О существовании полного дифференциала

[warlock66613]

Munin в сообщении #877379 писал(а):

ковектор $\partial_p S,$

Я туплю и не понимаю эту запись. Для меня она выглядит как производная скаляра $S$ по направлению $\partial / \partial p$, а производная скаляра по направлению - это скаляр (свёртка градиента скаляра с вектором, задающим направление).

[Seergey]

?

[Munin]

warlock66613 в сообщении #877386 писал(а):

Я туплю и не понимаю эту запись. Для меня она выглядит как производная скаляра $S$ по направлению $\partial / \partial p$, а производная скаляра по направлению - это скаляр (свёртка градиента скаляра с вектором, задающим направление).

Чёрт, я описался. Там надо было градиент написать. Так что, $\partial_i S$ или $\nabla S.$ Поскольку мы без индексов, наверное, второе.

[DimaM]

Seergey в сообщении #877279 писал(а):

Тогда получится что
$0+\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T+p=T \left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_p$
И это будет верным?

Это будет неверным. Верным будет так:
$U=F+TS
$\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T= \left(\dfrac{\partial F}{\partial V}\right)_T+T\left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_T=-p+T \left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_T.$
Замечу в скобках, что для идеального газа $U=U(T)$, поэтому $\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T=0$.

[Seergey]

DimaM в сообщении #877439 писал(а):

Seergey в сообщении #877279 писал(а):

Тогда получится что
$0+\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T+p=T \left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_p$
И это будет верным?

Это будет неверным. Верным будет так:
$U=F+TS
$\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T= \left(\dfrac{\partial F}{\partial V}\right)_T+T\left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_T=-p+T \left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_T.$
Замечу в скобках, что для идеального газа $U=U(T)$, поэтому $\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T=0$.

Спасибо, это конечно же не вызывает сомнений, но вы все равно пользуетесь так или иначе делением на $dV$.

А как все-таки получить такое же из

$TdS = dU + pdV$
$\left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V dT + \left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T dV + pdV = TdS$

Так ведь тоже должно получатся
Если написать

$\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T dV = TdS - pdV - \left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V dT$

Только вот что означает приращение $dV$ и что означает деление на него, т. е. если на него поделить что получится в правой части??
Оно разное, например, у частной производной $\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T dV$ слева и у $pdV$ справа или оно одинаковое для всех членов?

[DimaM]

Seergey в сообщении #877475 писал(а):

А как все-таки получить такое же из

$TdS = dU + pdV$

А прям так и получить - поделить на $dV$ при постоянной $T$. Главное, следующих ваших строчек не писать, они только запутывают.

[Seergey]

DimaM в сообщении #877481 писал(а):

Seergey в сообщении #877475 писал(а):

А как все-таки получить такое же из

$TdS = dU + pdV$

А прям так и получить - поделить на $dV$ при постоянной $T$. Главное, следующих ваших строчек не писать, они только запутывают.

А это $dV$ разное, например, у частной производной $\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T dV$ слева и у $pdV$ справа или оно одинаковое для всех членов?

[DimaM]

Seergey в сообщении #877483 писал(а):

А это $dV$ разное, например, у частной производной $\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T dV$ слева и у $pdV$ справа или оно одинаковое для всех членов?

Справа после деления никакого $dV$ не останется.

[Seergey]

DimaM в сообщении #877484 писал(а):

Seergey в сообщении #877483 писал(а):

А это $dV$ разное, например, у частной производной $\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T dV$ слева и у $pdV$ справа или оно одинаковое для всех членов?

Справа после деления никакого $dV$ не останется.

Ну да то есть это ровно 1? И так писать бессмысленно $\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T (dV)_T$
И $(dV)_T$ такое же что и просто $dV$

[DimaM]

Seergey в сообщении #877486 писал(а):

Ну да то есть это ровно 1? Или $\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T (dV)_T$

Вы опять городите монструозные конструкции. Так делать не нужно, если действительно хотите разобраться.
Берете выражение для $dU$ и честно делите почленно на $dV$ при постоянной $T$.
НИЧЕГО ПРЕОБРАЗОВЫВАТЬ НЕ НУЖНО!

[Seergey]

DimaM в сообщении #877487 писал(а):

Seergey в сообщении #877486 писал(а):

Ну да то есть это ровно 1? Или $\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T (dV)_T$

Вы опять городите монструозные конструкции. Так делать не нужно, если действительно хотите разобраться.
Берете выражение для $dU$ и честно делите почленно на $dV$ при постоянной $T$.
НИЧЕГО ПРЕОБРАЗОВЫВАТЬ НЕ НУЖНО!

А частное дифференциалов $\frac{dT}{dV}$ и $\frac{dS}{dV}$ каким образом переходит в частную производную при постоянном $T$? (чисто математически)

[Oleg Zubelevich]

Арнольд, Мат. методы класс. мех

[Seergey]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #877490 писал(а):

Арнольд, Мат. методы класс. мех

Это уже давно понятно

[DimaM]

Seergey в сообщении #877489 писал(а):

А частное дифференциалов $\frac{dT}{dV}$ каким образом переходит в частную производную при постоянном $T$? (чисто математически)

При постоянной $T$ это частное равно нулю. Это, впрочем, неважно, потому что в выражение для $dU$ дифференциал $dT$ не входит (и еще раз говорю: возьмите исходное выражение и НИЧЕГО не преобразовывайте!).

[Seergey]

Есть еще такой способ для этой формулы:

$dS=\frac{dU+pdV}{T}=\frac{1}{T} \frac{\partial U}{\partial T}dT + \frac{1}{T} (\frac{\partial U}{\partial V}+p)dV$

$\frac{\partial }{\partial T} \left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)=\frac{\partial }{\partial V} \left(\dfrac{\partial S}{\partial T}\right)$
т. е.
$\frac{\partial }{\partial T} \left(\frac{1}{T} (\frac{\partial U}{\partial V}+p)\right)=\frac{\partial }{\partial V} \left(\frac{1}{T} \frac{\partial U}{\partial T}\right)$