Теория деления на ноль. И опровержение аксиомы.

[Николай Хижняк]

Ноль, бесконечность, точка... Самые интересные и дискуссионные темы. Покуда не будут сняты все вопросы по этим темам, говорить о том, что наша цивилизация овладела математикой - еще рано.
Основы математики в первом приближении можно сформулировать так:
точка - замкнутое пространство с радиусом кривизны, равным нулю и коэффициентом кривизны равным ... (все же, чему он равен: бесконечности или единице, деленной на ноль?)
эвклидово пространство - пространство, обратное точке с коэффициентом кривизны, равным нулю и с радиусом кривизны, равным... (опять: либо бесконечности, либо единице, деленной на ноль)
бесконечность - расстояние между двумя точками
ноль - начало единицы измерения
единица - ладно, с ней по ходу разберусь.
Геометрия начинает вырисовываться, физика и философия наложатся, а куда им от математики деться? Весь окружающий мир помещается между точкой и эвклидовым пространством. Самый интересный вопрос: как окружность превращается в квадрат (или наоборот)?

[ewert]

Dan B-Yallay писал(а):

А почему бы нам не ввести нули и бесконечности разных порядков?

$\infty^1 = \lim\limits_{n \to \infty} n \quad (= \mathbb \aleph^0) $
$\infty^2 = \lim\limits_{n \to \infty} n^2 \quad $
....
Конечно, это все - шуточные попытки объяснить нестандартный анализ на "пяльцах". Может кому то и поможет понять? Все признаки сходимости-расходимости последовательностей/рядов на одном дыхании...

А где будут в этой классификации штучки типа
$\lim\limits_{n \to \infty} (n+n^2\sin^2n)$ ?

[buddha13]

Николай Хижняк писал(а):

Самый интересный вопрос: как окружность превращается в квадрат (или наоборот)?

Позволю себе вас просветить - окружность нельзя превратить в ГРАНИЦУ квадрата (если уж так). Доказательство этого факта можете найти в какой-нибудь книге по теории чисел, или теории Галуа.
Обратное же - сами понимаете

[Anton Nonko]

Николай Хижняк писал(а):

Ноль, бесконечность, точка... Самые интересные и дискуссионные темы. Покуда не будут сняты все вопросы по этим темам, говорить о том, что наша цивилизация овладела математикой - еще рано.
Основы математики в первом приближении можно сформулировать так:
точка - замкнутое пространство с радиусом кривизны, равным нулю и коэффициентом кривизны равным ... (все же, чему он равен: бесконечности или единице, деленной на ноль?)
эвклидово пространство - пространство, обратное точке с коэффициентом кривизны, равным нулю и с радиусом кривизны, равным... (опять: либо бесконечности, либо единице, деленной на ноль)

Что за "пространство", которым являются и точка, и евклидово пространство? Определение, свойства.

Николай Хижняк писал(а):

бесконечность - расстояние между двумя точками

Конечных расстояний не бывает? Если и точка, и евклидово пространство - частные случаи упомянутого выше "пространства", то почему рассматривается только расстояние между точками?

Николай Хижняк писал(а):

ноль - начало единицы измерения

Феерично. Что значит - "начало еденицы измерения"?

Николай Хижняк писал(а):

единица - ладно, с ней по ходу разберусь.

Блестящий пример творческого подхода, выходящего за рамки косного, сухого и бесплодного формализма. Мои поздравления.

Что касается превращения окружности в квадрат, то... Что за превращение Вы имели в виду?

[Бодигрим]

Николай Хижняк в сообщении #139874 писал(а):

Ноль, бесконечность, точка... Самые интересные и дискуссионные темы. Покуда не будут сняты все вопросы по этим темам, говорить о том, что наша цивилизация овладела математикой - еще рано.

Есть мнение, что у нас с вами разные цивилизации. Я с Земли, третьей планеты от солнца, а вы откуда? В моей цивилизации давно сняли все вопросы касающиеся нуля, бесконечности и точки, и мы готовы поделиться с вами этим знанием в обмен на технологию инфинитепозитронного двигателя незамкнутого сгорания.

[Cosinus]

Dan B-Yallay писал(а):

А почему бы нам не ввести нули и бесконечности разных порядков?

$ $\infty^1 = \lim\limits_{n \to \infty} n \quad (= \mathbb \aleph^0) \quad \infty^2 = \lim\limits_{n \to \infty} n^2 \quad .... 0^1 = \lim\limits_{n \to \infty} 1/n \quad 0^2 = \lim\limits_{n \to \infty} 1/n^2 \quad ... 0^k = \lim\limits_{n \to \infty} 1/n^k$ \\ $

Тогда имеем

$\frac 1 {0^1} = \infty^1$,
$\frac a {0^3} = a * \infty^3$
$\frac {\infty^3} {0^2} = \infty^5$
$\infty^2 * 0^1 = \infty^1$

Плюс аксиома: Абсолютного нуля (-273 С) не бывает!!! Только порядковый.
При делении на ноль, указывать порядок нуля обязательно!!! :shock:

Все неопределенности типа ноль на ноль или бесконечность на бесконечность устраняются за раз. И делить на ноль можно! :D

А можно мне, можно мне? ^_^

В 10-м классе я "изобрёл" именно такую систему:
0^1 = \lim\limits_{n \to \infty} \frac 1 {n}
E^1 = \lim\limits_{n \to \infty} n
0^1=(E^1)^{-1}=E^{-1}
x-x=x*1-x*1=x*(1-1)=x*(0^1)=x*E^{-1}
1=E^1*0^1=E^1*E^{-1}=E^{1-1}=E^{E^{-1}}

Но напоролся на противоречие, заставившее меня эту тему бросить. А именно -- если рассматривать "новые" числа как сохраняющие основные свойства "старых" (иначе же -- бред?), то, в силу ассоциативности умножения в показателях степени:
1^E=(E^{E^{-1}})^{E^1}=E^{E^{-1}*E^1}=E^1
Но, тогда, последнее выражение превосходит экспоненту, да ещё и "почти" в бесконечность раз!

Возможные выходы здесь, насколько я помню, следующие:

1) Отказаться от операции возведения в степень -- что совсем "не айс".
2) По аналогии с нулём, усложнить единицу так, чтобы выражение 1*x отличалось от x. Биноминальным разложением "разнопорядковой" суммы легко показывается, что для каждого числа придётся вводить "историю" операций над ним. А уж если в исходном биноме степень сама по себе бесконечна, то...
3) Уничтожить отрицательные числа как класс. Можно попробовать задействовать "положительные" комплексные числа, с определением знака по углу в первой (ибо единственной) координатной четверти. После осознания того, что предыдущий пункт списка, вероятней всего, абсолютно бессмысленен, на перепроверку непротиворечивости этого меня не потянуло, так что Вы можете стать первопроходцем...

[Brukvalub]

Cosinus в сообщении #161233 писал(а):

Возможные выходы здесь, насколько я помню, следующие:

1) Отказаться от операции возведения в степень -- что совсем "не айс".
2) По аналогии с нулём, усложнить единицу так, чтобы выражение 1*x отличалось от x. Биноминальным разложением "разнопорядковой" суммы легко показывается, что для каждого числа придётся вводить "историю" операций над ним. А уж если в исходном биноме степень сама по себе бесконечна, то...
3) Уничтожить отрицательные числа как класс. Можно попробовать задействовать "положительные" комплексные числа, с определением знака по углу в первой (ибо единственной) координатной четверти. После осознания того, что предыдущий пункт списка, вероятней всего, абсолютно бессмысленен, на перепроверку непротиворечивости этого меня не потянуло, так что Вы можете стать первопроходцем...

4-й, самый лучший вывод - перестать придумывать внутренне противоречивую ерунду.

[Cosinus]

Brukvalub писал(а):

Cosinus в сообщении #161233 писал(а):

Возможные выходы здесь, насколько я помню, следующие:
1)...
2)...
3)...

4-й, самый лучший вывод - перестать придумывать внутренне противоречивую ерунду.

Brukvalub, какой ещё "самый лучший вывод"? Тем паче -- аж четвёртый?
Кроме того, никто (за малым, пренебрегаемым в контексте, исключением) внутренне противоречивую ерунду придумывать не желает. Лишь внутренне непротиворечивую! Так что, опять не в тему. Хотя, если Вы подразумеваете, что у Вас завалялся алгоритм, позволяющий по неполной исходной аксиоматике достроить оную до минимальной полной и внутренне непротиворечивой, или же мгновенно (точнее -- за адекватное с т.з. пользователя время при выполнении на среднем с т.з. современных ПК компьютере время) оценить невозможность такого "достроения" в силу внутренней противоречивости исходной аксиоматики, то -- я Вас прошу! -- выложите его -- он мне очень пригодится, ибо подобных подвопросных аксиоматик у меня десятки.

[bot]

Cosinus в сообщении #161254 писал(а):

Brukvalub, какой ещё "самый лучший вывод"? Тем паче -- аж четвёртый?

А чему удивляетесь? После трёх предложенных выходов, какой по счёту выход должен был предложить Brukvalub? По-моему тоже четвёртый получается и я к нему присоединяюсь.
Так что это очень даже в тему, а вот касательно последующего остального ... я бы сказал, что это ни в эту тему ни в какую-нибудь другую - чепуха бессвязная.

[Cosinus]

bot писал(а):

Cosinus в сообщении #161254 писал(а):

Brukvalub, какой ещё "самый лучший вывод"? Тем паче -- аж четвёртый?

А чему удивляетесь? После трёх предложенных выходов, какой по счёту выход должен был предложить Brukvalub? По-моему тоже четвёртый получается и я к нему присоединяюсь.

Ладно, предположим опечатку в слове "выход". Но я акцентирую внимание на том факте, что было априори утверждено, что, по крайней мере, моя попытка "усложнения нуля" была внутренне противоречива. Каким образом Brukvalub это так быстро оценил? Я действительно хочу увидеть эту фантастическую его выкладку.

Цитата:

Так что это очень даже в тему, а вот касательно последующего остального ... я бы сказал, что это ни в эту тему ни в какую-нибудь другую - чепуха бессвязная.

Если это относится к первому моему посту -- Вы повторили выкладку Brukvalub, что не может не радовать -- значит, предлагаемые мною выходы (2) и (3) действительно несуразны. Лично я до доказательста их логической самопротиворечивости не додумался, хотя страстно желал, ибо это, вероятно, закрыло бы для меня вопрос деления на ноль. Слёзно прошу его (доказательство) предоставить, хотя бы набросок.

Если ко второму -- я имею в виду, что раз Brukvalub между делом доказал логическую противоречивость того, над чем я бился целый год (в том числе, желая опровергнуть) -- возможно, у него есть какой-то Универсальный Алгоритм. Зная, что такового не существует в принципе, я просто хотел сподвигнуть его изложить найденное им противоречие.

P.S. Конечно, возможно, всё дело в том, что я не определил формально систему оперирования с "бесконечными числами", полагая механическое перенесение свойств с обычных чисел, -- а отстутствие явно заданной системы вполне можно счесть "ерундой". Правда, для данного конкретного случая, никак не внутренне противоречивой...

[Brukvalub]

Cosinus в сообщении #162137 писал(а):

Лично я до доказательста их логической самопротиворечивости не додумался, хотя страстно желал, ибо это, вероятно, закрыло бы для меня вопрос деления на ноль. Слёзно прошу его (доказательство) предоставить, хотя бы набросок.

".......
И Андрей закричал я покину причал если ты мне откроешь секрет и Спаситель ответил
Спокойно Андрей никакого секрета здесь нет
Видишь там на горе возвышается крест под ним десяток солдат повиси-ка на нем а когда надоест возвращайся назад гулять по воде гулять по воде вдвоем...."

[Someone]

Cosinus в сообщении #162137 писал(а):

P.S. Конечно, возможно, всё дело в том, что я не определил формально систему оперирования с "бесконечными числами", полагая механическое перенесение свойств с обычных чисел, -- а отстутствие явно заданной системы вполне можно счесть "ерундой". Правда, для данного конкретного случая, никак не внутренне противоречивой...

Может быть, Вы краем уха слышали о нестандартном анализе? Там есть бесконечно большие и бесконечно малые числа разного порядка, при этом сохраняются все основные свойства арифметических операций. Однако деление на ноль всё равно невозможно.

Вообще, мне непонятно это стремление делить на ноль. В конце концов, если очень хочется, определите деление на ноль так, как Вам хочется, и делите себе. Только будьте готовы у тому, что будут нарушаться обычные свойства операций.

Предположим, что на множестве $R$ заданы две бинарные операции, которые будем называть сложением (обозначаем $a+b$) и умножением (обозначаем $ab$). Об этих операциях предполагаем следующее:
1) $a+b=b+a$ (коммутативность сложения);
2) $(a+b)+c=a+(b+c)$ (ассоциативность сложения);
3) существует такой элемент $0\in R$, что $a+0=a$ для любого $a\in R$ ($0$ - нулевой элемент);
4) для каждого $a\in R$ существует такой $b\in R$, что $a+b=0$ (противоположный элемент);
5) $a(b+c)=ab+ac$ и $(a+b)c=ac+bc$ (дистрибутивность умножения относительно сложения; предполагается стандартное соглашение о порядке выполнения операций).

Множество $R$ с такими операциями называется кольцом.
Здесь последовательно доказываем ряд утверждений.

I. Нулевой элемент единственен.
Доказательство. Пусть $0'$ и $0''$ - два нулевых элемента. Тогда
$0'=0'+0''=0''+0'=0''$.\qed

II. Противоположный элемент единственен.
Доказательство. Пусть $b'$ и $b''$ - два противоположных элемента для $a$. Тогда
$b'=b'+0=b'+(a+b'')=(b'+a)+b''=(a+b')+b''=0+b''=b''+0=b''$.\qed

Поскольку элемент, противоположный заданному элементу $a\in R$, единственен, целесообразно ввести для него специальное обозначение: $-a$. Таким образом, $a+(-a)=0$. Поскольку в силу коммутативности $(-a)+a=a+(-a)=0$, то $-(-a)=a$.

III. Уравнение $a+x=b$ имеет решение, и это решение единственно.
Доказательство. Существование решения. Проверим, что $x=b+(-a)$ является решением. Подставляя его в уравнение, получим
$a+(b+(-a))=b$,
$a+((-a)+b)=b$,
$(a+(-a))+b=b$,
$0+b=b$,
$b+0=b$,
$b=b$ - верное равенство.
Единственность решения. Пусть $x_1$ и $x_2$ - два решения, то есть, $a+x_1=b$ и $a+x_2=b$. Тогда $a+x_1=a+x_2$. Прибавляя к обеим частям равенства $-a$ слева, получим
$(-a)+(a+x_1)=(-a)+(a+x_2)$,
$((-a)+a)+x_1=((-a)+a)+x_2$,
$(a+(-a))+x_1=(a+(-a))+x_2$,
$0+x_1=0+x_2$,
$x_1+0=x_2+0$,
$x_1=x_2$.\qed

Решение уравнения $a+x=b$ называется разностью элементов $b$ и $a$ и обозначается $b-a$. Как мы видели, $b-a=b+(-a)$. В частности, $a-a=a+(-a)=0$.

IV. Законы дистрибутивности выполняются и для разности: $a(b-c)=ab-ac$ и $(a-b)c=ac-bc$.
Доказательство. По определению разности, $c+(b-c)=b$. Умножая обе части равенства слева на $a$, получим
$a(c+(b-c))=ab$,
$ac+a(b-c)=ab$,
откуда, опять по определению разности, $a(b-c)=ab-ac$. Аналогично доказывается второе равенство.\qed

V. $0a=a0=0$для любого элемента $a\in R$.
Доказательство. Пусть $b\in R$. Тогда
$0a=(b-b)a=ba-ba=0$.
Аналогично доказывается, что $a0=0$.\qed

По аналогии с вычитанием определяется и деление. Если рассматривать произвольные кольца, для которых выполняются только перечисленные выше пять аксиом, можно определить только деление слева и деление справа как решение уравнений $ax=b$ и $ya=b$ при условии, что соответствующее решение существует и единственно (мы же хотим, чтобы операция деления - пусть их даже две - давала определённый результат).

Однако, если кольцо $R$ имеет больше одного элемента, то мы столкнёмся с тем, что уравнения $0x=b$ и $y0=b$ при $b\neq 0$ вообще не могут иметь решений, а при $b=0$ имеют более одного решения. Поэтому деление на ноль оказывается невозможным, если мы хотим, чтобы оно было однозначным.

[Brukvalub]

Судя по посту: http://dxdy.ru/topic17718.html#162183 , Cosinus есть клон тролля Captious, см.http://dxdy.ru/topic15123.html

[Cosinus]

Brukvalub писал(а):

Cosinus в сообщении #162137 писал(а):

Лично я до доказательста их логической самопротиворечивости не додумался, хотя страстно желал, ибо это, вероятно, закрыло бы для меня вопрос деления на ноль. Слёзно прошу его (доказательство) предоставить, хотя бы набросок.

".......
И Андрей закричал я покину причал если ты мне откроешь секрет и Спаситель ответил
Спокойно Андрей никакого секрета здесь нет
Видишь там на горе возвышается крест под ним десяток солдат повиси-ка на нем а когда надоест возвращайся назад гулять по воде гулять по воде вдвоем...."

Переводя с притчевого на нормальный, в контексте означенных мною "выходов": неизящное -- неправильно?

Someone писал(а):

Cosinus в сообщении #162137 писал(а):

P.S. Конечно, возможно, всё дело в том, что я не определил формально систему оперирования с "бесконечными числами", полагая механическое перенесение свойств с обычных чисел, -- а отстутствие явно заданной системы вполне можно счесть "ерундой". Правда, для данного конкретного случая, никак не внутренне противоречивой...

Может быть, Вы краем уха слышали о нестандартном анализе? Там есть бесконечно большие и бесконечно малые числа разного порядка, при этом сохраняются все основные свойства арифметических операций. Однако деление на ноль всё равно невозможно.

Только краем уха. Велосипедостроительство?

Someone писал(а):

Вообще, мне непонятно это стремление делить на ноль. В конце концов, если очень хочется, определите деление на ноль так, как Вам хочется, и делите себе. Только будьте готовы у тому, что будут нарушаться обычные свойства операций.

На мною построенном множестве отсутствует нулевой элемент. Кроме того, доказанным равенством -- единичный, похоже, тоже. Последнее ведёт к катастрофе -- необходимо либо срочно "сконвертировать" исходный группоид так, чтобы в нём не было отрицательных чисел, либо оперировать бесконечными списками. В общем-то, ИМХО, перебиваются все преимущества, которые можно было бы достичь неким единообразием каждого числа относительно операций (+, в первом случае, взятие обратного по сложению элемента -- тоже нарушает единообразность)... -_-

[arqady]

Cosinus, не понимаю Вашего интереса здесь именно к делению на ноль. При этом Вы по умолчанию выбираете бинарные, ну в худшем случае, унарные операции. Попробуйте определить, что такое

$$\frac{3}{2}$$

- нарная операция или

$$\sqrt2$$

- нарная. А то и числокэлиевонарную. Последние две, имхо, - что-то совершенно невероятное ( типа Вашего любимого деления на ноль ). Может, Вы как раз и определите. Удачи!