Образ окружности при дробно-линейном отображении

[Quawetim]

Добрый день. Задание такое:

Найти образ окружности $x^2+y^2+2x-2y+1=0$ при отображении $w=\frac{1}{z}$.

Проблема в следующем:

При решении использовал $x=\frac{z+z^*}{2}$ и $y=\frac{z-z^*}{2i}$

Получил $z(1+i)+z^*(1-i)+1=0$

Исходя из $z=\frac{1}{w}$ и $z^*=\frac{1}{w^*}$ получил
$(1+i)w^*+(1-i)w+ww^*=0$. $w=u+iv$, $w^*=u-iv$, $ww^*=u^2+v^2$

В итоге $2u+2v+u^2+v^2=0$

Исходная окружность не проходит через ноль, образ - проходит, но не должен. Что не так?

[ИСН]

Я бы по-простому делал, без сопряжённых. Что это за окружность, где её центр, каков радиус? А теперь найдите на ней три точки (любые). Ну и куда они переходят.

[ewert]

В данном случае -- достаточно двух точек (на луче, проходящем через центр).

[Quawetim]

ИСН в сообщении #875995 писал(а):

Я бы по-простому делал, без сопряжённых. Что это за окружность, (1) где её центр, (2) каков радиус? (3) А теперь найдите на ней три точки (любые). (4) Ну и куда они переходят.

(1). $O(-1;1)$
(2). $R=1$
(3). $A(-1,0), B(0,1), C(-1,1)$
(4). И как это выяснить?

[ewert]

И, кстати:

Quawetim в сообщении #875993 писал(а):

Получил $z(1+i)+z^*(1-i)+1=0$

Этого не может быть, т.к. этого не может быть никогда.

Quawetim в сообщении #875998 писал(а):

(3). A(-1,0), B(0,1), C(-1,1)
(4). И как это выяснить?

Разделить на них. Бы, если бы они все три лежали на окружности. Что, увы, не так.

[Quawetim]

ewert в сообщении #876000 писал(а):

И, кстати:

Quawetim в сообщении #875993 писал(а):

Получил $z(1+i)+z^*(1-i)+1=0$

Этого не может быть, т.к. этого не может быть никогда.

Да, уже нашел ошибку, $4zz^*$ потерял. Должно быть $zz^*+z+z^*+iz-iz^*+1=0$

Раза три перерешивал и каждый раз одна и та же ошибка была.

Образ получился $2u+2v+u^2+v^2+1=0$ и теперь хоть похож на правду.

ewert в сообщении #876000 писал(а):

И, кстати:

Quawetim в сообщении #875998 писал(а):

(3). A(-1,0), B(0,1), C(-1,1)
(4). И как это выяснить?

Разделить на них. Бы, если бы они все три лежали на окружности. Что, увы, не так.

$ C(-1,2)$

И получается
$A\to-1$
$B\to\frac{1}{i}$
$C\to\frac{1}{-1+2i}$

[ewert]

Quawetim в сообщении #876003 писал(а):

Должно быть $zz^*+z+z^*+iz-iz^*+1=0$

Допустим (не проверял), но это совершенно не нужно. В таких задачах действительно строить нужно по точкам. Проще всего -- по двум, лежащим на диаметре, переходящем тоже в диаметр. Здесь такие две точки очевидны.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Quawetim
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.