Хорошо, я решения Морделл не смотрел, попробую ничего не пропустить. Так как одно из
![$a,b$ $a,b$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/b/b4bbe16e32e2319d5835a2ce2360eb4b82.png)
должно быть нечетным, мне кажется удобнее перейти к новым переменным, зафиксировать
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
нечетное:
1)
![$\\(2a-b)+3b=2m^2\\
(2a-b)^2+3b^2=(2n)^2$ $\\(2a-b)+3b=2m^2\\
(2a-b)^2+3b^2=(2n)^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/1/301924994b9121dc806afa01f27e732c82.png)
или
![$\\x+3y=2m^2\\
x^2+3y^2=(2n)^2$ $\\x+3y=2m^2\\
x^2+3y^2=(2n)^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/3/8233c550a633b6b71979c321593b4e2f82.png)
где
![$x,y$ $x,y$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/c/0acac2a2d5d05a8394e21a70a71041b482.png)
-
нечетные взаимнопростые. Решаем второе уравнение с помощью формулу разности квадратов:
![$(2n+x)(2n-x)=3y^2$ $(2n+x)(2n-x)=3y^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/8/4c8039037483e90d60f7b7b586aaf27782.png)
![$2n+x=p^2, \quad 2n-x=3q^2$ $2n+x=p^2, \quad 2n-x=3q^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/2/8324cb31edc81a22461f8b9e2f0997e282.png)
![$\\x=(p^2-3q^2)/2\\
y=pq$ $\\x=(p^2-3q^2)/2\\
y=pq$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/0/7e0b8a12d398c7c716c919a654e9fe1982.png)
где
![$p,q$ $p,q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/e/9ee547e0827e5bb29b5feb9f5f57419382.png)
-
взаимнопростые нечетные,
![$p\not \equiv 0 \pmod 3$ $p\not \equiv 0 \pmod 3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/4/a042e4feb68c689d10768cc2e8288b6782.png)
. Второй случай не рассматвираем, т.к. из первого уравнения
![$x \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow 2x \equiv 1 \pmod 3$ $x \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow 2x \equiv 1 \pmod 3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/e/5ae3b9a0929d0efad66f4411088c62cf82.png)
Подставляем решения в первое уравнение:
![$\\p^2-3q^2+6pq=(2m)^2\\
(2p)^2-3(p-q)^2=(2m)^2\\
(2p)^2-(2m)^2=3(p-q)^2
$ $\\p^2-3q^2+6pq=(2m)^2\\
(2p)^2-3(p-q)^2=(2m)^2\\
(2p)^2-(2m)^2=3(p-q)^2
$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/a/4cabcb754487da051a3fe4d8f0c7231982.png)
![$p-q=2t,\quad p^2-m^2=3t^2$ $p-q=2t,\quad p^2-m^2=3t^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/9/0d95c1598e30e8e0635e0a97b13c364682.png)
. По модулю 4
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
- четное. Или:
![$\\p+m=6u^2\\
p-m=2v^2\\
p=3u^2+v^2\\
q=3u^2+v^2-4uv$ $\\p+m=6u^2\\
p-m=2v^2\\
p=3u^2+v^2\\
q=3u^2+v^2-4uv$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/0/890e5e5e8e3b77415304f982e6065a7682.png)
где
взаимнопростые разной четности,
![$v\not \equiv 0 \pmod 3$ $v\not \equiv 0 \pmod 3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/b/eabc5649f29b5138525cf1b08dc4a28f82.png)
А также
![$\\p=u^2+3v^2\\
q=u^2+3v^2-4uv
$ $\\p=u^2+3v^2\\
q=u^2+3v^2-4uv
$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/9/e197c96a4305ddd3eac36f0ccc8931ef82.png)
где
![$u\not \equiv 0 \pmod 3$ $u\not \equiv 0 \pmod 3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/0/b207a305d8ec725d0802f5869193375382.png)
Или (пишу решения только для
![$a,b$ $a,b$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/b/b4bbe16e32e2319d5835a2ce2360eb4b82.png)
)
![$\\b=(u-v)(3u-v)(3u^2+v^2)\\
a=4uv(3u^2-3uv+v^2)\\
v \not\equiv 0 \pmod 3
$ $\\b=(u-v)(3u-v)(3u^2+v^2)\\
a=4uv(3u^2-3uv+v^2)\\
v \not\equiv 0 \pmod 3
$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/0/960ae0da8d53b47582b1ed96ae32250a82.png)
и
![$\\b=(u-v)(u-3v)(u^2+3v^2)\\
a=4uv(u^2-3uv+3v^2)\\
u\not \equiv 0 \pmod 3
$ $\\b=(u-v)(u-3v)(u^2+3v^2)\\
a=4uv(u^2-3uv+3v^2)\\
u\not \equiv 0 \pmod 3
$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/6/bd6afb4c74a11ee627aa206b316cfd4a82.png)
где
![$u,v$ $u,v$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/e/cfecde842a36413fb233cf4913fbcb8f82.png)
взаимнопростые разной четности.
Ладно, второй случай также по школьному решается, не буду подробно расписывать. Если чего не пропустил получается:
![$\\b=-u^4+6u^2v^2+3v^4\\
a=u^4+6u^2v^2-3v^4$ $\\b=-u^4+6u^2v^2+3v^4\\
a=u^4+6u^2v^2-3v^4$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/c/d1c4c22a35bd48d3ca460250bbddff8e82.png)
![$\\b=-3u^4+6u^2v^2+v^4\\
a=3u^4+6u^2v^2-v^4$ $\\b=-3u^4+6u^2v^2+v^4\\
a=3u^4+6u^2v^2-v^4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/0/a5005ff0d0c7ca08396082700bb3d6fa82.png)
где
![$u,v$ $u,v$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/e/cfecde842a36413fb233cf4913fbcb8f82.png)
разной четности.
А также
![$\\b=(-3u^4+6u^2v^2+v^4)/4\\
a=(3u^4+6u^2v^2-v^4)/4$ $\\b=(-3u^4+6u^2v^2+v^4)/4\\
a=(3u^4+6u^2v^2-v^4)/4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/9/60939a3b1baccf7347aee7ce17e3075a82.png)
где
![$u,v$ $u,v$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/e/cfecde842a36413fb233cf4913fbcb8f82.png)
нечетные.
Напоминаю, решения
только для нечетых ![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)