Найти условный экстремум функции

[K@trin]

Помогите, пожалуйста !!! Найти условный экстремум функции, с помощью формулы Лагранжа.

$$f(x,y,z)=x^2 + y^2 + z^2$$

При условиях:

$$\frac {x^2}4+y^2 + z^2=1$$

$$x+y+z=0$$

Составляю формуле Лагранжа:

$$f(x,y,z)=x^2 + y^2 + z^2+\lambda_1(\frac {x^2}4+y^2 + z^2-1)+\lambda_2(x+y+z)$$

Нашла производные от всех переменных.

$$L'(x)=2 x + \frac {2\lambda_1 x}4 +\lambda_2$$

$$L'(y)=2 y + 2\lambda_1 y+\lambda_2$$

$$L'(z)=2 z + 2\lambda_1 z+\lambda_2$$

Все можно выразить друг через друга, а что делать дальше не понятно. Помогите, пожалуйста.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не приведены попытки решения, формулы не оформлены $\TeX$ом

K@trin
Приведите попытки решения, укажите конкретные затруднения.
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом. Каждая формула целиком (а не кусками) , должна быть заключена в пару долларов.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Вернул

[provincialka]

K@trin в сообщении #868079 писал(а):

Все можно выразить друг через друга,

А как? Вы даже к нулю производные не приравняли. Кстати, у вас есть еще два уравнения связи. Вот и найдите из системы все 5 неизвестных.
Впрочем, одну из переменных легко исключить с самого начала.

[K@trin]

provincialka в сообщении #868106 писал(а):

K@trin в сообщении #868079 писал(а):

Все можно выразить друг через друга,

А как? Вы даже к нулю производные не приравняли. Кстати, у вас есть еще два уравнения связи. Вот и найдите из системы все 5 неизвестных.
Впрочем, одну из переменных легко исключить с самого начала.

Приравняла к нулю. Выражала $\lambda_1$ и $\lambda_2$ и $x,y,z$ , но ничего дальше не получается.

[Ms-dos4]

K@trin
Пишите всё сюда

[Otta]

А что получается?

K@trin в сообщении #868109 писал(а):

Выражала $\Lambda_1$ и $\Lambda_2$

Таких нет у Вас.

[K@trin]

$\lambda_1$ и $\lambda_2$

[Ms-dos4]

K@trin
Перепишите все ваши попытки сюда

[мат-ламер]

(Оффтоп)

Если не использовать функцию Лагранжа, то задача устная.

[K@trin]

$$x=\frac{-\lambda_2}{8+2 \lambda_1}$$

$$y=\frac{-\lambda_2}{2+2 \lambda_1}$$

$$z=\frac{-\lambda_2}{2+2 \lambda_1}$$

Получаем, что $y=z$.
Я подставила $x,y,z$ в 2 условие

$$x+y+z=0$$

Оттуда выразила $\lambda_1=-3\lambda_2$. Подставила все так же в первое ограничение, вместо$\lambda_1$ подставила $-3\lambda_2$. И это у меня ни к чему хорошему не привело.

[provincialka]

Во первых, вы делите на переменное выражение, не учитывая, что оно может быть равно 0.
Во вторых, легче исключить лямбды.

[SpBTimes]

А не проще геометрически?

[мат-ламер]

SpBTimes в сообщении #868145 писал(а):

А не проще геометрически?

Проще из первого условия найти $y^2+z^2$ и подставить это в целевую функцию. Но боюсь, что такой подход не зачтут.

[provincialka]

Можно рассуждать так. Ваши три уравнения можно рассматривать как линейную систему относительно $\lambda_1,\lambda_2$, в которой три уравнения и две переменные. Что это значит по теореме Кронекера-Капелли?
Или еще так можно рассуждать: это линейная однородная система с решением $(1,\lambda_1,\lambda_2)$. Оно ненулевое. Когда однородная система может иметь ненулевое решение?

Оба подхода приводят к вычислению некоторого определителя.

[мат-ламер]

K@trin в сообщении #868079 писал(а):

Нашла производные от всех переменных.

$$L'(x)=2 x + \frac {2\lambda_1 x}4 +\lambda_2$$

$$L'(y)=2 y + 2\lambda_1 y+\lambda_2$$

$$L'(z)=2 z + 2\lambda_1 z+\lambda_2$$

Повычитать уравнения. $\lambda_2$ пропадёт (как уже советовали).