2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Найти условный экстремум функции
Сообщение26.05.2014, 19:13 


26/05/14
16
Помогите, пожалуйста !!! Найти условный экстремум функции, с помощью формулы Лагранжа.
$$f(x,y,z)=x^2 + y^2 + z^2$$
При условиях:
$$\frac {x^2}4+y^2 + z^2=1$$
$$x+y+z=0$$
Составляю формуле Лагранжа: $$f(x,y,z)=x^2 + y^2 + z^2+\lambda_1(\frac {x^2}4+y^2 + z^2-1)+\lambda_2(x+y+z)$$ Нашла производные от всех переменных. $$L'(x)=2 x + \frac {2\lambda_1 x}4 +\lambda_2$$ $$L'(y)=2 y + 2\lambda_1 y+\lambda_2$$ $$L'(z)=2 z + 2\lambda_1 z+\lambda_2$$ Все можно выразить друг через друга, а что делать дальше не понятно. Помогите, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение26.05.2014, 20:22 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не приведены попытки решения, формулы не оформлены $\TeX$ом

K@trin
Приведите попытки решения, укажите конкретные затруднения.
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом. Каждая формула целиком (а не кусками) , должна быть заключена в пару долларов.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Вернул

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти условный экстремум функции
Сообщение26.05.2014, 20:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Все можно выразить друг через друга,
А как? Вы даже к нулю производные не приравняли. Кстати, у вас есть еще два уравнения связи. Вот и найдите из системы все 5 неизвестных.
Впрочем, одну из переменных легко исключить с самого начала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти условный экстремум функции
Сообщение26.05.2014, 20:30 


26/05/14
16
provincialka в сообщении #868106 писал(а):
Все можно выразить друг через друга,
А как? Вы даже к нулю производные не приравняли. Кстати, у вас есть еще два уравнения связи. Вот и найдите из системы все 5 неизвестных.
Впрочем, одну из переменных легко исключить с самого начала.


Приравняла к нулю. Выражала $\lambda_1$ и $\lambda_2$ и $x,y,z$ , но ничего дальше не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти условный экстремум функции
Сообщение26.05.2014, 20:36 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
K@trin
Пишите всё сюда

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти условный экстремум функции
Сообщение26.05.2014, 20:36 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
А что получается?
K@trin в сообщении #868109 писал(а):
Выражала $\Lambda_1$ и $\Lambda_2$

Таких нет у Вас.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти условный экстремум функции
Сообщение26.05.2014, 20:37 


26/05/14
16
$\lambda_1$ и $\lambda_2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти условный экстремум функции
Сообщение26.05.2014, 20:39 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
K@trin
Перепишите все ваши попытки сюда

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти условный экстремум функции
Сообщение26.05.2014, 20:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591

(Оффтоп)

Если не использовать функцию Лагранжа, то задача устная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти условный экстремум функции
Сообщение26.05.2014, 20:44 


26/05/14
16
$$x=\frac{-\lambda_2}{8+2 \lambda_1}$$
$$y=\frac{-\lambda_2}{2+2 \lambda_1}$$
$$z=\frac{-\lambda_2}{2+2 \lambda_1}$$
Получаем, что $y=z$.
Я подставила $x,y,z$ в 2 условие $$x+y+z=0$$ Оттуда выразила $\lambda_1=-3\lambda_2$. Подставила все так же в первое ограничение, вместо$\lambda_1$ подставила $-3\lambda_2$. И это у меня ни к чему хорошему не привело.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти условный экстремум функции
Сообщение26.05.2014, 21:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Во первых, вы делите на переменное выражение, не учитывая, что оно может быть равно 0.
Во вторых, легче исключить лямбды.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти условный экстремум функции
Сообщение26.05.2014, 21:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
А не проще геометрически?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти условный экстремум функции
Сообщение26.05.2014, 21:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
SpBTimes в сообщении #868145 писал(а):
А не проще геометрически?

Проще из первого условия найти $y^2+z^2$ и подставить это в целевую функцию. Но боюсь, что такой подход не зачтут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти условный экстремум функции
Сообщение26.05.2014, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Можно рассуждать так. Ваши три уравнения можно рассматривать как линейную систему относительно $\lambda_1,\lambda_2$, в которой три уравнения и две переменные. Что это значит по теореме Кронекера-Капелли?
Или еще так можно рассуждать: это линейная однородная система с решением $(1,\lambda_1,\lambda_2)$. Оно ненулевое. Когда однородная система может иметь ненулевое решение?

Оба подхода приводят к вычислению некоторого определителя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти условный экстремум функции
Сообщение26.05.2014, 21:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
K@trin в сообщении #868079 писал(а):
Нашла производные от всех переменных. $$L'(x)=2 x + \frac {2\lambda_1 x}4 +\lambda_2$$ $$L'(y)=2 y + 2\lambda_1 y+\lambda_2$$ $$L'(z)=2 z + 2\lambda_1 z+\lambda_2$$

Повычитать уравнения. $\lambda_2$ пропадёт (как уже советовали).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group