Счетное количество решений задачи движения N тел

[Oleg Zubelevich]

evgeniy в сообщении #889643 писал(а):

Если фраза определяющая не единственность решения, и сказанная в расчете на понимание жаргона, вас не устраивает, то я отвечу подробно.
условие существования и единственности решения задачи Коши.
1. Правая часть системы дифференциальных уравнений должна существовать.
2. Производная по неизвестным функциям от правой части дифференциальной системы уравнений должна существовать.
иногда второе условие заменяют условием Липшица.
Оба эти условия в точке бесконечность не выполнены, значит возможна не единственность решения в точке бесконечность.

а что такое решение в точке "бесконечность"? и как правая часть дифура определена в окрестности этой точки? Напишите формулы для конкретного уравнения. Продемонстрируйте нарушение единственности на конкретном примере.

[evgeniy]

Точка бесконечность понимается в смысле ТФКП, где на сфере определена бесконечная точка и нулевая точка, как я не помню. Но бесконечная точка z, определяется как точка, для которой $\frac{1}{z}=0$. Кажется вспомнил. Если взять сферу и положить ее на плоскость, построить начальную точку на диаметре, перпендикулярном плоскости, то проведя линию из верхней точке диаметра, до пересечения плоскости, эта линия пересечет сферу. Строится однозначное соответствие между точкой пересечения этой линии со сферой и пересечении этой линии с плоскостью. при этом точка на вершине диаметра соответствует бесконечности, каждой точке на плоскости соответствует пересечение со сферой. А нулю соответствует основание диаметра, перпендикулярного плоскости. Повторяю, точка бесконечность соответствует вершине диаметра, перпендикулярного плоскости, так как касательная к сфере в бесконечной точке определит бесконечную точку плоскости. .

[Oleg Zubelevich]

Я спрашивал не про это. Вы не ответили на вопрос.

[evgeniy]

демонстрирую нарушение единственности.
$\frac{dx}{dt}=\frac{1}{(x-1)(x-2)}$
В точках x=1,x=2 наблюдается нарушение условие существования и единственности решения, при этом в окрестности этих точек решение строим в виде
$x=1+\alpha(t-t_0)^{\beta}$
Подствляем в дифференциальное уравнение, умножив его на величину x-1, получим
$\alpha^2\beta (t-t_0)^{2\beta-1}=-1$
членами более высокого порядка малости пренебрегаем. Получаем $\beta=1/2,\alpha=i\sqrt{2}$
Т.е. имеем точку ветвления $x=1+i\sqrt{2}\sqrt{t-t_0}$ в особенности дифференциального уравнения.
Вообще то это математические вопросы, ответ на которые надо знать.

[Oleg Zubelevich]

evgeniy в сообщении #889660 писал(а):

В точках x=1,x=2 наблюдается нарушение условие существования и единственности решения,

в этих точках правая часть уравнения не определена, поэтому бессмысленно говорить о решении, проходящем через эти точки

evgeniy в сообщении #889660 писал(а):

чку ветвления $x=1+i\sqrt{2}\sqrt{t-t_0}$ в особенности

производная этой функции не определена в точке $t=t_0$ поэтому в окрестности этой точки данная функция не может быть решением никакого дифура

-- Ср июл 23, 2014 14:33:00 --

так я понимаю, у нас к непониманию основ физики прибавилось непонимание основ диф. урапвнений.

[evgeniy]

Как с вами сложно, вы основ не понимаете. Эта тема у меня прошла у математиков, можете посмотреть. Действительно надо доопределить понятие решения дифференциального уравнения. Нужно в точке сингулярности рассматривать его как дифференциальное уравнение
$(x-1)\frac{dx}{dt}=\frac{1}{x-2}$
и тогда сингулярность в точке 1 исчезнет, решение непрерывно.
А вообще то я требую извинений за поклеп.

[Oleg Zubelevich]

evgeniy в сообщении #889672 писал(а):

Эта тема у меня прошла у математиков, можете посмотреть.

у каких математиков? ссылочкой снабдите

evgeniy в сообщении #889672 писал(а):

ужно в точке сингулярности рассматривать его как дифференциальное уравнение
$(x-1)\frac{dx}{dt}=\frac{1}{x-2}$
и тогда сингулярность в точке 1 исчезнет, решение непрерывно.

а это другое уравнение, понимаете? с таким же успехом можно было домножить левую и правую часть не на $(x-1)$, а на например, на $\sin(x-1)$, или $\sin^2(x-1)$, тогда сингулярность тоже исчезает в Вашем смысле.

[evgeniy]

Это не другое уравнение, если умножить на величину sin(x-1) , то получится другая правая часть, нужно будет переходить к пределу при $x \to 1$. Принципиально можно использовать и этот множитель, имеющий ту же главную часть при условии $x \to 1$, но добавки к решению усложнятся. Почему это верно, да потому, что получается правильное решение в виде ряда по степеням $(t-t_0)$ без сингулярностей.

[Oleg Zubelevich]

ok. это понятно.



Возвращаемся назад.
1) Вы по-прежнему утверждаете, что в задаче $N$ тел есть действительные положения равновесия?
2) равновесия в комплексном пространстве (если они есть) какое отношение имеют к действительной динамике?

Oleg Zubelevich в сообщении #889675 писал(а):

у каких математиков? ссылочкой снабдите

на этот вопрос тоже ответьте

[evgeniy]

В литературе не существует решения задачи N тел, так же как и задачи решения уравнения Навье - Стокса в турбулентном режиме. Там из уравнений Навье - Стокса следует необходимость комплексного решения, так как действительное решение стремится к бесконечности. В задаче N тел такой необходимости нет. Но в действительной плоскости задача N тел не имеет решения. В действительной и комплексной плоскости определится в виде решения на бесконечности времени координату бесконечность, которая является решением дифференциального уравнения движения. Но остается только кинетическая энергия, которая для действительного решения положительна. а энергия системы отрицательна. В случае комплексного решения кинетическая энергия может быть отрицательна
$m(\operatorname{Re} V_l)^2-m(\operatorname{Im}V_l)^2+2mi \operatorname{Re}V_l \operatorname{Im}V_l$
Причем мнимая часть скомпенсируется. Значит решение комплексное, т.е. удовлетворяет предельному случаю решения уравнения движения.
Но планеты двигаются уже много лет по стационарным орбитам. Следовательно существует периодическое решение с постоянной энергией. Повторяю действительное решение, как ни старались найти нет. Возможно доказаны теоремы, что его не существует. Значит оно может быть комплексным. Но решение содержит и действительную ветвь, когда берем главное значение логарифма. Почему уравнение действительно при главной ветви логарифма? Наряду с комплексным множителем содержится и комплексно сопряженный множитель, так как уравнение по определению корней действительное. Но если для логарифма взять не главную ветвь, то получится комплексное решение задачи движения многих тел.

[Oleg Zubelevich]

evgeniy в сообщении #889724 писал(а):

Но в действительной плоскости задача N тел не имеет решения.

это то есть как?

и на вопросы из предыдущего поста ответьте

evgeniy в сообщении #889724 писал(а):

В литературе не существует решения задачи N тел, так же как и задачи решения уравнения Навье - Стокса в турбулентном режиме.

а что такое турбулентный режим для задачи N тел?


опять какой-то набор слов пошел

[Munin]

evgeniy в сообщении #889724 писал(а):

Но планеты двигаются уже много лет по стационарным орбитам. Следовательно существует периодическое решение с постоянной энергией.

Это, кстати, неверно (и первое, и второе).

Oleg Zubelevich в сообщении #889708 писал(а):

на этот вопрос тоже ответьте

Присоединяюсь к вопросу.

[evgeniy]

Тема точки ветвления систем обыкновенных дифференциальных уравнений находится по адресу.
topic76994.html
На остальные вопросы отвечу потом, бегу к врачу.

[evgeniy]

Oleg Zubelevich в сообщении #889708 писал(а):

Возвращаемся назад.
1) Вы по-прежнему утверждаете, что в задаче $N$ тел есть действительные положения равновесия?
2) равновесия в комплексном пространстве (если они есть) какое отношение имеют к действительной динамике?

1. В задаче N тел существуют комплексные положения равновесия.
2. На самом деле динамика комплексная. Доказываю. При времени стремящемся к бесконечности, система N тел имеет решение, координаты образуют бесконечную точку. При этом остается только кинетическая энергия, потенциальная и энергия вращения стремится к нулю. Но у действительного решения кинетическая энергия положительна, а в задаче N тел она отрицательна. Поэтому на бесконечности времени реализуется комплексное решение с отрицательной действительной частью.

Munin в сообщении #889727 писал(а):

evgeniy в сообщении #889724
писал(а):
Но планеты двигаются уже много лет по стационарным орбитам. Следовательно существует периодическое решение с постоянной энергией.
Это, кстати, неверно (и первое, и второе).

Проясните ваше высказывание, как меняются орбиты планет. Если это эффекты ОТО, то я их знаю, если есть какой-то экспериментальный материал, то сообщите.

Oleg Zubelevich в сообщении #889726 писал(а):

evgeniy в сообщении #889724
писал(а):
В литературе не существует решения задачи N тел, так же как и задачи решения уравнения Навье - Стокса в турбулентном режиме.
а что такое турбулентный режим для задачи N тел?

Турбулентный режим относится к решению уравнения Навье - Стокса. Но комплексное описание решения задачи N тел подразумевает наличие турбулентного решения, имеются колебания действительного решения.

Oleg Zubelevich в сообщении #889726 писал(а):

опять какой-то набор слов пошел

ну что же, если Вы не понимаете, что там написано, я ничего поделать не могу. Там есть вещи, которые требуют отдельного сообщения, но я их формулирую одной фразой, не доказывая, нужно просто некоторые фразы воспринимать, как сказано.

[Munin]

evgeniy в сообщении #889845 писал(а):

Проясните ваше высказывание, как меняются орбиты планет. Если это эффекты ОТО, то я их знаю, если есть какой-то экспериментальный материал, то сообщите.

Это расчёт по классической механике. Не эффекты ОТО и не экспериментальный материал. См. напр.
http://www.astro.spbu.ru/astro2006/review.htm доклад И. И. Шевченко.

evgeniy в сообщении #889845 писал(а):

Турбулентный режим относится к решению уравнения Навье - Стокса.

Врёте. Выше вы заявляли про турбулентный режим для гироскопа.