я уже много раз прводил пример

Его решение в действительной плоскости

стремится к бесконечности, а при комплексном

конечно.
Откуда возьмётся комплексное

, если по определению

— начальное значение действительной функции?
Действительное уравнение с действительными начальными данными может иметь комплексное решение, пример тот же самый, решаем его по неявной схеме, получаем рекуррентное соотношение

Решение растет к бесконечности,, и переходит в комплексное решение.
Вы хотите сказать, что

и

— это одно и то же уравнение? Или что решение второго уравнения является решением первого? Доказательство предъявите, пожалуйста.
В точках x=1,x=2 наблюдается нарушение условие существования и единственности решения,
в этих точках правая часть уравнения не определена, поэтому бессмысленно говорить о решении, проходящем через эти точки
чку ветвления

в особенности
производная этой функции не определена в точке

поэтому в окрестности этой точки данная функция не может быть решением никакого дифура
Как с вами сложно, вы основ не понимаете. Эта тема у меня прошла у математиков, можете посмотреть. Действительно надо доопределить понятие решения дифференциального уравнения. Нужно в точке сингулярности рассматривать его как дифференциальное уравнение

и тогда сингулярность в точке 1 исчезнет, решение непрерывно.
Полная чушь. При

равенство не будет выполняться ни для какой функции

, потому что левая часть равна нулю, а правая — минус единице.
Oleg Zubelevich абсолютно прав: Вы основ теории дифференциальных уравнений не понимаете и лепите глупость на глупость в каждой теме, за которую берётесь.
Ну ладно, я уже вижу, что дискретный спектр энергий в задаче двух тел с круговыми орбитами Вы нам не продемонстрируете, поскольку решить эту школьную задачу не можете. А если бы могли, то Вам и в голову не могла бы прийти эта чушь про дискретный спектр. Но можно легко продемонстрировать, что в задаче

тел никакого дискретного спектра нет.
Будем обозначать

массу, а

— вектор координат

-го тела,

; гравитационную постоянную будем обозначать

. Тогда уравнения движения можно записать в виде

Легко проверить, что если

есть решение системы (1), то для любого числа

также является решением системы (1).
Выражение для полной (механической) энергии системы имеет вид

Подставляя решение (2) в формулу (4), получим некоторое значение энергии

Подставляя туда же решение (3), получим, как легко проверить,

Нас интересуют решения с отрицательной полной энергией. Пусть (2) — одно из решений с отрицательной энергией, то есть,

. Придавая числу

в (3) всевозможные положительные значения, получим несчётное (континуальное) множество решений с всевозможными отрицательными значениями энергии (6). Никаким дискретным спектром и никаким счётным множеством решений даже и не пахнет.