Обобщение решения Шварцшильда на N тел

[Утундрий]

Вы можете переписать эту абра-швабра-кадабру явно, без знаков сумм, для случая двух масс?

[evgeniy]

evgeniy в сообщении #914530 писал(а):

$g_{\theta \theta}=-(\frac{1}{\sum_{p=1}^N 1/R_p})^2=-R^2_{\sigma},R_p=|\vec r-\vec r_p|$
$g_{\varphi \varphi}=g_{\theta \theta}(\frac{\sum_{p=1}^N \sin\theta_p/R_p}{\sum_{p=1}^N 1/R_p})^2=g_{\theta \theta}\sin^2 \theta_{\sigma}$
т.е. введены новые координаты $R_{\sigma},\sin\theta_{\sigma}$ . в новых координатах метрический интервал запишем в виде
$ds^2=\exp(\lambda)c^2dt^2-\exp(\nu)dR^2_{\sigma}-R_{\sigma}^2(d\theta_{\sigma}^2+\sin^2\theta_{\sigma} d\varphi^2)$
Подставляем метрический тензор в уравнение ОТО в новых координатах и получаем следующий результат.
$g_{00}=\exp(\lambda)=1-r_{g\sigma}/R_{\sigma}$
$g_{rr}=\exp(\nu)=1/(1-r_{g\sigma}/R_{\sigma})$
где константа, соответствующая гравитационному радиусу равна
$r_{g\sigma}=\frac{\sum_{\alpha, \beta=1\alpha \ne \beta}^N m_{\beta}/R_{\alpha \beta}}{\sum_{\alpha, \beta=1\alpha \ne \beta}^N 1/R_{\alpha \beta}}G/c^2,R_{\alpha \beta}=|\vec r_{\alpha}-\vec r_{\beta}|$
Предельный случай, ньютонова механика содержится в решении.

В случае если имеем одно расстояние между точкой наблюдения и $\alpha$ телом меньше чем остальные расстояния, формула переходит в обычное уравнение ОТО
$R_{\sigma}=R_{\alpha},\sin\theta_{\sigma}=\sin\theta_{\alpha}$
и получается решение Шварцшильда для одного тела.
Гравитационный радиус в случае близко расположенных двух взаимодействующих тел $\alpha,\beta$, а остальные расстояния между телами большие, равен
$r_{g\sigma}=k\frac{m_{\alpha}+m_{\beta}}{c^2}$
Что является обобщением гравитационного радиуса одного тела. При этом суммарная масса равна $m_{\sigma}=(m_{\alpha}+m_{\beta})/2$.
В случае двух тел формула не переходит ни в какой случай описания одного тела и получается просто вычислением суммы для двух членов.
$g_{\theta \theta}=-(\frac{1}{1/R_1+1/R_2})^2=-R^2_{\sigma},R_p=|\vec r-\vec r_p|$
$g_{\varphi \varphi}=g_{\theta \theta}(\frac{\sin\theta_1/R_1+\sin\theta_2/R_2}{1/R_1+1/R_2})^2 =g_{\theta \theta}\sin^2 \theta_{\sigma}$

[evgeniy]

Я уточняю предложенные формулы
$g_{\theta \theta}=-(\frac{1}{\sum_{p=1}^N 1/R_p})^2=-R^2_{\sigma},R_p=|\vec r-\vec r_p|$
$g_{\varphi \varphi}=g_{\theta \theta}(\frac{\sum_{p=1}^N \sin\theta_p/R_p}{\sum_{p=1}^N 1/R_p})^2=g_{\theta \theta}\sin^2 \theta_{\sigma}$
т.е. введены новые координаты $R_{\sigma},\sin\theta_{\sigma}$ . в новых координатах метрический интервал запишем в виде
$ds^2=\exp(\lambda)c^2dt^2-\exp(\nu)dR^2_{\sigma}-R_{\sigma}^2(d\theta_{\sigma}^2+\sin^2\theta_{\sigma} d\varphi^2)$
Подставляем метрический тензор в уравнение ОТО в новых координатах и получаем следующий результат.
$g_{00}=\exp(\lambda)=1-r_{g\sigma}/R_{\sigma}$
$g_{rr}=\exp(\nu)=1/(1-r_{g\sigma}/R_{\sigma})$
где константа, соответствующая гравитационному радиусу равна
$r_{g\sigma}(R_1,...,R_N)=\frac{\sum_{\alpha=1}^N 2 m_{\alpha}/R_{\alpha}}{\sum_{\alpha=1}^N 1/R_{\alpha}}G/c^2,R_{\alpha}=|\vec r-\vec r_{\alpha}|$
Тогда формула выглядит таким образом
$g_{00}=1-r_{g\sigma}/R_{\sigma}=1-\frac{r_{g 1}}{R_{1}}-\frac{r_{g 2}}{R_{2}}-\frac{r_{g 3}}{R_{3}}$
Предельный случай, ньютонова механика содержится в решении.

[Утундрий]

Всё те же сапоги всмятку... Автор настолько самодостаточен, что осмысленностью своих текстов не утруждается.