Кривая Безье, найти опорные точки

[CraniumEugene]

Есть определенное количество точек на плоскости (пусть будет 10), по которым задана какая-то кривая. При этом производная в любой т. данной кривой не меняет знак. Необходимо вычислить опорные точки для кривой Безье 3-го порядка, которая аппроксимирует данную кривую. Как это сделать?
Благодарю за помошь.

[_Ivana]

Кривая Безье у вас какого порядка? Последовательность кубических, к примеру, или одна на всю исходную кривую?

UPD подожду, когда вы до конца исправите ваше сообщение, а то мои вопросы после ваших исправлений выглядят странно.

[profrotter]

Пока я тут мимо пробегаю оставлю ссылку на сообщение #416434. Возможно там есть что-то полезное. В любом случае хорошо бы сначала определиться что значит "аппроксимирует данную кривую". Каков критерий качества аппроксимации?

[CraniumEugene]

Кривая 3-го порядка, т.е. задача сводится к определению точек Р1 и Р2, т. Р0 - начало кривой => известно, т.P3 - конец кривой=> тоже известна.

[_Ivana]

Что вы имеете в виду под

CraniumEugene в сообщении #794692 писал(а):

производная в любой т. данной кривой не меняет знак

Производная чего? Может вы имели в виду, что кривая гладкая, без изломов? И ваша аппроксимация также должна быть гладкой на всем протяжении кривой? Ну и конечно вопрос от profrotter.

[CraniumEugene]

profrotter в сообщении #794698 писал(а):

Пока я тут мимо пробегаю оставлю ссылку на сообщение #416434. Возможно там есть что-то полезное.

Мне пока не понятна эта тема. Как я понимаю: сплайн может состоять из множества кривых Безье, т.е. по исходным точкам я смогу найти сплайны, и для каждого сплайна вычислить опорные точки криой безье, т.е. получается что я буду иметь отдельные опорные точки для каждого участка [$x_{i-1}, x_i$] . А вот как найти всего одну $P_{1}$ и одну $P_{2} $ для всего участка?

Или я что-то недопонимаю.
да, кривая без изломов

Переформулирую: есть 10 точек на плоскости, на всем промежутке функция либо возрастающая либо убывающая (не имеет экстремумов, т.е $x_0<x_1<...<x_9$ И $ y_0<y_1<...<y_9$) , необходимо заменить запись этих 10 точек через которые проходит прямая, опорными точками кривой Безье 3-го порядка. Так должно быть яснее, что я хочу осуществить.

Имея ур-е кривой Безье:

$[x,y] = (1-t)^3 * P_0 +3*t*(1-t)^2*P_1 + 3*t^2 * (1-t)*P_2 + t^3*P_3; t \in {[0,1]} $

Возьмем точку $P_0$ = (${x_0,y_0}$) и $P_3$ = (${x_9,y_9}$), необходимо определить $ P_{1} $и $ P_{2} $,


Наверное мне нужно построить 1 кубический сплайн, где взять $X_i = x_9 , X_{i-1} = x_0$, а потом перейти от коэффициентов уравнения сплайна к опорным точкам Безье. можно ли так? как сделать лучше?

[PSP]

А можно ли для n точек найти такую кривую,которая бы проходила через эти точки так,что :
1.производная этой кривой в этих точках была одна и та же = k
2..производная асимптоты к этой кривой была такой же = k
3.и для этой кривой было бы известно диф.уравнение,решением которого она является.
Можно ли решить такую задачу ?

[profrotter]

CraniumEugene в сообщении #794726 писал(а):

Как я понимаю: сплайн

Вы там на сплайны не обращайте внимание. А вот на пример определения опорных точек обратите. Он ближе к концу сообщения. Это будет полезным, если Вы будете приближающую кривую строить как интерполяционную - то есть проходящую через некоторые узлы, лежащие на исходной кривой.

Но надо определиться в каком смысле будет пониматься аппроксимация.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

CraniumEugene
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[CraniumEugene]

profrotter в сообщении #794698 писал(а):

Пока я тут мимо пробегаю оставлю ссылку на сообщение #416434. Возможно там есть что-то полезное. В любом случае хорошо бы сначала определиться что значит "аппроксимирует данную кривую". Каков критерий качества аппроксимации?

Я сделал по этому методу, тогда, все получилось. Теперь хочу сделать более точно. Пытаюсь сделать методом наименьших квадратов, вроде все логично делаю, но точки явно не те. Где-то ошибка. Я делаю так/


Сумма по t, t = 0.....1.
$F(p1.y,p2.y) = \sum_t_=_0 (y_i - (1-t)^3 * p0.y + 3*t*(1-t)^2 *p1.y + 3 * t^2 *(1-t) * p2.y + t^3* p3.y )^2 ; $

Потом беру производную по p1 получаю 1-е уравнение, по p2 получаю 2-е уравнение. Решаю, получается неправильный результат.
Так я ищу значения по оY. Возможно что-то в самой идее поиска неправильно. Кто сталкивался, помогите пожалуйста.

[profrotter]

По $x$ тоже надо искать. Но вообще тут надо аккуратно подойти, сделать рисуночек, чтобы всем было понятно.

[ИСН]

Функции вообще не надо аппроксимировать кривыми Безье. Они не для этого.

[CraniumEugene]

Что Вы имеете ввиду под словами "сделать рисуночек"? Какой рисунок, оригинальных точек и кривой кот их аппроксимирует?

[profrotter]

Ага. Система координат, точки, кривая Безье, её опороные точки - схематично с введёнными обозначениями. А то не очень понятно: то ли Вы строите один фрагмент кривой Безье, то ли несколько.