интеграл Римана

[Oleg Zubelevich]

Скорее даже Смирнов, чем Фихтенгольц. Эта книжка, видимо, вообще сильное влияние оказала. Что интересно: у В.-П. интеграл Лебега появляется прежде интеграла Римана. А сетей я там что-то не нашел

[ewert]

g______d в сообщении #875841 писал(а):

Рудин, кстати, тоже сначала определяет по Дарбу. Мне такой подход очень нравится,

Мне тоже. Но я не имею на него права.

[Oleg Zubelevich]

У Лорана Шварца ("Анализ") интеграл Римана строится следующим образом.

1) Пусть имеется неотрицательная функция $f:I\to\mathbb{R},\quad I=[a,b]$. Определим верхний интеграл от $f$ :

$$\int^*f=\inf\Big\{\int \psi\mid \psi\ge f,\quad \psi-\mbox{ступенчатая функция}\Big\}$$

Ступенчатые функции строятся по конечным разбиениям отрезка $I$ на подотрезки.

2) Рассмотрим отображение отрезка в банахово пространство $g:I\to X$. Предположим, существует такая последовательность ступенчатых функций, $g_n:I\to X$, что

$$\int^*\|g-g_n\|_X\to 0,\quad n\to\infty\qquad (*)$$

Тогда интеграл Римана от $g$ по определению равен пределу последовательности $\int g_n,\quad n\to \infty$
(Теорема. Данный предел существует и не зависит от выбора последовательности, удовлетворяющей (*))
Если к этому добавить требование ограниченности функции $g$ то получится стандартный интеграл Римана.

Интересно, что если в этом определениии заменить отрезок $I$ на пространство с мерой и сигма алгеброй (мера всего пространства конечна), а ступенчатые функции на простые , то получится определение интеграла Лебега , причем сразу для функций со значениями в банаховом пространстве. Еще интересно, что в этом определении не фигурирует понятие измеримости функции.

[Brukvalub]

Аксакалы мех-мата рассказывали мне, что как-то курс мат.анализа на 1-2-м курсе взялся прочесть Е.Б. Дынкин. Так вот, в 3-м семестре он умудрился сначала прочесть интегралы Римана-Стилтьеса, ,Лебега и т.п., а затем за одну лекцию "получил" все основные теоремы теории рядов как простые следствия интеграла по дискретной мере. Вот только экзамен потом большинство студентов пересдавало раза по 3.
Интересно, что будет, если кто-либо прочтет лекции по мат. анализу, руководствуясь учебником Л. Шварца?

[Oleg Zubelevich]

я думаю, что такие курсы надо читать аспирантам, я вообще думаю, что в аспирантуре должны продолжаться регулярные занятия по основным дисциплинам, а не только кафедральные спецкурсы.

-- Чт июн 26, 2014 20:23:03 --

Brukvalub в сообщении #880437 писал(а):

Е.Б. Дынкин. Так вот, в 3-м семестре он умудрился сначала прочесть интегралы Римана-Стилтьеса, ,Лебега и т.п., а затем за одну лекцию "получил" все основные теоремы теории рядов как простые следствия интеграла по дискретной мере. Вот только экзамен потом большинство студентов пересдавало раза по 3.

что-то подобное я слышал про курс механики Арнольда

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Это знаменитая история! С.П. Новиков пригласил Арнольда прочесть курс теоретической механики в своем экспериментальном потоке, после чего по результатам сессии Ученый совет мех-мата вынужден был собраться и, чтобы хоть как-то спасти ситуацию, исключил из учебного плана этого потока курс теормеха.

[scwec]

(Оффтоп)

Когда Арнольд впервые читал свой курс в 1966-1968 гг, то страдали и преподаватели с кафедры теоретической механики.
Ходил анекдот. Мне экзамен принимать, а я ещё про когомологии не выучил.

[vicvolf]

Brukvalub в сообщении #880638 писал(а):

(Оффтоп)

Это знаменитая история! С.П. Новиков пригласил Арнольда прочесть курс теоретической механики в своем экспериментальном потоке, после чего по результатам сессии Ученый совет мех-мата вынужден был собраться и, чтобы хоть как-то спасти ситуацию, исключил из учебного плана этого потока курс теормеха.

Эксперименты должны делаться в другом месте

[Oleg Zubelevich]

просматривается некоторый теоретио-функциональный способ описания пространства интегрируемых по Риману функций. Введем в пространстве ограниченных на отрезке $[a,b]$ функций полунорму

$$\|f\|=\int^*|f|$$

Через $B$ обозначим факторпространство по ядру этой полунормы. Через $S\subset B$ обозначим пространство ступенчатых функций (ступеньки строятся на интервалах, на которые отрезок разбивается конечным числом точек) факторизованное тем же отношением эквивалентности. Тогда $\overline S=\mathcal R[a,b]$. Чертой обозначено замыкание.

[mishafromusa]

Так получится интеграл Лебега и пространство абсолютно интегрируемых функций. Вообще же есть критерий Лебега о том, что функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она почти всюду непрерывна (Шилов и Гуревич, Интеграл, Мера и Производная, гл. 1 параграф 7).

[Oleg Zubelevich]

а Вы разницу между замыканием и пополнением понимаете?

[mishafromusa]

Да, где-то что-то когда-то слышал С другой стороны, ступенчатые функции плотны в пространстве абсолютно интегрируемых, так что не совсем понятно, что в данном случае это разные вещи.

[Oleg Zubelevich]

Немного вульгарное объясненение

Норма $\|\cdot\|$ совпадает с $\|\cdot\|_{L^1[a,b]}$ на пространстве $S$, но вообще-то это разные нормы. (На самом деле, как полунормы они задают даже разные классы эквивалентности функций)

Рассмотрим функцию Дирихле $D(x)=1,\quad x\in\mathbb{Q}$ и $D(x)=0$ для остальных чисел $x$. Покажем, что она не принадлежит $\overline S$. Предположим противное: найдется последовательность $f_n\in S$ такая, что $\|f_n-D\|\to 0$
заметим, что $\|f_n-D\|_{L^1[a,b]}\le \|f_n-D\|\to 0$
Поскольку $\|D\|_{L^1[a,b]}=0$ имеем $\|f_n\|=\|f_n\|_{L^1[a,b]}\to 0$
Тогда $\|f_n-D\|$ не стремится к нулю: $\|f_n-D\|\ge\|D\|-\|f_n\|$, и можете проверить, что $\|D\|=b-a$
Противоречие

-- Сб июн 28, 2014 11:47:16 --

(Оффтоп)

там кстати несколькими поставми выше слово "подотрезки" надо заменить на интервалы\полуинтервалы

[mishafromusa]

Спасибо, понятно теперь, просто $\int^*$ у Шварца -- это верхний интеграл Дарбу, так что действительно всё срастается. Хорошо, не буду больше мешать.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #876749 писал(а):

g______d в сообщении #875841 писал(а):

Рудин, кстати, тоже сначала определяет по Дарбу. Мне такой подход очень нравится,

Мне тоже. Но я не имею на него права.

А почему? Это шутка или в самом деле?