У Лорана Шварца ("Анализ") интеграл Римана строится следующим образом.
1) Пусть имеется неотрицательная функция
![$f:I\to\mathbb{R},\quad I=[a,b]$ $f:I\to\mathbb{R},\quad I=[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/d/75dcab8b8a9d68c002ac112db832dc4082.png)
. Определим верхний интеграл от

:

Ступенчатые функции строятся по конечным разбиениям отрезка

на подотрезки.
2) Рассмотрим отображение отрезка в банахово пространство

. Предположим, существует такая последовательность ступенчатых функций,

, что

Тогда интеграл Римана от

по определению равен пределу последовательности

(Теорема. Данный предел существует и не зависит от выбора последовательности, удовлетворяющей (*))
Если к этому добавить требование ограниченности функции

то получится стандартный интеграл Римана.
Интересно, что если в этом определениии заменить отрезок

на пространство с мерой и сигма алгеброй (мера всего пространства конечна), а ступенчатые функции на простые , то получится определение интеграла Лебега , причем сразу для функций со значениями в банаховом пространстве. Еще интересно, что в этом определении не фигурирует понятие измеримости функции.