А комплексные потенциалы в физике применяются?
Применяются, правда, пока широко известны применения комплексных потенциалов лишь к стационарным задачам и с двумя пространственными измерениями, или эффективно сводящимся к двумерию, например, с цилиндрической симметрией. См., например, книгу Лаврентьева и Шабата "Проблемы гидродинамики и их математические модели":
http://bookre.org/reader?file=543144Там же подчеркивается, что расширение красивых методов комплексного потенциала на физические задачи с тремя, а тем более, четырьмя измерениями, по мнению авторов, сильно ограничены. В качестве доказательства приводится теорема Фробениуса, согласно которой, алгебра комплексных чисел не имеет расширения на три и большее число измерений с сохранением
всех их математических свойств, включая коммутативность умножения и наличие операции деления. Отчасти, исключением из данного правила некоторые математики считают алгебру кватернионов Гамильтона, однако у тех умножение уже не коммутативно, но самое главное, аналитические функции от кватернионов ограничены дробнолинейными. Что тесно связано с 15-параметрической группой конформных преобразований четырехмерного евклидова пространства, которое соответствует алгебре кватернионов, точно так же, как двумерное евклидово пространство соответствует алгебре комплексных чисел. У последних, кстати, и множество аналитических функций, и группа конформных преобразований - бесконечно-параметрические, что и делает их прекрасным полигоном для применения ко многим физическим задачам, сводящимся к двум евклидовым измерениям.
Однако, те же Лаврентьев и Шабат, косвенно, говорят о еще одной двумерной коммутативной алгебре, очень похожей на комплексную, которая по их мнению, так же может дать в качестве приложений к физике нечто подобное теории комплексного потенциала, но уже не в евклидовой, а в двумерной псевдоевклидовой геометрии. Это алгебра двойных чисел. Лаврентьев с Шабатом приводят и примеры, называемых ими h-аналитических функций двойной переменной, которые, как сами говорят, при желании можно рассматривать в качестве конформных преобразований в соответствующем по метрике пространстве. Только они не развивают далее данную идею, а ограничиются более тривиальной интерпретацией h-аналитических функций двойной переменной в виде двух волн в двумерном пространстве Галилея (время и пространство в таком независимы друг от друга).
Однако, если довести идею Лаврентьева и Шабата до логического конца, то оказывается, h-аналитические функции двойной переменной, можно использовать для расширения методов комплексного потенциала на двумерное псевдоевклидово пространство-время. В результате получается теория простейшего двумерного гиперкомплексного потенциала. Собственно, решение этой задачи и было продемонстрировано вниманию сэра Роджера Пенроуза год назад на нашем семинаре в РУДН, ссылки на материалы которого я Вам недавно представил в другой теме.
Но самое интересное не это. На много более интересно то обстоятельство, что алгебра двойных чисел, в отличие от алгебры комплексных чисел, не имеет "своей" теоремы Фробениуса и легко расширяется на три и четыре измерения без потери каких бы то ни было математических свойств. Самое главное из которых - бесконечно-параметрическое множество конформных преобразований соответствующего n-мерного (n>2) пространства и такое же по разнообразию множество h-аналитических функций. Иными словами, с использованием гиперкомплексных алгебр, являющихся n-мерным расширением двойных чисел (а заодно и комплексных, но с обязательным наличием делителей нуля в их многомерных расширениях) ни что не запрещает реализации методов гиперкомплексного потенциала не только в абстрактной математике, но и в прикладной физике. Правда, для последнего потребуется в обязательном порядке допустить уместность применения к физике не только римановых и псевдоримановых метрик, но и целого ряда специфических финслеровых (псевдофинслеровых) метрических функций, которые и соответствуют алгебрам расширений двойных и комплексных чисел на случаи n>2. Собственно, именно поэтому меня так интересуют, и финслеровы пространства с вещественными и комплексными метриками Бервальда-Моора, и соответствующие им коммутативно-ассоциативные алгебры, и вытекающие из их существования методы гиперкомплексного потенциала применительно для многомерных физических приложений.
