О существовании полного дифференциала

[Seergey]

$dU+p dV=T dS$

$\frac{dU}{dT}dT+\frac{dU}{dV}dV+p dV=T dS$

Рассматривая приращение энтальпии можно найти, что:
$dI=T dS-p dV+p dV+V dp=T dS+V dp$
$\frac{dI}{dS}=T, \frac{dI}{dp}=V$
$\frac{d^2I}{dSdp}=\frac{dT}{dp}, \frac{d^2I}{dpdS}=\frac{dV}{dS}$
Т. е. $\frac{dT}{dp}=\frac{dV}{dS}$

Тогда
$\frac{dU}{dT}\frac{dT}{dV}+\frac{dU}{dV}+p=T \frac{dS}{dV}$
$\frac{dU}{dV}+\frac{dU}{dV}+p=T \frac{dS}{dV}$
$2\frac{dU}{dV}+p=T \frac{dp}{dT}$

[warlock66613]

Seergey в сообщении #876860 писал(а):

$\frac{d^2I}{dSdp}=\frac{dT}{dp}$

Полная смешанная производная второго порядка? Такое вообще в математике существует?

[Seergey]

warlock66613 в сообщении #876890 писал(а):

Seergey в сообщении #876860 писал(а):

$\frac{d^2I}{dSdp}=\frac{dT}{dp}$

Полная смешанная производная второго порядка? Такое вообще в математике существует?

Ну да это $\frac{d(\frac{dI}{dS})}{dp}=\frac{d^2I}{dSdp}$ так что тут вроде все чисто

[arseniiv]

Грязно. Не получится такое, будут частные.

[Seergey]

arseniiv в сообщении #876908 писал(а):

Грязно. Не получится такое, будут частные.

Частная смешанная производная (с круглыми d)

И во всяком случае $\frac{dT}{dp}=\frac{dV}{dS}$
А вот почему там 2 получается это вопрос

[Munin]

Ну так наберите частные правильно. Круглая $\partial$ набирается \partial .

[Seergey]

$dU+p dV=T dS$
$\frac{\partial U}{\partial T}dT+\frac{\partial U}{\partial V}dV+p dV=T dS$

Рассматривая приращение энтальпии можно найти, что:
$dI=T dS-p dV+p dV+V dp=T dS+V dp$
$\frac{\partial I}{\partial S}=T, \frac{\partial I}{\partial p}=V$
$\frac{\partial^2I}{\partial S \partial p}=\frac{\partial T}{\partial p}, \frac{\partial^2I}{\partial p \partial S}=\frac{\partial V}{\partial S}$
Т. е. $\frac{\partial T}{\partial p}=\frac{\partial V}{\partial S}$

Тогда
$\frac{\partial U}{\partial T}\frac{dT}{dV}+\frac{\partial U}{\partial V}+p=T \frac{dS}{dV}$
$\frac{\partial U}{\partial V}+\frac{\partial U}{\partial V}+p=T \frac{\partial S}{\partial V}$
$2\frac{\partial U}{\partial V}+p=T \frac{\partial p}{\partial T}$

[DimaM]

Seergey
В частных производных необходимо писать еще индекс снизу, он важен.
Например, $\left(\dfrac{\partial S}{\partial T}\right)_V$ отнюдь не равно $\left(\dfrac{\partial S}{\partial T}\right)_P$.

[Munin]

Вот это меня всегда сбивало с толку. В матанализе не нужно. В чём же его смысл?

[warlock66613]

Munin в сообщении #877070 писал(а):

В чём же его смысл?

В математике функция $S$ - это всегда конкретная функция, а в физике одну и ту же $S$ рассматривают как функцию $p, V$ или как функцию $p, T$ и т. д. Но хотя это одна и та же величина, функции-то разные, с разными производными, вот и пишут индекс чтобы вторую переменную указать. Вместо $\left(\frac {\partial S}{\partial p}\right)_V$ можно по-идее писать $\frac {\partial S(p,V)}{\partial p}$.

-- 19.06.2014, 11:02 --

А если смотреть на $S$ как на функцию, заданную на поверхности уравнения состояния в пространстве $p,V,T$, то получается, что $\left(\frac {\partial S}{\partial p}\right)_V$ - это совсем не частная производная по $p$, это производная вдоль кривой, образуемой пересечением плоскости $V=\operatorname{const}$ с поверхностью уравнения состояния, и параметризуемой $p$.

[Seergey]

$dU+p dV=T dS$

Пусть внутренняя энергия как функция состояния зависит от $T$ и $V$, т. е. $U=U(T,V)$, тогда
$\left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V dT+\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T dV+p dV=T dS$

Рассматривая приращение энтальпии при $I=I(S,P)$ можно найти, что:
$dI=T dS-p dV+p dV+V dp=T dS+V dp$
$\left(\dfrac{\partial I}{\partial S}\right)_p=T, \left(\dfrac{\partial I}{\partial p}\right)_S=V$
$\left(\dfrac{\partial \left(\dfrac{\partial I}{\partial S}\right)_p}{\partial p}\right)_S=0$
$\left(\dfrac{\partial \left(\dfrac{\partial I}{\partial p}\right)_S}{\partial S}\right)_p=0$

И как тут быть?

[DimaM]

Seergey в сообщении #877099 писал(а):

$dU+p dV=T dS$

Пусть внутренняя энергия как функция состояния зависит от $T$ и $V$, т. е. $U=U(T,V)$

У каждой термодинамической функции есть так называемые "естественные" переменные. Для внутренней энергии это $S,V$.

[Seergey]

DimaM в сообщении #877103 писал(а):

Seergey в сообщении #877099 писал(а):

$dU+p dV=T dS$

Пусть внутренняя энергия как функция состояния зависит от $T$ и $V$, т. е. $U=U(T,V)$

У каждой термодинамической функции есть так называемые "естественные" переменные. Для внутренней энергии это $S,V$.

В любом случае ответ будет одинаковый,
Только возникла ещё одна проблема: получается, что если фиксировать p в энтальпии, то вторая производная будет браться по p, но p уже фиксировано, так что она будет 0?

[DimaM]

Seergey в сообщении #877106 писал(а):

В любом случае ответ будет одинаковый,

Нет. В естественных переменных, как вы ниже верно заметили, вторая производная будет нулем (наверно, это как раз способ выбора естественных переменных).

[Munin]

warlock66613 в сообщении #877085 писал(а):

В математике функция $S$ - это всегда конкретная функция, а в физике одну и ту же $S$ рассматривают как функцию $p, V$ или как функцию $p, T$ и т. д.

Давайте так. Вот у нас есть пространство состояний, каждое состояние (точка) однозначно задаётся двумя параметрами: $p,V$ или $p,T$ - двух достаточно. То есть, имеем двумерное многообразие, на котором заданы несколько сеток координат.

И на этом многообразии задана функция $S.$ Это не функция каких-то пар переменных - это функция состояния. Заданная на многообразии.

Как бы теперь эти "индексированные частные производные" по-человечески выразить?