Найти бесконечное произведение

[jokeyjoke]

Привет всем!

Помогите справиться с бесконечным произведением - надо найти значение

$$\prod_{n=1}^{\infty} e^{-5(-1)^n/n}

Проблема - даже не знаю, с чего начать. Прологарифмировать? Как?

никогда не решал подобных задач, буду рад любой помощи, ссылкам на литературу

Итак, что у меня получилось.

Я заметил, что можно условно разделить это произведение на случаи при четных и нечетных $$n.

И представил деления при четных $$n на случаи при нечетных как

$$1/e^{5/n(n-1)}

При $$n, стремящемся к бесконечности, данное выражение равно 1.

Плюс остается еще
$$e^5

для которой пары нет, так как отсчет у нас идет от $$n=1

У меня получилось, что данное бесконечное произведение равно
$$e^5

[provincialka]

Прологарифмировать не пробовали?

А что значит "справиться"? Задача какая?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

1.Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

2. Приведите свои попытки решения и укажите затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Sonic86]

Не, а вправду, что Вы его прологарифмировать не хотите?

jokeyjoke в сообщении #861815 писал(а):

Прологарифмировать? Как?

Ну обозначьте все какой-нибудь букоффкой "зю" и прологарифмируйте равенство "зю=произведение".

[Otta]

Да пусть себе собирает показатели, какая разница))

[jokeyjoke]

А мой ответ неверен?

-- 11.05.2014, 19:33 --

По поводу логарифма - какая эта теорема?

Ну возьму я натуральный логарифм, получу показатель степени.

Он стремится к нулю.

[Otta]

jokeyjoke в сообщении #861887 писал(а):

А мой ответ неверен?

Не, где-то обсчитались.

[provincialka]

Ошибки нет в записи? Зачем в произведении дважды стоит минус?
А вы попробуйте выписать несколько сомножителей без знака произведения. Может, что-то и прояснится.

[Sonic86]

Otta в сообщении #861883 писал(а):

Да пусть себе собирает показатели, какая разница))

Ну я не против Логарифмированием просто в одно действие... а текст я ниасилил, у меня извилин мало

jokeyjoke в сообщении #861887 писал(а):

По поводу логарифма - какая эта теорема?

Никакая. Ну или:
1) Могу заменять выражение на ему равное, если обосновал
2) Могу эквивалентно преобразовывать соотношение как душе угодно, лишь бы эквивалентно.
Вы с рядами знакомы?
Как бы идеология такая: произведения - это что-то неизвестное, а ряды мы вдоль и поперек облазили. Давайте сведем произведение к ряду.

jokeyjoke в сообщении #861815 писал(а):

И представил деления при четных $n$ на случаи при нечетных как
$1/e^{5/n(n-1)}$
При $n$, стремящемся к бесконечности, данное выражение равно 1.
Плюс остается еще
$e^5$
для которой пары нет, так как отсчет у нас идет от $n=1$
У меня получилось, что данное бесконечное произведение равно
$e^5$

Не, это какая-то лажа: Вы путаете $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$ и $\lim\limits_{n\to\infty}\prod\limits_{k=1}^{n}a_k$. Вы нашли 1-е (и то неверно, д.б. везде 1), а Вам надо 2-е.

[Otta]

jokeyjoke в сообщении #861887 писал(а):

По поводу логарифма - какая эта теорема?

Никакая не теорема. Вы спрашивали, как бороться с бесконечными произведениями, - Вам ответили. Прологарифмировать. Логарифм произведение во что превращает? Из двух множителей? А из трех? А из кучи? А если их бесконечно много?

[jokeyjoke]

Так, здорово)

Тогда я путем логарифма перешел к выражению

$$-5(-1)^n/n

И получаю предел суммы, который равен 0.

[Sonic86]

jokeyjoke в сообщении #861898 писал(а):

Тогда я путем логарифма перешел к выражению

$$-5(-1)^n/n

А где же сумма?
Кстати, Вы доллары неправильно ставите.

jokeyjoke в сообщении #861898 писал(а):

И получаю предел суммы, который равен 0.

Предел чего? И что из этого?
Вы хотя бы для самопроверки посчитайте сумму численно в Екселе, возьмите 100 или 200 членов. Ну или 1000. Посмотрите на ответ приближенно.

Кстати, Вы знакомы с рядами Маклорена?

[provincialka]

Пусть $P=\prod_{n=1}^{\infty} e^{-5(-1)^n/n}$. Тогда $\ln P=-5\sum\limits{_{n=1}^{\infty}}\frac{(-1)^n}{n}$. Получился ряд, весьма известный.

[Sonic86]

(хнык)

provincialka в сообщении #861914 писал(а):

Пусть $P=\prod_{n=1}^{\infty} e^{-5(-1)^n/n}$. Тогда $\ln P=-5\sum\limits{_{n=1}^{\infty}}\frac{(-1)^n}{n}$. Получился ряд, весьма известный.

Я вот хотел, чтобы он сам прологарифмировал, а теперь уже всееее