О существовании полного дифференциала

[Seergey]

DimaM в сообщении #877111 писал(а):

Seergey в сообщении #877106 писал(а):

В любом случае ответ будет одинаковый,

Нет. В естественных переменных, как вы ниже верно заметили, вторая производная будет нулем (наверно, это как раз способ выбора естественных переменных).

Вся суть то в том что это неверно, то есть она не равна 0, откуда и получаются соотношения Максвелла

[DimaM]

Munin в сообщении #877122 писал(а):

Вот у нас есть пространство состояний, каждое состояние (точка) однозначно задаётся двумя параметрами: $p,V$ или $p,T$ - двух достаточно.

Двух параметров, по-моему, недостаточно. Надо три. То есть некоторые величины можно определить по двум (внутреннюю энергию идеального газа по давлению и объему или по количеству вещества и температуре), а некоторые нельзя.

[Munin]

DimaM в сообщении #877130 писал(а):

Двух параметров, по-моему, недостаточно. Надо три. То есть некоторые величины можно определить по двум (внутреннюю энергию идеального газа по давлению и объему или по количеству вещества и температуре), а некоторые нельзя.

Какие нельзя? По-моему, для задания состояния достаточно двух, просто некоторые величины зависят не от состояния, а от конкретной траектории в пространстве состояний.

[Seergey]

DimaM в сообщении #877130 писал(а):

Munin в сообщении #877122 писал(а):

Вот у нас есть пространство состояний, каждое состояние (точка) однозначно задаётся двумя параметрами: $p,V$ или $p,T$ - двух достаточно.

Двух параметров, по-моему, недостаточно. Надо три. То есть некоторые величины можно определить по двум (внутреннюю энергию идеального газа по давлению и объему или по количеству вещества и температуре), а некоторые нельзя.

Любые можно, т. к. сама энтропия связана соотношением P, V и T

[DimaM]

Seergey в сообщении #877127 писал(а):

Вся суть то в том что это неверно, то есть она не равна 0

Ну как же неверно:
$\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_S=p, \left(\dfrac{\partial p}{\partial S}\right)_V=0$, обратный порядок производных аналогично.

-- 19.06.2014, 15:36 --

Munin в сообщении #877131 писал(а):

По-моему, для задания состояния достаточно двух

При этом, по-моему, что-то еще явно или неявно фиксировано, например, количество вещества.
Скажем, внутренняя энергия $U$ определяется через $p,V$. Если энтропия $S$ тоже определяется через $p,V$, то очевидно, что свободная энергия $F=U-TS$ будет разной при разных температурах.

[Seergey]

DimaM в сообщении #877136 писал(а):

Seergey в сообщении #877127 писал(а):

Вся суть то в том что это неверно, то есть она не равна 0

Ну как же неверно:
$\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_S=p, \left(\dfrac{\partial p}{\partial S}\right)_V=0$, обратный порядок производных аналогично.

Так я тоже это и имел ввиду, только вот в Сивухине, например, думают по другому:

Например:
$dU=T dS-p dV$
$dU=\left(\dfrac{\partial U}{\partial S}\right)_V dS+\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_S dV$
$\left(\dfrac{\partial U}{\partial S}\right)_V=T, \left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_S=-p$
$\left(\dfrac{\partial \left(\dfrac{\partial U}{\partial S}\right)_V}{\partial V}\right)_S=\left(\dfrac{\partial T}{\partial V}\right)_S$ а не $0$! Почему?
И далее
$\left(\dfrac{\partial \left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_S}{\partial S}\right)_V=-\left(\dfrac{\partial P}{\partial S}\right)_V$
Ну и далее заключают, что $\left(\dfrac{\partial T}{\partial V}\right)_S=-\left(\dfrac{\partial P}{\partial S}\right)_V$

-- 19.06.2014, 12:50 --

Хотя конечно же 0=0

[DimaM]

Seergey в сообщении #877144 писал(а):

Так я тоже это и имел ввиду, только вот в Сивухине например думают по другому:

Выше я ошибся, конечно же, не нули, а так, как у вас и Сивухина написано.
Ошибка у вас на предыдущей странице: при двойном дифференцировании энтальпии получается похожее соотношение $\left(\dfrac{\partial T}{\partial p}\right)_S=\left(\dfrac{\partial V}{\partial S}\right)_p$.

[Seergey]

DimaM в сообщении #877136 писал(а):

Munin в сообщении #877131 писал(а):

По-моему, для задания состояния достаточно двух

При этом, по-моему, что-то еще явно или неявно фиксировано, например, количество вещества.
Скажем, внутренняя энергия $U$ определяется через $p,V$. Если энтропия $S$ тоже определяется через $p,V$, то очевидно, что свободная энергия $F=U-TS$ будет разной при разных температурах.

Но при разных температурах будут уже разные $p$ и $V$. А вот если $p$ и $V$ фиксировать то и $T$ и $F$ определятся однозначным образом

-- 19.06.2014, 13:03 --

DimaM в сообщении #877155 писал(а):

Seergey в сообщении #877144 писал(а):

Так я тоже это и имел ввиду, только вот в Сивухине например думают по другому:

Выше я ошибся, конечно же, не нули, а так, как у вас и Сивухина написано.
Ошибка у вас на предыдущей странице: при двойном дифференцировании энтальпии получается похожее соотношение $\left(\dfrac{\partial T}{\partial p}\right)_S=\left(\dfrac{\partial V}{\partial S}\right)_p$.

А у Сивухина все таки 0 получаются? (во внутренней энергии). Если не 0, то я не согласен с ним

[DimaM]

Seergey в сообщении #877159 писал(а):

Но при разных температурах будут уже разные $p$ и $V$.

Вполне могут быть одинаковые. Если, к примеру, количество вещества разное.

-- 19.06.2014, 16:07 --

Seergey в сообщении #877159 писал(а):

А у Сивухина все таки 0 получаются? (во внутренней энергии).

Судя по написанному, не ноль.

Seergey в сообщении #877159 писал(а):

Если не 0, то я не согласен с ним

Можете быть и дальше несогласны, это не запрещено (разве что на экзамене возможны проблемы).

[warlock66613]

Munin в сообщении #877122 писал(а):

Как бы теперь эти "индексированные частные производные" по-человечески выразить?

Ну понятно, что $\left(\frac {\partial S}{\partial p}\right)_V$ - это производная $S$ по линии уровня $V$, параметризованной $p$. Но вот что с этим дальше делать - не соображу. Если для большей общности рассмотреть трёхмерное пространство, то там вместо $V$ будет два поля - $V_1$ и $V_2$, у каждого есть поверхности уровня (их задаёт градиент соответствующего поля), а пересечение этих поверхностей даст семейство интегральных кривых (непараметризованных). Но вот как это семейство выразить через градиенты $V_1$ и $V_2$?..

[Надо бы наверно переехать в отдельный тред и реквестировать туда математиков.]

[Seergey]

DimaM в сообщении #877163 писал(а):

Seergey в сообщении #877159 писал(а):

Но при разных температурах будут уже разные $p$ и $V$.

Вполне могут быть одинаковые. Если, к примеру, количество вещества разное.

Тогда будут разные удельные объёмы

DimaM в сообщении #877163 писал(а):

Seergey в сообщении #877159 писал(а):

А у Сивухина все таки 0 получаются? (во внутренней энергии).

Судя по написанному, не ноль.

Сами же писали, что обратный порядок производных и = 0

-- 19.06.2014, 13:15 --

То есть я имею ввиду (и именно на основании того, что обратный порядок производных), что
$\left(\dfrac{\partial T}{\partial V}\right)_S=-\left(\dfrac{\partial P}{\partial S}\right)_V=0$

$\left(\dfrac{\partial T}{\partial p}\right)_S=\left(\dfrac{\partial V}{\partial S}\right)_p=0$

[DimaM]

Seergey в сообщении #877168 писал(а):

Тогда будут разные удельные объёмы

Ну и что? Я пишу просто про объем, не про удельный. А через удельный внутренняя энергия не определяется.

Seergey в сообщении #877168 писал(а):

Сами же писали, что обратный порядок производных и = 0

Это была ошибка, я позже поправился.

[Seergey]

DimaM в сообщении #877172 писал(а):

Seergey в сообщении #877168 писал(а):

Тогда будут разные удельные объёмы

Ну и что? Я пишу просто про объем, не про удельный. А через удельный внутренняя энергия не определяется.

Seergey в сообщении #877168 писал(а):

Сами же писали, что обратный порядок производных и = 0

Это была ошибка, я позже поправился.

Так почему это ошибка то? Второй раз когда дифференцируется, считается константой то, что было в первый раз.

$\left(\dfrac{\partial \left(\dfrac{\partial U}{\partial S}\right)_V}{\partial V}\right)_S$ когда второй раз дифференцируется по $V$ в первой производной $V$ уже предполагается константой, а поэтому вторая производная от константы $0$

[DimaM]

Seergey в сообщении #877173 писал(а):

Так почему это ошибка то?

Потому что нулю не равно.

-- 19.06.2014, 16:31 --

Seergey в сообщении #877173 писал(а):

в первой производной $V$ уже предполагается константой, а поэтому вторая производная от константы $0$

Ничего подобного. Наверху во второй производной стоит попросту температура, ее производная по объему при постоянной энтропии вовсе не нулевая.

[Seergey]

DimaM в сообщении #877176 писал(а):

Seergey в сообщении #877173 писал(а):

Так почему это ошибка то?

Потому что нулю не равно.

-- 19.06.2014, 16:31 --

Seergey в сообщении #877173 писал(а):

в первой производной $V$ уже предполагается константой, а поэтому вторая производная от константы $0$

Ничего подобного. Наверху во второй производной стоит попросту температура, ее производная по объему при постоянной энтропии вовсе не нулевая.

То есть когда берется производная внутренней энергии по энтропии, то объем считается постоянным, в результате этого дифференцирования получается функция, которая все равно может зависить от объема и уже при повторном дифференцировании по V может получится вовсе не 0 т. к. объем не обязательно может быть в первой или нулевой степени после первого дифференцирования (т. е. не $\left(\dfrac{\partial U}{\partial S}\right)_V=a v+b$, а, например, $\left(\dfrac{\partial U}{\partial S}\right)_V=a v^2+b v + c$). Так?

-- 19.06.2014, 13:41 --

DimaM в сообщении #877172 писал(а):

Seergey в сообщении #877168 писал(а):

Тогда будут разные удельные объёмы

Ну и что? Я пишу просто про объем, не про удельный. А через удельный внутренняя энергия не определяется.

Есть у меня такая гипотеза, что если, например, $p$ и $V$ постоянны, то и температура, и энтропия, и свободная энергия, и потенциал Гиббса, и энтальпия определяются однозначным образом. Тоже самое если фиксировать $T$ и $p$ или $T$ и $V$