да Вы и говорите о доказательстве. Ведь прямоугольный треугольник образованный одинаковыми n-степенями, подразумевает новые переменные в квадратной степени, практически не имеющие ничего общего с переменными А; В; и С. То есть, этот прямоугольный треугольник, принадлежит новой цепочке возведений, и уже во вторую степень, вообще каких-то произвольных положительных переменных, а сравнивается с равенством Пифагора лишь из-за предполагаемой принадлежности к равенству квадратов сторон прямоуголного треугольника.
Делением на общий коэффициент кратности (т.е., приведением к равенству Пифагора), мы всего лишь определяем, есть ли среди бесчисленного множества трёх произвольных положительных переменных такие, которые могут привести к образованию этого предполагаемого равенства одинаковых n-степеней, соответствующего равенству Пифагора. То есть, вообще соответствующего равенству.

Завтра я постараюсь объяснить более подробно с применением формул.
С уважением.
Строганов Владимир.

[PAV]

VladStro писал(а):

Завтра я постараюсь объяснить более подробно с применением формул.

Пожалуйста, потому что из того, что Вы написали, я не понял ничего.

[TOTAL]

VladStro писал(а):

Ведь прямоугольный треугольник образованный одинаковыми n-степенями, подразумевает новые переменные в квадратной степени, практически не имеющие ничего общего с переменными А; В; и С. То есть, этот прямоугольный треугольник, принадлежит новой цепочке возведений, и уже во вторую степень, вообще каких-то произвольных положительных переменных, а сравнивается с равенством Пифагора лишь из-за предполагаемой принадлежности к равенству квадратов сторон прямоуголного треугольника.
Делением на общий коэффициент кратности (т.е., приведением к равенству Пифагора), мы всего лишь определяем, есть ли среди бесчисленного множества трёх произвольных положительных переменных такие, которые могут привести к образованию этого предполагаемого равенства одинаковых n-степеней, соответствующего равенству Пифагора. То есть, вообще соответствующего равенству.

Завтра я постараюсь объяснить более подробно с применением формул.

В том и проблема, что Вам только кажется, что Вы объясняете. Поэтому постарайтесь сначала объяснить самому себе, почему в (например, ближайших) постах PAV'а и bot'а все абсолютно понятно, а Ваши объяснения неизменно воспринимаются как показания свидетеля, старающегося умышленно запутать следствие.

[STilda]

VladStro, если я Вас правильно понял, логика следующая:
1. Рассматриваем три величины $A, B, C$. Для них может быть либо $A+B=C$ либо $A+B \ne C$. Второй нас не интересует, так что рассматриваем дальше первый.
2. Любая величина может быть представлена в виде квадрата, потому равенству $A+B=C$ ВСЕГДА можно поставить в соответствие равенство $a^2+b^2=c^2$, где $A=a^2, B=b^2, C=c^2$.
3. Дальше, на сколько я смог понять, Вы по сути хотите доказать, что никакое другое равенство вида $a^n+b^n=c^n$ не может соответствовать равенству $A+B=C$, показывая, что $a^n+b^n=c^n$ не совместимо с $a^2+b^2=c^2$.

Но из этой не совместимости ничего не следует. К тому же, что Вы ответите на следующую логику:
1. Каждая величина может быть одновременно представленна в виде квадрата одной и куба другой, тоесть без сомнений может быть $X=x1^2$ и одновременно $X=x2^3$.
2. Тогда любому равенству $A+B=C$ может одновременно соответствовать и $a1^2+b1^2=c1^2$ и $a2^3+b2^3=c2^3$.
3. Тоесть как минимум в формулировке теоремы Ферма, условие того, что $a2, b2, c2$ являются целыми, не лишено смысла.

Любому равенству $A+B=C$ "соответствует" теорема Пифагора, но доказательства того, что по этой причине, ему не может "соответствовать" еще и теорема Ферма, мне в Выших рассуждениях не видно.

(Давайте не будем придираться к формальностям типа "положительность величин" и тому подобным вещам, при условии очевидности того, что имеется ввиду автором)

[AndAll]

VladStro
По-моему, Вы просто пытаетесь сказать, что любому равенству $\[A + B = C\]$ , где $\[A,B,C\]$ - положительные числа, соответствует, как Вы выражаетесь, «классическое уравнение квадратов» - $\[\alpha ^2 + \beta ^2 = \gamma ^2 \]$ , где $\[\alpha = \sqrt A ,\,\,\beta = \sqrt B ,\,\,\gamma = \sqrt C \]$. Это действительно верно. Далее Вы пишите, что

Цитата:

Общее уравнение Пифагора (и единственное), для соотношений квадратов сторон произвольного прямоугольного треугольника, включает в себя абсолютно все, существующие в природе, линейные равенства любых трёх произвольных положительных величин …

При правильной формулировке с этим тоже можно согласиться.
Вы вводите понятие «принципа математического подобия», что можно перевести как то, что любое решение уравнения Пифагора можно записать в целых числах. Вот здесь и кроется ошибка. В целых числах можно выразить только рациональные решения этого уравнения.
Но… уравнение Пифагора имеет решения не только в рациональных числах. Поэтому, если при некоторых $\[n,x,y,z\]$
($\[x,y,z\]$ - рациональные) равенство $\[x^n + y^n = z^n \]$ выполняется, это не влечет рациональности $\[\sqrt {x^n } ,\sqrt {y^n } ,\sqrt {z^n } \]$. Поэтому треугольник со сторонами $\[\sqrt {x^n } ,\sqrt {y^n } ,\sqrt {z^n } \]$ , будучи прямоугольным, не обязан иметь рациональные стороны. А значит, и равенство $\[x^n + y^n = z^n \]$ не будет иметь «математически подобного» «классического уравнения квадратов» - $\[\alpha ^2 + \beta ^2 = \gamma ^2 \]$ в рациональных, или, если Вам так удобнее, в целых числах.
То есть, существование равенства $\[x^n + y^n = z^n \]$ не обусловлено существованием равенства $\[\alpha ^2 + \beta ^2 = \gamma ^2 \]$ в рациональных числах, и Ваша фраза

Цитата:

ему всегда соответствует соотношение целых квадратов сторон произвольного прямоугольного треугольника

неверна (предполагаю, что под «целыми квадратами сторон» Вы подразумеваете квадраты целочисленных сторон).

Цитата:

Мировое, и в частности, российское математическое сообщество, пользуется существующим математическим невежеством основной массы населения планеты …

Действительно, с этим надо бороться. С математическим невежеством.

Цитата:

Заранее предполагая, что …

Было бы интересно услышать, откуда Вы знаете, что заранее предполагал П. Ферма?

[AD]

AndAll, мне кажется, что ошибка не в этом. Тут автор доказал, что уравнение Ферма не имеет действительных решений, он нигде к целочисленности не апеллирует вообще .

У него какая-то крутая логическая ошибка, типа что при

$$x^n+y^n=z^n\eqno(1)$$

должно одновременно непременно быть

$$x^2+y^2=z^2\eqno(2)$$

, иначе (1) не может иметь места, так как "не приводится к сумме квадратов". После этого торжественно обнаруживается противоречие между (1) и (2). Почему сумма квадратов должна приводиться именно к (2), а не к тривиальному

$$(\sqrt{x^n})^2+(\sqrt{y^n})^2=(\sqrt{z^n})^2\eqno(2')$$

, остается без пояснений.

Так что ничего похожего на доказательство я у автора не нашел.

[ljubarcev]

AD писал(а):

У него какая-то крутая логическая ошибка, типа что при

$$x^n+y^n=z^n\eqno(1)$$

должно одновременно непременно быть

$$x^2+y^2=z^2\eqno(2)$$

Так что ничего похожего на доказательство я у автора не нашел.

Уважаемый "AD" !. Логической ошибки в этом утверждении нет. Действительно при $x^n+y^n=z^n$ должно быть $(x_1^2)^n +(y_1^2)^n=(z_1^2)^n^$, то есть $(x_1^n)^2 +(y_1^n)^2=(z_1^n)^2^$. Доказательство этого я опубликовал здесь на форуме в своей теме "О "последнем" утвкрждении П. Ферма". На это доказательство пока нет ни одного замечания. Хотя оно и короткое и на мой взгляд вполне "удивительное" - здесь не привожу, так как модераторы могут счесть это за "спам".
Дед.

[PAV]

ljubarcev



Вам же уже много раз объясняли - в этих утверждениях речь идет о разных числах. Вы сами сейчас пишете в одном случае $(x,y,z)$, а во втором - $(x_1,y_1,z_1)$. Тут же речь идет о том, что в (1) и (2) фигурирует один и тот же набор чисел. Этот переход не доказан.

[Brukvalub]

В общем, все получилось почти как у С. Михалкова:
"Ищут пожарные, ищет милиция
ищут фотографы нашей столицы
ищут давно, но не могут найти..
а вот это уже мой вклад в стихотворчество:
смысла страницах уже на пяти
( с количеством стр. получилось не совсем правдиво, зато - в рифму)

[PAV]

Учитывая затянувшееся молчание автора темы я немного надеюсь, что он уже осознал свою ошибку. Правда, если это действительно так, то неплохо было бы написать об этом.

[ljubarcev]

PAV писал(а):

Вам же уже много раз объясняли - в этих утверждениях речь идет о разных числах. Вы сами сейчас пишете в одном случае $(x,y,z)$, а во втором - $(x_1,y_1,z_1)$. Тут же речь идет о том, что в (1) и (2) фигурирует один и тот же набор чисел. Этот переход не доказан.

Уважаемый PAV ! Вы же не оспариваете верность доказательства того, что $x;y;z$ должнs быть квадратами. А как ещё можно записать этот факт, кроме $x=x_1^2$; $y=y_1^2$; $z=z_^2$. После подстановки и получаем, что при $x^n+y^n=z^n$ должно быть $(x_1^n)^2+(y_1^n)^2=(z_1^n)^2$, Отсюда и очевидно, что равенство $x^n+y^n=z^n$ разрешимо только в чётных степенях. Что оно не имеет решений в чётных степенях больших $2$ давно доказано. Оно и понятно - среди чётных чисел имется только одно простое число $2$.
Прошу прощения у автора темы за ответ в его теме, но после копирования цитаты с последующим вставлении её в ответ в моей теме не воспроизводятся формулы.
Дед.

[AD]

ljubarcev писал(а):

Прошу прощения у автора темы за ответ в его теме, но после копирования цитаты с последующим вставлении её в ответ в моей теме не воспроизводятся формулы.

Ну жмаете кнопку "цитата", и полученный текст копируете/вставляете куда надо.

Про содержательную часть вашего последнего сообщения лучше промолчу - здоровье дороже.

[VladStro]

Уважаемые господа,
Прошу прощения за задержку с ответом, необходимо было решить мелкие личные (домашние) проблемы. Чем мельче проблема, тем больше времени она отнимает.
Хотелось бы пояснить свои соображения максимально подробно, но боюсь, что мне трудно будет избежать претензий к словам, не полностью совпадающим с точными математическими формулировками, ну, да ладно.
И так. Переменные $A$; $B$; $C$, конечно же, имеют какие-то произвольные численные значения, но, особо подчеркну, не численно, а в алгебраической записи, это бесчисленное количество целых оснований степеней.
Допустим, что после возведения произвольного соотношения трёх целых положительных оснований (в алгебраической записи) в одинаковые n-степени, мы получили равенство больших степеней (n > 2), в целых же основаниях: $A^n + B^n = C^n$.
Равенство $A^n + B^n = C^n$ представляет собой равенство квадратов от других произвольных переменных, вида: $\sqrt{A^n}\sqrt{A^n} + \sqrt{B^n}\sqrt{B^n} = \sqrt{C^n}\sqrt{C^n}$, геометрически подобное равенству квадратов Пифагора.
Предполагаемое равенство $\sqrt{A^n}\sqrt{A^n} + \sqrt{B^n}\sqrt{B^n} = \sqrt{C^n}\sqrt{C^n}$ общее, так как оно справедливо от $\sqrt{A^n}\ = 0$; $\sqrt{B^n} = \sqrt{C^n}$ и до $\sqrt{B^n}\ = 0$; $\sqrt{A^n} = \sqrt{C^n}$.
Внутри предполагаемого равенства $\sqrt{A^n}\sqrt{A^n} + \sqrt{B^n}\sqrt{B^n} = \sqrt{C^n}\sqrt{C^n}$, бесспорно, содержится меньшее, геометрически подобное, равенство квадратов от каких-либо произвольных целых положительных оснований $A$; $B$; $C$, которое так же общее, так как, и оно справедливо от $A = 0$; $B = C$, и до $B = 0$; $A = C$.
Для того чтобы выяснить может ли существовать равенство, образованное тремя одинаковыми целыми n-степенями (n > 2), достаточно в предполагаемом, большем равенстве трёх квадратов $A^fA^2 + B^fB^2 = C^fC^2$ ($f + 2 = n$ - целое число) выделить геометрически подобные целые квадраты от произвольных положительных целых переменных: $AA + BB = CC$.
$(\frac {A^f}{C^f})A^2 + (\frac {B^f}{C^f})B^2 = (\frac {C^f}{C^f})C^2$
$(\frac {A^f}{C^f})A^2 + (\frac {B^f}{C^f})B^2 = C^2$; => $(\frac {A^f}{C^f}) < 1, (\frac {B^f}{C^f}) < 1$ => $C^2 \ne A^2 + B^2$
Предполагаемое большее равенство: $A^n + B^n = C^n$ не приводится к геометрически подобному равенству целых квадратов сторон прямоугольного треугольника: $(\frac {A^f}{C^f})A^2 + (\frac {B^f}{C^f})B^2 = C^2$.
Следовательно: Общие равенства $A^n + B^n = C^n$; и $A^2 + B^2 = C^2$; не являются геометрически (математически) подобными выражениями. То есть, одно из этих выражений не является равенством, но так как равенство Пифагора никто оспаривать не собирается, то, равенства трех целых одинаковых степеней (при n > 2) существовать не может $A^n + B^n \ne C^n$ .
Отсюда: «Невозможно (подобно равеству целых квадратов, прим. VladStro) разложить полный куб на сумму полных кубов, четвёртую степень на сумму четвёртых степеней, вообще какую-либо степень n > 2, на сумму степеней с тем же показателем».
С уважением.
VladStro.