Гравитация

[Arkhipov]

Если честно, не понял. Но очень хочу понять. Не могли бы Вы немножко пояснить? На первый взгляд если скорость частицы на некоторой высоте имеет только временную составляющую $u^0=1, u^i=0$, то есть частица покоится, то ее ускорение может быть вызвано только одним символом Кристоффеля $\Gamma^1_{00}$ который вроде бы равен g.

[Munin]

Arkhipov в сообщении #879536 писал(а):

Прошу прощения, похоже на то, что однородное поле не обладает кривизной.

Это ещё что. Похоже на то, что однородного поля вообще не существует.

Arkhipov в сообщении #879621 писал(а):

Пожалуй, я буду считать, что ее оседлал.

Вам и с Землёй никто не мешает считать так же :-)

[epros]

Arkhipov в сообщении #879649 писал(а):

то есть частица покоится, то ее ускорение может быть вызвано только одним символом Кристоффеля $\Gamma^1_{00}$ который вроде бы равен g.

Вызвано — да, этим символом Кристоффеля, но не равно ему. Ускорение свободного падения предоставляет собой вторую произвольную пройденного расстояния по местному времени. И тут возникает нюанс, связанный с тем, что в НСО местное время не совпадает со значением нулевой координаты: отношение промежутков одного и другого зависит от потенциала. Поэтому между $g$ и $\Gamma^1_{00}$ есть ещё некий множитель.

[Arkhipov]

Понял, спасибо!

[epros]

Munin в сообщении #879670 писал(а):

Arkhipov в сообщении #879621 писал(а):

Пожалуй, я буду считать, что ее оседлал.

Вам и с Землёй никто не мешает считать так же

Только надо будет определиться с тем, чья точка зрения более правильная: москвичей, что Земля ускоряется в сторону Москвы, или новосибирцев, что Земля ускоряется в сторону Новосибирска.

[Munin]

epros в сообщении #879672 писал(а):

Вызвано — да, этим символом Кристоффеля, но не равно ему.

Да ладно, равно, см. уравнение геодезической.

Arkhipov
Нюанс не в этом, а в том, как вы вычисляете символы Кристоффеля по метрике. У вас там играет роль $\partial g_{00}/\partial x^1,$ но не остальные производные, потому что метрика стационарна по времени (по координате 0). Таким образом, ускорение свободного падения вызвано именно временно́й частью метрического тензора - замедлением времени, а не пространственными искажениями длин.

[Someone]

Я в сообщении http://dxdy.ru/post541454.html#p541454 анализировал движение в гравитационном поле однородной плоскости. Для наблюдателя, покоящегося на высоте $z$ ($z>0$), ускорение равно

$$\frac{d^2z}{d\tau^2}=c^2\frac{d^2z}{ds^2}=-\frac g{1+\frac{gz}{c^2}}.$$

Но связано это не с мифическим "релятивистским сокращением длин", а с гравитационным замедлением времени.

[Munin]

epros в сообщении #879675 писал(а):

Только надо будет определиться с тем, чья точка зрения более правильная: москвичей, что Земля ускоряется в сторону Москвы, или новосибирцев, что Земля ускоряется в сторону Новосибирска.

"Марти! Развивай четырёхмерное воображение!"

Док. Эммет Браун.

Разумеется, Земля ускоряется и в сторону Москвы, и в сторону Новосибирска! В Москве она ускоряется в сторону Москвы, а в Новосибирске - в сторону Новосибирска. И вообще, она ускоряется вверх в любой точке на поверхности Земли.

Мы же находимся в искривлённом пространстве-времени, и не можем так запросто переносить векторы из одной точки в другую, из Москвы в Новосибирск. Даже никак не можем. А поэтому, никто не мешает считать Землю Гигантским Летающим Всепожирающим Макаронным Монстром, который движется в одном месте туда, а в другом - иначе.

[epros]

Munin в сообщении #879677 писал(а):

epros в сообщении #879672 писал(а):

Вызвано — да, этим символом Кристоффеля, но не равно ему.

Да ладно, равно, см. уравнение геодезической.

И чё?

Munin в сообщении #879677 писал(а):

Таким образом, ускорение свободного падения вызвано именно временно́й частью метрического тензора - замедлением времени, а не пространственными искажениями длин.

Разумеется и ускорение свободного падения, и соответствующий символ Кристоффеля выражаются через пространственный градиент нулевой компоненты метрики. Однако они не равны.

Munin в сообщении #879681 писал(а):

"Марти! Развивай четырёхмерное воображение!"

Док. Эммет Браун.

Разумеется, Земля ускоряется и в сторону Москвы, и в сторону Новосибирска! В Москве она ускоряется в сторону Москвы, а в Новосибирске - в сторону Новосибирска. И вообще, она ускоряется вверх в любой точке на поверхности Земли.

Как бы ей не лопнуть от этого. Четырёхмерное воображение — воображением, а мы привыкли воспринимать Землю как нечто целостное и практически даже почти твёрдое. И в рамках этого восприятия она в своей (геоцентрической) СО никуда не ускоряется. Зато там (в оной СО) есть такое явление, как «гравитация», то бишь притяжение человеков к Земле.

[Arkhipov]

Теперь не понятно. Если частицы уже двигаются, то $u^1$ отлично от нуля, и я должен учитывать $\Gamma^1_{11}$. Если он равен 0, то есть пространственных искажений длин нет, то как я получу изменение ускорения?

$u^0=\gamma$

$\frac{d^2 x}{ds^2}=\gamma^2 \frac{d^2 x}{dt^2}+\frac{d \gamma}{ds} \frac{dx}{ds}=g \gamma^2$

$\frac{d^2 t}{ds^2}= \frac{d \gamma}{ds} \frac{dt}{ds}=g\gamma^2 \frac{u^2}{c^2}$

$\frac{d^2 x}{dt^2}+ \frac{d \gamma}{dt} \frac{dx}{dt}=g$

$\frac{d \gamma}{dt} =g \frac{u^2}{c^2}$

$\frac{d^2 x}{dt^2}=g (1-\frac{u^2}{c^2})$

[Someone]

Arkhipov, Вы всё-таки почитайте сообщение http://dxdy.ru/post541454.html#p541454. Там все символы Кристоффеля указаны (формулы (7)). Только три из них не равны $0$.
Зависимость ускорения от скорости в явном виде появится, если из четвёртого уравнения системы (9) исключить $\frac{dt}{ds}$ с помощью уравнения (10). К "релятивистскому сокращению длин" это отношения не имеет.

Someone в сообщении #879680 писал(а):

Для наблюдателя, покоящегося на высоте $z$ ($z>0$), ускорение равно

$$\frac{d^2z}{d\tau^2}=c^2\frac{d^2z}{ds^2}=-\frac g{1+\frac{gz}{c^2}}.$$

Забыл сказать, что $\tau$ — это собственное время наблюдателя (движущегося или неподвижного), а не координата, которая использовалась в сообщении http://dxdy.ru/post541454.html#p541454. Как обычно, $d\tau=\frac{ds}c$.

[Munin]

epros в сообщении #879689 писал(а):

И чё?

И ничё.

epros в сообщении #879689 писал(а):

Разумеется и ускорение свободного падения, и соответствующий символ Кристоффеля выражаются через пространственный градиент нулевой компоненты метрики. Однако они не равны.

...или равны.

epros в сообщении #879689 писал(а):

Как бы ей не лопнуть от этого.

Зачем лопнуть? Лопнуть она могла бы в плоском пространстве-времени. А у нас не такое.

epros в сообщении #879689 писал(а):

а мы привыкли воспринимать Землю как нечто целостное и практически даже почти твёрдое.

А это сильно напрасно. В ОТО не так.

В ОТО Земля - это часть пространства-времени, заполненная веществом с заданным уравнением состояния. А если решить пару уравнений - то с заданным тензором энергии-импульса. Не более того.

Смотреть на это как на нечто целостное или даже твёрдое - исключительно личный выбор смотрящего, и он, конечно, несовместим со смотрением на это как на осёдланную каменюку, как в Москве, так и в Новосибирске, но и второй выбор смотрящему, безусловно, доступен.

epros в сообщении #879689 писал(а):

Зато там (в оной СО) есть такое явление, как «гравитация», то бишь притяжение человеков к Земле.

Если вы про разложение тензора Римана на тензор Риччи и тензор Вейля, то оно работает в дифференциально малых окрестностях точки. А Земля большая. По крайней мере, пока мы к ней приглядываемся настолько, что различаем Москву и Новосибирск.

Arkhipov в сообщении #879692 писал(а):

Теперь не понятно. Если частицы уже двигаются, то $u^1$ отлично от нуля, и я должен учитывать $\Gamma^1_{11}$. Если он равен 0

Да забейте. В малых скоростях там всё подавляется множителями $c$ в знаменателе.

А в больших скоростях - задача движения в Шварцшильде решена точно, см. напр. Вайнберга "Гравитация и космология", или МТУ.

-- 25.06.2014 15:10:38 --

Someone в сообщении #879710 писал(а):

Arkhipov, Вы всё-таки почитайте сообщение post541454.html#p541454 . Там все символы Кристоффеля указаны (формулы (7)). Только три из них не равны $0$.

Можете для справки привести символы Кристоффеля в Шварцшильде?

[Arkhipov]

Someone Убедили.

Где-то в памяти отложилось, будто метрика содержит поправку к координатной части. Было естественно ожидать, что именно это дает эффект, зависящий от скорости.

[Munin]

Arkhipov в сообщении #879723 писал(а):

Где-то в памяти отложилось, будто метрика содержит поправку к координатной части.

Содержит. Но она имеет более высокий порядок малости по $c.$

[epros]

Munin в сообщении #879712 писал(а):

...или равны.

Если измерять ускорение свободного падения с помощью местных часов и линеек, а не каким-то неправильным, координатно зависимым способом, то не равны. Просто посчитайте $\Gamma^1_{00}$ в координатах Риндлера и убедитесь, что она — не ускорение свободного падения.

Munin в сообщении #879712 писал(а):

epros в сообщении #879689 писал(а):

а мы привыкли воспринимать Землю как нечто целостное и практически даже почти твёрдое.

А это сильно напрасно. В ОТО не так.

Если бы в ОТО это было не так, то она не была бы теорией, применимой на практике. Употребление слов про четырёхмерие ни в коей мере не отменяет понятие систем отсчёта, относительно которых Земля никуда не ускоряется и относительно которых могут быть измерены ускорения свободного падения.