Счетное количество решений задачи движения N тел

[g______d]

Я всё ещё жду конкретных численных значений масс и координат тел в положении равновесия.

[evgeniy]

Если Вы таким странным образом обращаетесь ко мне, то в статье
http://mech.math.msu.su/~fpm/ps/k07/k071/k07104.pdf
вычислены координаты положения равновесия как комплексные, так и действительные.

[g______d]

Не вычислены. Приведите, пожалуйста в данной теме хотя бы одно явное действительное положение равновесия в задаче трёх тел.

[Toucan]

g______d в сообщении #889468 писал(а):

Приведите, пожалуйста в данной теме хотя бы одно явное действительное положение равновесия в задаче трёх тел.

evgeniy, если Вы и дальше будете уходить от прямых ответов на прямые вопросы, тема уедет в Пургаторий

[evgeniy]

g______d в сообщении #889456 писал(а):

Я всё ещё жду конкретных численных значений масс и координат тел в положении равновесия.

Каков вопрос, таков и ответ. Я подумал, что вы задаете вопрос, касающийся гироскопа, поэтому так и ответил.
Не могу привести значения координат равновесия трех тел, так как для этого надо решать систему нелинейных уравнений. Если Вы следили за ходом дискусcии с Munin, то я показал, что такие положения равновесия существуют. Если уж вам совсем не в терпежь, то подождите недельку, я посчитаю, это сложная задача.

[Someone]

evgeniy в сообщении #889476 писал(а):

Если Вы следили за ходом дискусcии с Munin, то я показал, что такие положения равновесия существуют

Не показали. Более того, я объяснял, почему действительных положений равновесия в системе взаимно притягивающихся тел не может быть, если тел больше одного. А комплексные положения равновесия в частности и комплексные решения вообще в задаче $N$ тел никого не интересуют.

И Вы так и не решили задачу, которую я просил Вас решить:

Someone в сообщении #888160 писал(а):

Ну давайте рассмотрим пару тел с массами $m_1$ и $m_2$, вращающихся по круговым орбитам вокруг общего центра масс на расстоянии $R$ друг от друга. Вы, надеюсь, не будете отрицать, что эти орбиты стационарные? Вычислите нам, пожалуйста, энергию этой системы. Это школьная задача. Когда вычислите, появится предмет для дальнейшего обсуждения.

Не надо вешать лапшу на уши про дискретный спектр энергий. Продемонстрируйте это на данной задаче в простом школьном варианте.

[g______d]

evgeniy в сообщении #889476 писал(а):

Если уж вам совсем не в терпежь, то подождите недельку, я посчитаю, это сложная задача.

Посчитайте. А потом убедитесь, что ответ положением равновесия и близко не является.

[evgeniy]

При этом получаем 3N-3 независимых уравнений движения при 3N неизвестных координатах, плюс координаты положения равновесия образуют центр инерции системы, итого получается 3N уравнений. в случае, если три тела находятся на одной линии получаем два независимых уравнений движения плюс центр инерции, итого три уравнения, при трех неизвестных координатах, лежащих на одной линии. Можно получить решение, если тела не лежат на одной линии, но это будут несколько более громоздкие вычисления. В случае четырех тел формулы для решения не будет, и надо численно решать нелинейное уравнение, причем будут две совокупности корней.
Почему я так уверен, что координаты положения равновесия существуют. Потому что для существования эллиптических периодических орбит необходимо эллиптическое уравнение, а без координат положения равновесия его не получишь. Существует теорема анализа, что если имеем интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{P(x)}}=t$, где P(x) полином, то существует множество периодов у функции x(t), как связана степень полинома и количество периодов не помню, но эта связь линейна.
Уравнения по определению координат положений равновесия трех тел, лежащих на одной линии следующие
$\frac{m_2}{(r_2-r_1)^2}+\frac{m_3}{(r_3-r_1)^2}=0$
$\frac{m_2}{(r_2-r_3)^2}-\frac{m_1}{(r_1-r_3)^2}=0$
второе уравнение имеет знак минус перед вторым членом, так как если в первом уравнении в числителе координата $r_3-r_1$, то во втором $r_1-r_3$.
Откуда имеем соотношение
$\frac{r_2-r_1}{r_3-r_1}=i\sqrt{\frac{m_2}{m_3}}$
$\frac{r_2-r_3}{r_1-r_3}=\sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$
Откуда имеем систему по определению координат $r_2,r_3$
$r_2-r_3 i \sqrt{\frac{m_2}{m_3}}=r_1(1- i\sqrt{\frac{m_2}{m_3}}) $
$r_2-r_3(1- \sqrt{\frac{m_2}{m_1}})=r_1 \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$
Откуда определим значения координат $r_2=\alpha r_1,r_3=\beta r_1$
Подставляя $r_2,r_3$, выраженное через $ r_1$, в систему уравнений, получим тождество.
Центр тяжести системы в не релятивистском случае определяется по формуле
$R=\frac{m_1 r_1+m_2 r_2+ m_3 r_3}{m_1+m_2+m_3}=\frac{(m_1 +\alpha m_2 + \beta m_3)r_1}{m_1+m_2+m_3}$
Откуда определим $r_1$, а значит и величины $r_2,r_3$.
Someone Вы совершенно не читаете мои сообщения, где я показываю необходимость комплексного решения и как следствие из нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений существование комплексных координат для их решения. Причем невозможно определить действительное решение. Так нельзя.
А по поводу энергии системы двух тел, если координаты действительны это простая задача. Она определяется начальными условиями $E=m(\frac{dr}{dt})^2/2+U(r)+\frac{M^2}{2mr^2}$. см. формулу ЛЛ1 14.4. Где необходимо задать начальные скорости и координаты. Причем величина энергии сохраняется. При условии dr/dt=0, получаем конечный радиус орбиты и конечное значение энергии. Действительная траектория определяется по формуле $r=\frac{p}{1+ecos\varphi}$. Выкладки читайте у ЛЛ1. Опять же читайте мои сообщения, где я пишу, что в случае двух тел нет дополнительного слабого воздействия, поэтому нет дисперсии координаты и значит нет комплексных координат. В случае многих тел, есть дисперсия координаты и значит существует комплексное воздействие. Но в своем посте я пишу более подробно.

[Someone]

evgeniy в сообщении #889589 писал(а):

Откуда имеем соотношение
$\frac{r_2-r_1}{r_3-r_1}=i\sqrt{\frac{m_2}{m_3}}$

которое означает, что действительных положений равновесия не существует (не считая случая, когда все три тела находятся в одной точке). Поскольку координаты всех тел и их скорости являются действительными, то комплексные решения никому не нужны.

evgeniy в сообщении #889589 писал(а):

Вы совершенно не читаете мои сообщения, где я показываю необходимость комплексного решения и как следствие из нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений существование комплексных координат для их решения. Причем невозможно определить действительное решение.

Вы говорите совершенно идиотскую чушь. В задаче $N$ тел все координаты и все скорости являются действительными, все уравнения также являются действительными. У действительных дифференциальных уравнений с действительными начальными данными решения всегда являются действительными, и комплексные решения могут быть полезны только в одном случае: если с их помощью можно получить действительные решения. Вы уже второй раз (как минимум) заявляете, что из ваших комплексных "решений" невозможно получить действительные, поэтому эти "решения" никому не нужны.
И ещё: я не верю, что списанные Вами с потолка громоздкие выражения действительно являются решениями, хотя бы и комплексными.

evgeniy в сообщении #889589 писал(а):

А по поводу энергии системы двух тел, если координаты действительны это простая задача. Она определяется начальными условиями $E=m(\frac{dr}{dt})^2/2+U(r)+\frac{M^2}{2mr^2}$. см. формулу ЛЛ1 14.4. Где необходимо задать начальные скорости и координаты. Причем величина энергии сохраняется. При условии dr/dt=0, получаем конечный радиус орбиты и конечное значение энергии. Действительная траектория определяется по формуле $r=\frac{p}{1+ecos\varphi}$. Выкладки читайте у ЛЛ1.

Зачем мне выкладки из ЛЛ1? Я просил Вас решить задачу двух тел для простейшего случая круговых орбит и показать, где там дискретный спектр энергий. Где это всё?

[evgeniy]

evgeniy в сообщении #889204 писал(а):

Конкретный классический пример, турбулентный режим не описывается обычными действительными координатами. Решение уравнения Навье -Стокса в действительный координатах при турбулентном режиме не существует. Оно бесконечно. Существует комплексное решение, причем для классической задачи. я уже много раз прводил пример
$\frac{dx}{dt}=1+x^2$
Его решение в действительной плоскости $x(t)=\tg(t-t_0+\arctg x_0)$ стремится к бесконечности, а при комплексном $x_0$ конечно. Причем координаты положения равновесия комплексные $x=\pm i$.
Значит классическая механика в действительной плоскости не описывает колебания системы, когда положения равновесия комплексные. Причем у задачи многих тел координаты положения равновесия комплексные, как доказал Someone. Правда уравнение движения N тел это уравнения с второй производной. Но колебательный характер влияния многих тел сохраняется.

Вообще-то это нахальство, не читать предыдущие сообщения. О чем говорит этот пример, что иногда действительные решения не существуют, и надо использовать комплексные решения. Это относится и к задаче N тел. Получить формулу для решения в действительной плоскости не удается никому. Я же предлагаю построить комплексное решение. При этом уравнение, полученное моим способом действительно, так как в произведении войдут комплексно сопряженные значения и только используя ветвь логарифма получается комплексное решение. При этом если использовать основную ветвь логарифма, получится действительное решение. Но при этом имеются равноправные комплексные решения. Но решение уравнений движения для трех тел комплексное. Для двух тел существует решение действительное по причинам, которые я вам объяснил.

Someone в сообщении #889596 писал(а):

У действительных дифференциальных уравнений с действительными начальными данными решения всегда являются действительными, и комплексные решения могут быть полезны только в одном случае: если с их помощью можно получить действительные решения.

Вот тут то я с вами не согласен. Действительное уравнение с действительными начальными данными может иметь комплексное решение, пример тот же самый, решаем его по неявной схеме, получаем рекуррентное соотношение
$x=(1-\sqrt{1-4(x_0+h+0(h^2))h})/2h$
Решение растет к бесконечности,, и переходит в комплексное решение.
Так вот я привожу пример, когда действительное решение не существует, а имеется формула для комплексного решения. Грех не воспользоваться этим решением.

Someone в сообщении #889596 писал(а):

Вы уже второй раз (как минимум) заявляете, что из ваших комплексных "решений" невозможно получить действительные, поэтому эти "решения" никому не нужны.
И ещё: я не верю, что списанные Вами с потолка громоздкие выражения действительно являются решениями, хотя бы и комплексными.

Не верите, опровергайте, какая часть моих рассуждений не правильна.
Уравнения не списаны с потолка, а если вы такой не понятливый, то я объясню

evgeniy в сообщении #889589 писал(а):

$\frac{m_2(\vec r_2-\vec r_1)}{|\vec r_2-\vec r_1|^3}+\frac{m_3(\vec r_3-\vec r_1)}{|\vec r_3-\vec r_1|^3}=0$
$\frac{m_2(\vec r_2-\vec r_3)}{|\vec r_2-\vec r_3|^3}+\frac{m_1(\vec r_1-\vec r_3)}{|\vec r_1-\vec r_3|^3}=0$

Выбирая координаты вдоль прямой линии, получим записанное уравнение.

evgeniy в сообщении #889589 писал(а):

Зачем мне выкладки из ЛЛ1? Я просил Вас решить задачу двух тел для простейшего случая круговых орбит и показать, где там дискретный спектр энергий. Где это всё?

Для двух тел решение задачи стандартное, которое вы и просили получить. Для трех тел решение существует, только при определенном соотношении между массами. При этом соотношении между массами получается действительное решение. Но в общем случае задача о решении трех тел комплексная, так как действительного решения не существует. Я могу изложить комплексное дискретное решение по Вашей просьбе.

-- Ср июл 23, 2014 13:46:14 --

В случае движения N тел, асимптотика решения в действительной плоскости одно число, равное бесконечности. При этом правая и левая часть уравнений стремится к нулю. Комплексное решение позволяет избежать этой асимптотики, давая возможность построить конечное решение.

[Munin]

evgeniy в сообщении #889618 писал(а):

Вот тут то я с вами не согласен. Действительное уравнение с действительными начальными данными может иметь комплексное решение

Не может, по теореме о существовании и единственности решения.

[evgeniy]

При бесконечности решения, правая часть дифференциального уравнения стремится к бесконечности и нарушаются условия существования единственного решения, и возникает одно из двух комплексных решений. .

[Munin]

Я отчаялся выискивать смысл в этих словах.

[Oleg Zubelevich]

А в этой лабуде и нет ни какого смысла. Товарисч попробовал эрудицией блеснуть, наговорил глупости по всем разделам про какие только слышал.

[evgeniy]

Если фраза определяющая не единственность решения, и сказанная в расчете на понимание жаргона, вас не устраивает, то я отвечу подробно.
условие существования и единственности решения задачи Коши.
1. Правая часть системы дифференциальных уравнений должна существовать.
2. Производная по неизвестным функциям от правой части дифференциальной системы уравнений должна существовать.
иногда второе условие заменяют условием Липшица.
Оба эти условия в точке бесконечность не выполнены, значит возможна не единственность решения в точке бесконечность.