2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Выводимы ли в ZF аксиомы Пеано ?
Сообщение30.12.2013, 11:07 


08/03/11
273
Выводимы ли в ZF аксиомы Пеано ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выводимы ли в ZF аксиомы Пеано ?
Сообщение30.12.2013, 13:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Да (если зафиксировать какое-нибудь определение множества натуральных чисел)

 Профиль  
                  
 
 Re: Выводимы ли в ZF аксиомы Пеано ?
Сообщение30.12.2013, 14:28 


08/03/11
273
Xaositect -

В какой литературе это есть ? Какие аксиомы ZF(C) необходимы для этого, нужна ли аксиома индукции ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выводимы ли в ZF аксиомы Пеано ?
Сообщение30.12.2013, 14:49 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
В ZF нет аксиомы индукции.

-- Пн дек 30, 2013 18:00:53 --

Аксиома бесконечности ZF(C) вводит множество $\omega$, которое содержит $\varnothing$, и для каждого $a\in\omega$, $a\cup\{a\}\in\omega$.

Чтобы выразить аксиомы Пеано в теории множеств, нам нужно выразить сначала константу 0 и одноместный функциональный символ $S$, ну или как он может обозначаться у вас.

Если выбрать за множество натуральных чисел $\omega$, то 0 переводят как $\varnothing$, а $S(t)$ переводят как $t\cup\{t\}$.

Аксиома $\forall a\mathbin. S(a)\ne0$, например, переводится таким образом как $\forall a\mathbin. a\in\omega \to a\cup\{a\}\ne\varnothing$. Выводя эту формулу в ZF, вы сами без труда определите, какие аксиомы для этого вывода нужны. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Выводимы ли в ZF аксиомы Пеано ?
Сообщение30.12.2013, 15:01 


08/03/11
273
В ZF(C) ,конечно, нет аксиомы индукции. Я ее привел в вопросе из-за того , что она вполне выразима только в логике
второго порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выводимы ли в ZF аксиомы Пеано ?
Сообщение30.12.2013, 15:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
alex_dorin в сообщении #807938 писал(а):
В какой литературе это есть ? Какие аксиомы ZF(C) необходимы для этого, нужна ли аксиома индукции ?
Литературу не припомню. Можете посмотреть http://us.metamath.org/mpegif/mmtheorems42.html#mm4133s и http://us.metamath.org/mpegif/mmtheorems56.html#mm5555s

-- Пн дек 30, 2013 16:12:48 --

alex_dorin в сообщении #807945 писал(а):
В ZF(C) ,конечно, нет аксиомы индукции. Я ее привел в вопросе из-за того , что она вполне выразима только в логике второго порядка.
В аксиома индукции подмножества будут пониматься в смысле ZFC. Но можно доказать и схему аксиом индукции как метатеорему: http://us.metamath.org/mpegif/findes.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Выводимы ли в ZF аксиомы Пеано ? исправлено
Сообщение30.12.2013, 15:20 


08/03/11
273
Очень не обычное изложение - много свободных переменных.
Я задал этот вопрос из-за того, что ни один пруверов за приемлемое время не смог доказать формулу
$(a + b) \cdot c = a \cdot c  + b \cdot c$

 Профиль  
                  
 
 Re: Выводимы ли в ZF аксиомы Пеано ?
Сообщение30.12.2013, 15:51 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
alex_dorin в сообщении #807945 писал(а):
Я ее привел в вопросе из-за того , что она вполне выразима только в логике второго порядка.
Схема аксиом индукции вполне выразима и в логике первого порядка. Ну и что что их бесконечное число. По идее, можно показать, что они все выводятся в теории множеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выводимы ли в ZF аксиомы Пеано ?
Сообщение30.12.2013, 16:08 


08/03/11
273
Для представлении в ZF натуральніх чисел я принял -
натуральное число - конечное множество
арифметическая сумма 2- х натуральных чисел -- объединение 2-х непересекающихся множеств
арифметическое произведение 2-х натуральных чисел -- декартово произведение 2-х множеств
равенство 2-х натуральных чисел -- равномощнсть 2-х множеств

 Профиль  
                  
 
 Re: Выводимы ли в ZF аксиомы Пеано ?
Сообщение30.12.2013, 16:48 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Боюсь, это не очень удобные «определения» для того чтобы доказать дистрибутивность.

Как вы перевели их в ZF?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выводимы ли в ZF аксиомы Пеано ?
Сообщение30.12.2013, 17:00 


08/03/11
273
эти формулы в ZF длинны и меня тут заставляют использовать латекс, я за это тут не берусь

 Профиль  
                  
 
 Re: Выводимы ли в ZF аксиомы Пеано ?
Сообщение30.12.2013, 17:13 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
alex_dorin
$S(x)=x\cup\{x\},\;0=\varnothing$

\begin{array}{l}1=S(0)=0\cup\{0\}=\{0\}\\
2=S(1)=1\cup\{1\}=\{0\}\cup\{1\}=\{0,1\}\\
3=S(2)=2\cup\{2\}=\{0,1\}\cup\{2\}=\{0,1,2\}\end{array}
ну и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выводимы ли в ZF аксиомы Пеано ?
Сообщение30.12.2013, 17:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
alex_dorin в сообщении #807969 писал(а):
равенство 2-х натуральных чисел -- равномощнсть 2-х множеств
Тут может быть проблема для прувера, доказательство равномощности - это доказательство существования. Пруверу придется как-то строить биекцию.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение30.12.2013, 20:09 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

alex_dorin
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение31.12.2013, 10:19 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Вернул. Наведите мышкой на формулу и увидите её код. Тег math почти всегда ставить не нужно, ставьте доллары - и шрифт приятнее.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group