Опровержение теоремы Биркгофа Бурланковым

[Someone]

SergeyGubanov в сообщении #823004 писал(а):

Someone в сообщении #822921 писал(а):

Не может.

Был приведён конкретный примерчик:

SergeyGubanov в сообщении #818597 писал(а):

Someone в сообщении #818386 писал(а):

Конкретный примерчик приведите.

Бурланков Д. Е. Время, пространство, тяготение, 2006. - 420 с. ISBN 5-93972-465-5. Глава 12. Сферически-симметричный вакуум, раздел 2.4 Теорема Биркгофа, стр 287.

(Несколько страниц из книги)

Страница 284
Страница 285
Страница 286
Страница 287
Страница 288
Страница 289

Примерчик… Давайте разбираться. Собственно, про комплексные замены координат я могу только ещё раз повторить: поскольку координаты в ОТО являются действительными по определению, то никаких комплексных замен не может быть, даже если из-за этого весь мир провалится в тартарары. При диагонализации квадратичной формы комплексные числа тоже не возникают: её всегда можно диагонализировать, пользуясь действительными преобразованиями координат. Другое дело, что при этом диагональные коэффициенты могут получиться любого знака (однако не надо забывать, что количество положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов не зависит от способа приведения).

На представленных страницах есть более занимательный момент. Эти страницы взяты из следующей книги: Д.Е.Бурланков. Время, пространство, тяготение. Москва, Ижевск, 2006.

Д.Е.Бурланков рассматривает метрику

$$ds^2=dt^2-m^2(x,t)dx^2-R^2(x,t)(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\varphi^2).\eqno(12.1)$$

Для неё выписаны компоненты тензора Эйнштейна:

$$G^0_0=\frac {\dot R^2}{R^2}+2\frac{\dot m}m+\frac 1{R^2}-2\frac{R^{\prime\prime}}{m^2R}-\left(\frac{R^{\prime}}{mR}\right)^2+2\frac{m^{\prime}}{m^2}\frac{R^{\prime}}{mR},\eqno(12.2)$$

$$G^0_1=m^2G^1_0=\frac{2\dot mR^{\prime}-m\dot R^{\prime}}{mR},\eqno(12.3)$$

$$G^1_1=\frac{2\ddot R}R+\frac{\dot R^2}{R^2}+\frac 1{R^2}-\frac{R^{\prime}^2}{m^2R^2},\eqno(12.4)$$

Для краткости аргументы функций не пишем; производные по $t$ обозначаем точками над буквой ($\dot R$, $\ddot R$, $\dddot R$), производные по $x$ — штрихами ($R^{\prime}$, $R^{\prime\prime}$, $R^{\prime\prime\prime}$). В уравнении (12.3) опечатка — пропущена "двойка" во втором слагаемом в числителе дроби:

$$G^0_1=m^2G^1_0=\frac{2\dot mR^{\prime}-2m\dot R^{\prime}}{mR}.$$

Для полноты выпишем ещё оставшиеся две нетривиальные компоненты, хотя, как пишет Бурланков, для решения они не нужны:

$$G^2_2=G^3_3=\frac{\dot m\dot R}{mR}+\frac{\ddot m}m+\frac{\ddot R}R+\frac{m^{\prime}R^{\prime}}{m^3R}-\frac{R^{\prime\prime}}{m^2R}.\eqno(1)$$

В пункте 2.1 главы 12 Бурланков изучает решения, не зависящие от переменной $x$, которые он называет однородными. Он находит некоторое решение, с помощью которого конструирует (путём склеивания с решениями для однородной пыли) некоторое решение, которое не является чисто вакуумным, и о котором Бурланков пишет:

Бурланков писал(а):

Решение всё время остаётся сферически симметричным, а вакуумная часть претерпевает динамику, опровергая теорему Биркгофа.

Законность склейки я не проверял (это тоже интересный вопрос), поскольку, насколько я знаю, теорема Биркгофа не утверждает, что вакуумная часть обязательно должна быть статической. Это утверждение относится только к внешнему сферически симметричному решению, а внутреннее решение чёрной или белой дыры не является статическим. Поэтому нужно проверить, какое вакуумное решение получилось у Бурланкова.

Ч.Мизнер, К.Торн, Дж.Уилер. Гравитация. Том 3. "Мир", Москва, 1977.
В § 32.2 Теорема Биркгофа формулируется так: Пусть геометрия данной области пространства-времени 1) является сферически симметричной и 2) представляет собой решение эйнштейновских уравнений поля в вакууме. Тогда такая геометрия с необходимостью является частью геометрии Шварцшильда.

Будем рассматривать решения выписанных выше уравнений, в которых функция $R(x,t)$ не зависит от $x$ (вообще говоря, (12.2), (12.3), (12.4) и (1) — не уравнения; поскольку мы ищем вакуумное решение, мы должны приравнять указанные выражения к нулю). Из некоторых таинственных соображений я обозначу $A(x,t)=m^2(x,t)$ и напишу множитель $c^2$ перед $dt^2$. Первое не обязательно, а второе просто прихоть. Метрика будет иметь следующий вид:

$$ds^2=c^2dt^2-A(x,t)dx^2-R^2(t)(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\varphi^2).\eqno(2)$$

Уравнения получаются такие:

$$\frac 1{R^2}+\frac{\dot A\dot R}{c^2AR}+\frac{\dot R^2}{c^2R^2}=0,\eqno(3)$$

$$\frac 1{R^2}+\frac{\dot R^2}{c^2R^2}+\frac{2\ddot R}{c^2R}=0,\eqno(4)$$

$$-\frac{\dot A^2}{4c^2A^2}+\frac{\dot a\dot R}{2c^2AR}+\frac{\ddot A}{2c^2A}+\frac{\ddot R}{c^2R}=0.\eqno(5)$$

Предполагаем, что выполняются следующие условия:

$$A(x,t)>0,\qquad R(t)>0.\eqno(6)$$

И из уравнения (3), и из уравнения (4) следует, что

$$\dot R(t)\neq 0.\eqno(7)$$

Из уравнения (3) вычитаем уравнение (4) и разделяем переменные (деление на $\dot R$ законно в силу неравенства (7)):

$$\frac{\dot A\dot R}{c^2AR}-\frac{2\ddot R}{c^2R}=0\Longrightarrow\frac{\dot A}A=2\frac{\ddot R}{\dot R}\Longrightarrow\int\frac{dA}A=2\int\frac{d\dot R}{\dot R}\Longrightarrow\ln\lvert A\rvert=2\ln\lvert\dot R\rvert+\ln\lvert f(x)\rvert,$$

откуда получаем $A=f(x)\dot R^2$, где, в силу условий (6) и (7), "постоянная интегрирования" $f(x)$ удовлетворяет неравенству

$$f(x)>0.\eqno(8)$$

Таким образом, метрика имеет вид $ds^2=c^2dt^2-\dot R^2(t)f(x)dx^2-R^2(t)(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\varphi^2)$. Если определить новую координату $x'=\int\sqrt{f(x)}dx$, то получим метрику

$$ds^2=c^2dt^2-\dot R^2(t)dx'^2-R^2(t)(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\varphi^2),\eqno(9)$$

где

$$A=\dot R^2(t).\eqno(10)$$

Умножив уравнение (4) на $c^2R^2$, получим

$$2R\ddot R+\dot R^2+c^2=0.\eqno(11)$$

Из этого уравнения и неравенства (6) получаем

$$\ddot R<0.\eqno(12)$$

Дифференцируя (10) два раза, получим $\dot A=2\dot R\ddot R$ и $\ddot A=2\ddot R^2+2\dot R\dddot R$; теперь подставляем выражения для $A$, $\dot A$ и $\ddot A$ в ещё не использованное уравнение (5):

$$-\frac{4\dot R^2\ddot R^2}{4c^2\dot R^4}+\frac{2\dot R\ddot R\dot R}{2c^2\dot R^2R}+\frac{2(\ddot R^2+\dot R\dddot R)}{2c^2\dot R^2}+\frac{\ddot R}{c^2R}=0\Longrightarrow-\frac{\ddot R^2}{\dot R^2}+\frac{\ddot R}R+\frac{\ddot R^2}{\dot R^2}+\frac{\dddot R}{\dot R}+\frac{\ddot R}R=0,$$

откуда (после умножения на $R\dot R$) получаем уравнение

$$R\dddot R+2\dot R\ddot R=0.\eqno(13)$$

Разделяя в этом уравнении переменные (деление на $R\ddot R$ законно вследствие неравенств (6) и (12)) и интегрируя, получим

$$\frac{\dddot R}{\ddot R}=-2\frac{\dot R}R\Longrightarrow\int\frac{d\ddot R}{\ddot R}=-2\int\frac{dR}R\Longrightarrow\ln\lvert\ddot R\rvert=-2\ln\lvert R\rvert+\ln\lvert C_1\rvert,$$

откуда

$$\ddot R=-\frac{C_1}{R^2},\eqno(14)$$

где знак "минус" взят, естественно, из-за неравенства (12). Поэтому

$$C_1>0.\eqno(15)$$

Подставив выражение (14) в уравнение (11), с учётом равенства (10), найдём

$$A=\dot R^2=\frac{2C_1}R-c^2,\eqno(16)$$

откуда следует, что решение может существовать только при

$$0<R<\frac{2C_1}{c^2}.\eqno(17)$$

Для $R(t)$ получаем уравнение

$$\dot R=\pm\sqrt{\frac{2C_1}R-c^2},\eqno(18)$$

которое при желании можно проинтегрировать.

Подставим выражение (16) в метрику (9):

$$ds^2=c^2dt^2-\left(\frac{2C_1}{R(t)}-c^2\right)dx'^2-R^2(t)(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\varphi^2).\eqno(19)$$

Имеет ли эта метрика какое-нибудь отношение к решению Шварцшильда? Сейчас увидим.

Прежде всего, обозначим

$$r_g=\frac{2C_1}{c^2}\eqno(20)$$

и вместо $t$ введём новую координату

$$r=R(t).\eqno(21)$$

Тогда из (16) получим

$$A=c^2\left(\frac{r_g}r-1\right),\qquad\dot r=\pm c\sqrt{\frac{r_g}r-1}.\eqno(22)$$

Далее, используя формулу дифференцирования обратной функции, найдём

$$dt=\frac{dt}{dr}dr=\frac{dr}{\dot r}=\frac{dr}{\pm c\sqrt{\frac{r_g}r-1}};$$

в этих обозначениях метрика (19) имеет вид

$$ds^2=c^2\frac{dr^2}{c^2\left(\frac{r_g}r-1\right)}-c^2\left(\frac{r_g}r-1\right)dx'^2-r^2(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\varphi^2);$$

поменяем теперь букву $x'$ на $\tau$ и вынесем знак минус из скобки $\left(\frac{r_g}r-1\right)=-\left(1-\frac{r_g}r\right)$:

$$ds^2=\left(1-\frac{r_g}r\right)c^2d\tau^2-\frac{dr^2}{\left(1-\frac{r_g}r\right)}-r^2(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\varphi^2).\eqno(23)$$

С учётом неравенства (17), которое в новых обозначениях имеет вид $0<r<r_g$, метрика (23) описывает внутренность белой или чёрной дыры в зависимости от знака "$\pm$" в формуле (22) (или (18)), то есть, является частью геометрии Шварцшильда, как и утверждает теорема Биркгофа.

P.S. Интегрирование уравнения (18) с использованием обозначения (20) даёт

$$c(t-t_0)=\mp\left(r_g\arctg\sqrt{\frac{r_g}R-1}+R\sqrt{\frac{r_g}R-1}\right).\eqno(24)$$

[SergeyGubanov]

В книге Бурланков приводит доказательство теоремы Биркгофа, Вы почему-то назваете свою ветку "Опровержение теоремы Биркгофа Бурланковым". Вы ничего не пререпутали?

Как на счёт конкретного примерчика (стр. 289) из-за которого сыр-бор? Почему о нём ни слова?

[Someone]

SergeyGubanov в сообщении #824824 писал(а):

В книге Бурланков приводит доказательство теоремы Биркгофа, Вы почему-то назваете свою ветку "Опровержение теоремы Биркгофа Бурланковым". Вы ничего не пререпутали?

Я ничего не перепутал. Вы внимательно читали представленные Вами же страницы? Какая последняя фраза в параграфе 2.1 на странице 286?

SergeyGubanov в сообщении #824824 писал(а):

Как на счёт конкретного примерчика (стр. 289) из-за которого сыр-бор? Почему о нём ни слова?

В-первых, кое-что я об этом сказал. Во-вторых, я не нанимался искать за Вас всякие преобразования координат, у меня и других дел хватает. ЛЛ2, § 103 Вам в помощь. Там рассматривается та же метрика, что и у Бурланкова, выписаны некоторые преобразования координат, причём, комплексные замены нигде не потребовались. Покрутите, наверняка по аналогии найдёте. Я примерно представляю ваш уровень, Вы должны справиться. Вот и покажете нам, как обойтись без комплексных преобразований.

[SergeyGubanov]

Someone в сообщении #824838 писал(а):

Я ничего не перепутал. Вы внимательно читали представленные Вами же страницы? Какая последняя фраза в параграфе 2.1 на странице 286?

Доказательству теоремы Бирхгофа посвящён следующий раздел 2.4 (стр. 287 - 290). Так что, вообще-то, Вы чего-то перепутали. Ссылки на предыдущие страницы я представил только лишь затем, что в разделе 2.4 используются обозначения введённые в предыдущих разделах.

Someone в сообщении #824838 писал(а):

я не нанимался искать за Вас всякие преобразования координат

Вы просили конкретный примерчик. Конкретный примерчик был Вам показан. Истерику теперь закатывать не красиво.

[Someone]

Дык, какая последняя фраза в параграфе 2.1 (стр. 286)?

SergeyGubanov в сообщении #824851 писал(а):

Доказательству теоремы Бирхгофа посвящён следующий раздел 2.4 (стр. 287 - 290).

То есть, Бурланков сначала опровергает теорему, а потом её доказывает? Да ещё комплексными преобразованиями, которых не бывает по определению? Ну-ну.

[schekn]

Someone в сообщении #824741 писал(а):

Ч.Мизнер, К.Торн, Дж.Уилер. Гравитация. Том 3. "Мир", Москва, 1977.
В § 32.2 Теорема Биркгофа формулируется так: Пусть геометрия данной области пространства-времени 1) является сферически симметричной и 2) представляет собой решение эйнштейновских уравнений поля в вакууме. Тогда такая геометрия с необходимостью является частью геометрии Шварцшильда.

Я посмотрел определение теоремы Биркгофа по Толмену (Относительность, Термодинамика и Космология, стр. 260). Там указано важное свойство, которое составляет суть теоремы: если вещество совершает сферически-симметричные движения (или "покоится"), то вне вещества нет гравитационных волн, которые переносят реальную энергию (нет потери массы за счет волн). А метрику вне вещества можно представить в виде статического решения Шварцшильда. Определения вообще говоря, отличаются. Кстати, слово "единственность" в определении теоремы нет, хотя его часто используют.

Значит , если Бурланков отрицает теорему, то он должен показать, что такие гравитационные волны возможны.

Комплексные преобразования действительно не нужны, хотя в какой-то книге Хоукинга я их встречал, но совершенно ни о чем.

[SergeyGubanov]

Someone в сообщении #824960 писал(а):

То есть, Бурланков сначала опровергает теорему, а потом её доказывает? Да ещё комплексными преобразованиями, которых не бывает по определению? Ну-ну.

Чего ну-ну? Слабо оказалось разобраться?

Глава 12 называется Сферически-симметричный вакуум. Начинается глава с наивной физической интерпретации теоремы Биркгофа [70]: "любое сферически симметричное поле в вакууме является статическим" [71]. Эта наивная интерпретация опровергается в разделе 2.1. Далее в разделе 2.4 рассказывается что же представляет собой теорема Биркгофа на самом деле, даётся её доказательство, и объясняется какие из этой чисто математической теоремы следуют физические выводы.

[70] G. D. Birkhoff, R. Langer. Relativity and Modern Physics Cambridge: Harvard Univ Press, 1923.
[71] Дж. Л. Синг. Общая теория относительности. - М.: ИЛ, 1963.

-- 10.02.2014, 22:01 --

schekn в сообщении #825025 писал(а):

Значит , если Бурланков отрицает теорему, то он должен показать, что такие гравитационные волны возможны.

Что значит "если"? Прочитайте главу 12 от начала до раздела 2.4 включительно. Это займёт пятнадцать минут. Не надо будет строить гипотез по поводу того чего там было, а чего там не было.

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #825059 писал(а):

Это займёт пятнадцать минут. Не надо будет строить гипотез по поводу того чего там было, а чего там не было.

Посмотрел. Там про волны ничего не сказано. Значит дело в нюансах определения теоремы Биркгофа. А вот насчет сшивки я бы Вас попытал может в другой открытой Вами темы.

[Someone]

schekn в сообщении #825194 писал(а):

Там про волны ничего не сказано. Значит дело в нюансах определения теоремы Биркгофа.

Со времён Шварцшильда и Биркгофа прошло уже более 90 лет, и понимание вопроса сильно изменилось. В те давние времена речь шла о гравитационном поле вне массивного сферически симметричного тела — (не вращающейся) планеты или звезды. В такой постановке поле вне тела является статическим, даже если это тело меняет свои размеры, оставаясь сферически симметричным. Позже, однако, поняли, что интересно убрать тело, а метрику продолжить внутрь. Оказалось, что внутри горизонта сферически симметричное поле не является статическим. Я цитировал современную формулировку теоремы Баркгофа. Обратите внимание, что книга, на которую я ссылаюсь, издана в 1977 году. Что касается Бурланкова, то он издал свою книгу в 2006 году. Поскольку он претендует на то, чтобы быть знатоком ОТО и автором конкурирующей теории гравитации, он просто обязан знать современную формулировку, тем более, что цитируемая мной книга имеется у него в списке литературы под номером 23. Будем исходить из того, что Бурланков эту формулировку во время написания своей книги знал.

SergeyGubanov в сообщении #825059 писал(а):

Глава 12 называется Сферически-симметричный вакуум. Начинается глава с наивной физической интерпретации теоремы Биркгофа [70]: "любое сферически симметричное поле в вакууме является статическим" [71].

Врёте. Глава начинается со слов

Бурланков на стр. 284 писал(а):

Проблема динамики сферически-симметричного пространства ярко демонстрирует различие физических подходов ОТО и ТГВ. В ОТО царствует теорема Биркгофа, утверждающая, что вакуумное сферически-симметричное решение обязательно является статическим и представляется метрикой Шварцшильда.

Поэтому Бурланков лжёт, а Вы лжёте вслед за ним, стараясь его выгородить. Ссылаться на древнюю литературу не надо, она устарела и представляет, в основном, исторический интерес. А уж если ссылаться, то точно формулировать, о чём идёт речь.

В данном случае Бурланков поступает как типичный альтернативщик: он формулирует заведомо неверное утверждение, приписывая его ОТО, и затем опровергает это утверждение.

SergeyGubanov в сообщении #824851 писал(а):

Доказательству теоремы Бирхгофа посвящён следующий раздел 2.4 (стр. 287 - 290). Так что, вообще-то, Вы чего-то перепутали.

Доказательство завершается так:

Бурланков на стр. 289 писал(а):

Поэтому формально математически теорема Биркгофа всегда выполняется.
Однако мы уже рассмотрели нетривиальное однородное решение, в котором переменная $R$ одинакова во всём пространстве и поэтому не может служить координатой в пространстве.

Что-то противоречивое: сначала объявляется, что теорема Биркгофа "всегда выполняется", пусть даже и "формально математически"; и тут же "однако": указывается контрпример. Это как? Доказана теорема или опровергнута?
Дальше ещё интереснее:

Бурланков на стр. 289 писал(а):

Но функция

$$u=\frac{\sqrt{2M/R-1+f^2}}{1-2M/R}$$

при $R>R_0$ принимает чисто мнимые значения. Поэтому теорема Биркгофа верна только при допущении комплексных преобразований координат и времени.

(Здесь опечатка: с учётом определения (12.14), должно быть $R>2R_0$.) Это, видимо, тот самый

SergeyGubanov в сообщении #824851 писал(а):

Конкретный примерчик был Вам показан.

Как я постоянно напоминаю, никаких комплексных преобразований координат в ОТО нет по тривиальной причине: координаты в ОТО являются действительными по определению. Получается, что теорема Биркгофа всё-таки неверна? Даже "формально математически". Несмотря на доказательство самого Бурланкова.

Что касается "конкретного примерчика", то, конечно, стоит посмотреть на него чуть внимательнее. В частности, обратим внимание на формулу (12.11), где выписана метрика. В этой метрике явно присутствует выражение $\sqrt{\frac{2M}R-1+f^2}$. Поскольку компоненты метрики, опять же по определению, должны быть действительными, должно выполняться неравенство $\frac{2M}R-1+f^2\geqslant 0$, поэтому никаких "чисто мнимых значений" не будет: в той области, в которой метрика (12.11) имеет смысл, то есть, при $R\leqslant 2R_0$, получаются действительные значения, а при $R>2R_0$ решение не существует, и "чисто мнимое значение" подставлять некуда.
Ах, да, я же забыл. После подстановки, имеющей смысл только при $R\leqslant 2R_0$, внезапно при $R>2R_0$ также получается правильное выражение (12.13) для метрики. Откуда же оно берётся? Неужели всё-таки из комплексной замены координат в не существующем выражении?

SergeyGubanov в сообщении #825059 писал(а):

Далее в разделе 2.4 рассказывается что же представляет собой теорема Биркгофа на самом деле, даётся её доказательство, и объясняется какие из этой чисто математической теоремы следуют физические выводы.

Ну да, там написано:

Бурланков на стр. 290 писал(а):

Резюмируя, можно сказать, что теорема Биркгофа, будучи математически верной в ОТО для части пространства, где радиус монотонно зависит от координаты $x$, физического значения не имеет. Более того, мы можем сформулировать утверждение, обратное теореме Биркгофа: все сферически симметричные пространства динамичны (кроме пространства Минковского). В этом легко убедиться экспериментально: отпущенный в поле Земли шарик (реализующий локальную инерциальную систему) начинает двигаться.

А что, в ОТО этот шарик двигаться не начнёт? И какое это имеет отношение к статичности гравитационного поля?

А по поводу физического смысла давайте спросим физиков: имеет ли физический смысл утверждение, что сферически симметричное гравитационное поле в вакууме имеет вполне определённую структуру (характеризующуюся одним числовым параметром $r_g$)?

[Munin]

Оно экспериментально проверяется, значит, имеет.

[schekn]

Спасибо за пояснения. Но не могли бы разъяснить формулировку теоремы по МТУ? Мне как-то по Толмену было понятнее.

Someone в сообщении #824741 писал(а):

и 2) представляет собой решение эйнштейновских уравнений поля в вакууме. Тогда такая геометрия с необходимостью является частью геометрии Шварцшильда.

Что значит частью геометрии Шварцшильда? Это значит, что любое решение уравнений Г-Э вне вещества сферически симметричного тела можно представить в виде стандартного Шварцшильда? Что значит частью?

То, как формулирует теорему Бурланков встречается почти в каждом втором учебнике.

Someone в сообщении #825194 писал(а):

Оказалось, что внутри горизонта сферически симметричное поле не является статическим

Означает ли это , что внутри горизонта могут возникать гравитационные волны?

[SergeyGubanov]

Someone, вам оказалось слабо с первого раза разобраться о чём в книге идёт речь и вы второпях создали тему с лживым названием "Опровержение теоремы Биркгофа Бурланковым". Вы - лжец! Буквально. Это название не имеет отношения к действительности. Теперь-то вы наконец-то увидели, что формулировка-то была не та, что предполагали вы когда создавали эту ветку форума. И теперь, вместо того чтобы признать свою оплошность, вы только усугубляете своё и так незавидное положение.

Что касается "конкретного примерчика", то возражений по существу от вас как не было так и нет. Приведение формы (I) $A \, (dx^0)^2 - B \, (dx^0) (dx^1) - C \, (dx^1)^2$ к наперёд заданной форме (II) $D \, dt^2 - E \, dr^2$ с помощью преобразования $x^0 = F (t, r)$, $x^1 = G (t, r)$ содержит в формулах квадратные корни. И в некоторой области действия (I) некоторое подкоренное выражение, вообще говоря, может быть отрицательным. Это железобетонный математический факт, спорить против которого доблестью не является.

[Munin]

Оказывается, SergeyGubanov диагонализовать квадратичные формы не умеет...

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #827586 писал(а):

содержит в формулах квадратные корни

$dt={\eta}(Adx^0-dr(B/2))$

$d{x^0}=dt/({\eta}A)+(B/2A)dr$

${\eta} $- интегрирующий множитель, подбирается, чтобы $d{x^0}$ было полным дифференциалом.

$\partial{x^0}/\partial{t}=1/({\eta}A) ,\quad \partial{x^0}/\partial{r}=B/2A$

$D=1/(\eta^2A), E=(C+B^2/(4A))$

Квадратных корней нет, но важно , чтобы $A$ не было равно нулю ни в одной точке.

[SergeyGubanov]

schekn в сообщении #827603 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #827586 писал(а):

содержит в формулах квадратные корни

Квадратных корней нет

В общем случае квадратные корни есть.

$$ dx^0 = f_1 dt + f_2 dr, \quad dx^1 = f_3 dt + f_4 dr $$

$$ g_{00} (dx^0)^2 - 2 g_{01} dx^0 dx^1 - g_{11} (dx^1)^2 = g'_{00} dt^2 - g'_{11} dr^2 $$

Уравнения:

$$ f_1^2 g_{00} - g'_{00} - 2 f_1 f_3 g_{01} - f_3^2 g_{11} = 0 $$

$$ 2 f_1 f_2 g_{00} - 2 f_2 f_3 g_{01} - 2 f_1 f_4 g_{01} - 2 f_3 f_4 g_{11} = 0 $$

$$ f_2^2 g_{00} - 2 f_2 f_4 g_{01} - f_4^2 g_{11} + g'_{11} = 0 $$

Здесь $g_{00}$, $g_{01}$, $g_{11}$, $g'_{00}$, $g'_{11}$ - известные, а $f_1$, $f_2$, $f_3$, $f_4$ - неизвестные. Относительно неизвестных это система квадратных уравнений - в решении будут квадратные корни.