2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Конечная десятичная дробь
Сообщение28.02.2014, 17:45 


28/02/12
25
Германия
Для каких натуральных $n$ дробь $\frac{4n+1}{n(2n-1)}$ представима в виде конечной десятичной дроби (кдд)?

Обыкновенная дробь представима в виде кдд если она имеет вид $\frac{q}{2^a\cdot5^b}$
Мою дробь можно написать как $\frac{6}{2n-1}-\frac{1}{n}$. Чтобы разность была кдд, уменьшаемое и вычитаемое тоже должны быть кдд. Так как $2n-1$ нечетно, $2n-1=3$ или $2n-1=5^b\cdot3^c$, $c\in\{0,1\}$. Если $2n-1$ делится на $5$, $n$ не делится, т.е. $n=2^a$. Насколько я понимаю, задача сводится к решению уравнения $2^{a+1}-1=5^b\cdot3^c$, $c\in\{0,1\}$. Как доказать, что кроме $0, 1$ и $3$ никакие $a$ не подходят?

(Оффтоп)

Прогнал в экселе все $n<200$, подошли только $1, 2, 8$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечная десятичная дробь
Сообщение28.02.2014, 18:15 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
m_victor в сообщении #831392 писал(а):
Чтобы разность была кдд, уменьшаемое и вычитаемое тоже должны быть кдд
Таки $\frac23-\frac16=\frac12$

-- 01.03.2014, 02:21 --

Мне кажется, расписывать как разность бесполезно. Это только усложняет вопрос.
$\text{НОД}(n,4n+1)=1$; $\text{НОД}(2n-1,4n+1) = \text{НОД}(2n-1,3)$. Таким образом, дробь сократима на 3 либо несократима. Отсюда можно и поплясать дале.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечная десятичная дробь
Сообщение28.02.2014, 18:22 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Надо поподбирать модули по которым это уравнение не будет иметь решений, кроме некоторых.
Например, $2^{a+1}-1=5^b$
рассматриваем по модулю $4$.
Решение только $(0; 0)$

-- Пт фев 28, 2014 19:24:25 --

iifat в сообщении #831410 писал(а):
Таки $\frac23-\frac16=\frac12$

Если знаменатели взаимно просты, то рассуждение проходит.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group