arseniiv, по-моему, Ваши решение и ответ подходят для другой задачи: "Сколько существует способов выбора

шаров из

шаров цвета 1, ...,

цвета

?"
А что касается задачи ТС, то при

она равносильна следующей: сколько существует способов представить число

в виде суммы не более, чем

слагаемых (с точностью до порядка этих слагаемых). И тогда искомое число будет коэффициентом при

в разложении

в чем можно убедиться непосредственно, если заметить, что слагаемое

соответствует тому разбиению, когда
ровно
корзин содержат не менее
шаров.
При

все усложняется еще больше, и тут мне нечего Вам посоветовать.