Выводимы ли в ZF аксиомы Пеано ?

[mustitz]

alex_dorin в сообщении #807938 писал(а):

Xaositect -

В какой литературе это есть ? Какие аксиомы ZF(C) необходимы для этого, нужна ли аксиома индукции ?

Бурбаки, Теория множеств. Принцип индукции доказывается там (глава III, параграф 4, раздел 3 Принцип индукции). Там доказывается:


Пусть $R\{n\}$---соотношение в теории $\mathfrak T$ (для которой $n$ не является константой). Предположим, что соотношение

$$ R\{0\} \;\hbox{и}\; (\forall n) ((n\hbox{---целое число и }R\{n\})\Rightarrow R\{n+1\}) $$

является теоремой теории $\mathfrak T$. При этих условиях соотношение

$$ (\forall n) ((n\hbox{---целое число})\Rightarrow R\{n\}) $$

есть теорема теории $\mathfrak T$.

[alex_dorin]

А. Мостовский в книге "Конструктивные множества и их применения" пишет о схеме аксиом для выразимости акcиомы индукции для арифметики и о выразимости более слабой аксиомы в NBG. Как для меня, все эти соображения о схемах аксиом - это фактически признание факта необходимости использования логики второго порядка. Эти все научные труды
с использованием схем аксиом были написаны давно, когда о логике 2-го порядка речи не было. Я это оцениваю как атавизм.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Почему тогда останавливаться на втором порядке? Давайте использовать логику 68-го порядка.

[Someone]

Вообще-то, определение натурального ряда как наименьшего индуктивного множества в ZF автоматически означает, что аксиомы индукции на этом множестве выполняются.

[alex_dorin]

Возможно определение натурального ряда как наименьшего индуктивного множества - это больше, чем нужно для аксиоматизации арифметики ?

[Someone]

Разумеется, больше. У арифметики Пеано первого порядка есть модели, которые гораздо больше, чем наименьшее индуктивное множество.