О существовании полного дифференциала

[DimaM]

Seergey в сообщении #877180 писал(а):

Есть у меня такая гипотеза, что если, например, $p$ и $v$ постоянны, то и температура, и энтропия, и свободная энергия, и потенциал Гиббса, и энтальпия определяются однозначным образом. Тоже самое если фиксировать $T$ и $p$ или $T$ и $V$

Это неверно.

[Seergey]

DimaM в сообщении #877191 писал(а):

Seergey в сообщении #877180 писал(а):

Есть у меня такая гипотеза, что если, например, $p$ и $v$ постоянны, то и температура, и энтропия, и свободная энергия, и потенциал Гиббса, и энтальпия определяются однозначным образом. Тоже самое если фиксировать $T$ и $p$ или $T$ и $V$

Это неверно.

Нужен хотя бы контрпример

[DimaM]

Seergey в сообщении #877197 писал(а):

Нужен хотя бы контрпример

Например, внутренняя энергия идеального газа при заданном давлении пропорциональна объему, а от плотности (удельного объема) не зависит.

[Seergey]

DimaM в сообщении #877202 писал(а):

Seergey в сообщении #877197 писал(а):

Нужен хотя бы контрпример

Например, внутренняя энергия идеального газа при заданном давлении пропорциональна объему, а от плотности (удельного объема) не зависит.

Если однозначно задана зависимость какой-либо функции состояния, например, внутренней энергии от $p$ и $V$, тогда для идеального газа внутренняя энергия определяется однозначно, т. к. $T$ связана уравнением КМ (а для реального - уравнением ВДВ). Тогда и приращение внутренней энергии однозначно определяется через $p$ и $V$ и совершаемая элементарная работа $\delta A$, равная при квазистатическом процессе $p dV$ так же есть определённая функция $p$ и $V$. Тогда и приращение энтропии есть так же определённая функция $p$ и $V$: $dS=\frac{dU+p dV}{T}$, а сама энтропия определена с точностью до константы. Отсюда и следует, что остальные ТД функции и вообще любые комбинации $U$, $S$, $T$, $p$, $V$ однозначно определяются лишь через два параметра. Тем самым гипотеза доказана (для идеального газа)

[DimaM]

Seergey в сообщении #877232 писал(а):

Тем самым гипотеза доказана (для идеального газа)

Вы совсем что ли не читаете, чего вам отвечают? :(

-- 19.06.2014, 17:51 --

Seergey в сообщении #877232 писал(а):

$T$ связана уравнением КМ (а для реального - уравнением ВДВ

В этих уравнениях еще количество вещества входит, которое через давление и объем однозначно не определяется.

[Seergey]

DimaM в сообщении #877239 писал(а):

Seergey в сообщении #877232 писал(а):

Тем самым гипотеза доказана (для идеального газа)

Вы совсем что ли не читаете, чего вам отвечают? :(

-- 19.06.2014, 17:51 --

Seergey в сообщении #877232 писал(а):

$T$ связана уравнением КМ (а для реального - уравнением ВДВ

В этих уравнениях еще количество вещества входит, которое через давление и объем однозначно не определяется.

Можно взять один моль, а в замкнутой системе количество вещества измениться не может.

[DimaM]

Seergey в сообщении #877242 писал(а):

Можно взять один моль

А можно два. Или 3.14. При одних и тех же $p, V$.

Seergey в сообщении #877242 писал(а):

в замкнутой системе количество вещества измениться не может

Но может оставаться неизвестным.

[Seergey]

DimaM в сообщении #877246 писал(а):

Seergey в сообщении #877242 писал(а):

Можно взять один моль

А можно два. Или 3.14. При одних и тех же $p, V$.

Seergey в сообщении #877242 писал(а):

в замкнутой системе количество вещества измениться не может

Но может оставаться неизвестным.

То, что оно неизвестно ещё не означает, что оно может влиять на объём при постоянном $p$ и $T$, а вот то, что оно константа, означает что оно не повлияет на связь $p$, $V$ и $T$. Это как с неявной функцией: известно, что она существует, а вот как её найти - никто не знает

-- 19.06.2014, 15:14 --

Поэтому на основании вышеизложенного, считая систему замкнутой, всё же можно сказать, что та гипотеза верна?

[Seergey]

Тогда возвращаясь к исходной цели: выразить $\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T$
и считая доказанными равенства:
$\left(\dfrac{\partial T}{\partial V}\right)_S=-\left(\dfrac{\partial P}{\partial S}\right)_V$ (не обязательно равно 0)
$\left(\dfrac{\partial T}{\partial p}\right)_S=\left(\dfrac{\partial V}{\partial S}\right)_p$ (не обязательно равно 0)

$U=U(T,V)$, тогда
$\left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V dT+\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T dV+p dV=T dS$
$\left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V \frac{dT}{dV}+\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T+p=T \frac{dS}{dV}$

Здесь опять же возникает вопрос: можно ли записать частное двух дифференциалов как частную производную и при каком фиксированном параметре?
Т. е. чему равны $\frac{dS}{dV}$ и $\frac{dT}{dV}$?

Т. е. как интерпретровать dV и dT, например, $\left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V dT$?
Как считать $dT$ при частной производной? Это $dT$ полученное при постоянном V? $\left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V (dT)_V$ Так получается?
Тогда всю формулу можно понимать как:
$\left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V (dT)_V+\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T (dV)_T+p dV=T dS$

Теперь если делить обе части на dV то оно какого типа будет? dV при изменяющихся $p$, $V$ и $T$

$\left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V \frac{(dT)_V}{dV}+\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T \frac{(dV)_T}{dV}+p=T \frac{dS}{dV}$

И дальше будет ли верно?

$\left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V \left(\dfrac{\partial T}{\partial V}\right)_V+\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T \left(\dfrac{\partial V}{\partial V}\right)_T+p=T \frac{dS}{dV}$

Но тогда $\left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V \left(\dfrac{\partial T}{\partial V}\right)_V=0$
А в разностном отношении $\frac{dS}{dV}$ можно фиксировать любой параметр?

Тогда получится что
$0+\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T+p=T \left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_p$
И это будет верным?

[arseniiv]

Seergey в сообщении #877254 писал(а):

Поэтому на основании вышеизложенного, считая систему замкнутой, всё же можно сказать, что та гипотеза верна?

Нельзя. У вас же зависимость осталась. В конкретной системе не изменится, но вы же гипотезу для всех систем сформулировали, а не для одной.

[Munin]

warlock66613 в сообщении #877167 писал(а):

Munin в сообщении #877122 писал(а):

Как бы теперь эти "индексированные частные производные" по-человечески выразить?

Ну понятно, что $\left(\frac {\partial S}{\partial p}\right)_V$ - это производная $S$ по линии уровня $V$, параметризованной $p$. Но вот что с этим дальше делать - не соображу. Если для большей общности рассмотреть трёхмерное пространство, то там вместо $V$ будет два поля - $V_1$ и $V_2$, у каждого есть поверхности уровня (их задаёт градиент соответствующего поля), а пересечение этих поверхностей даст семейство интегральных кривых (непараметризованных). Но вот как это семейство выразить через градиенты $V_1$ и $V_2$?..

[Надо бы наверно переехать в отдельный тред и реквестировать туда математиков.]

Кажется, я разобрался. Не существует производной по ковектору, существует производная по вектору. А заданная функция (или одна координата, принадлежащая нескольким системам координат) задаёт именно ковектор (как производную этой функции).

Так что, мы имеем дело не с функциями $p,V,\ldots$ которые используем как координаты на многообразии, а с базисными векторами соответствующих систем координат: $\mathbf{e}_{V(p,V)},$ и так далее. И соответственно, наши производные становятся производными по направлению: $\mathbf{e}_{V(p,V)}\partial_p S.$ Всего таких базисных векторов получается куча. Разумеется, это можно записать и как частную производную по координате, при указанной системе координат: $(\partial_p S)_{(p,V)}.$ А физики, соответственно, это делают, опуская в индексе уже известную букву $p.$

Update: $\mathbf{e}_{V(p,V)}\nabla S,$ см. ниже.

[warlock66613]

Munin в сообщении #877299 писал(а):

Так что, мы имеем дело не с функциями $p,V,\ldots$ которые используем как координаты на многообразии, а с базисными векторами соответствующих систем координат: $\mathbf{e}_{V(p,V)},$ и так далее.

Какая разница? Если есть координаты, есть и базисные векторы: $\mathbf{e}_{V(p,V)} \equiv \frac {\partial} {\partial V}$, так ведь?

Munin в сообщении #877299 писал(а):

И соответственно, наши производные становятся производными по направлению: $\mathbf{e}_{V(p,V)}\partial_p S.$

Не понял. $\mathbf{e}_{V(p,V)}\partial_p S.$ - это вектор, а $\left(\frac {\partial S}{\partial p}\right)_V$ - скаляр. Как одно может быть другим?

[Munin]

warlock66613 в сообщении #877356 писал(а):

Какая разница? Если есть координаты, есть и базисные векторы: $\mathbf{e}_{V(p,V)} \equiv \frac {\partial} {\partial V}$, так ведь?

Суть в том, что для существования базисных векторов нужна система координат, а не одна функция координаты. Oleg Zubelevich правильную цитату привёл, где она?

warlock66613 в сообщении #877356 писал(а):

Не понял. $\mathbf{e}_{V(p,V)}\partial_p S.$ - это вектор

Нет, это произведение вектора $\mathbf{e}_{V(p,V)}$ на ковектор $\partial_p S,$ разумеется. Так что, скаляр.

Update: на ковектор $\nabla S,$ см. ниже.

[warlock66613]

Munin в сообщении #877379 писал(а):

Суть в том, что для существования базисных векторов нужна система координат

Понял.

[Seergey]

Можно ли записать частное двух дифференциалов как частную производную и при каком фиксированном параметре?
Т. е. чему равны $\frac{dS}{dV}$ и $\frac{dT}{dV}$?

Т. е. как интерпретровать dV и dT, например, $\left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V dT$?
Как считать $dT$ при частной производной? Это $dT$ полученное при постоянном V? $\left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V (dT)_V$ Так получается?
Тогда всю формулу можно понимать как:
$\left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V (dT)_V+\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T (dV)_T+p dV=T dS$

Теперь если делить обе части на dV то оно какого типа будет? dV при изменяющихся $p$, $V$ и $T$

$\left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V \frac{(dT)_V}{dV}+\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T \frac{(dV)_T}{dV}+p=T \frac{dS}{dV}$

И дальше будет ли верно?

$\left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V \left(\dfrac{\partial T}{\partial V}\right)_V+\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T \left(\dfrac{\partial V}{\partial V}\right)_T+p=T \frac{dS}{dV}$

И вообще от чего зависит приращение при частной производной при каком-то фиксированном параметре??