Композиция функций

[Otta]

Хорошо.
Ну и пишите $f(g(x))=f(\text{чему равна }g(x))=$ подставляем, считаем.

[_Ivana]

(Оффтоп)

sudo в сообщении #780760 писал(а):

Пусть А - множество(конечное или нет). Обозначим S(A)множество биективных отображений из A в себя. Если $f,g$ - два таких отображения, их можно "перемножить", взяв композицию $fog: fog(a) = f(g(a))$

Было бы неплохо, если бы у меня хоть кто-нибудь из четырех сыновей такое в 6 классе говорил Причем, изучая математику самостоятельно, в условиях когда не у кого спросить.

[Otta]

_Ivana

(Оффтоп)

Да мы тут все большие девочки-мальчики и все прекрасно понимаем. :)

[sudo]

$f(x^2g(x))$
$x^3$?

[bot]

(Оффтоп)

sudo в сообщении #780760 писал(а):

ВРЖ(В реальной жизни)

Звучание сразу хулиганское детство напомнило. Очень даже реально было дать и получить.

[Otta]

sudo
Мы гадать бум? Чему равна $g(x)$? Или Вы уже забыли, с каким вопросом пришли?

[sudo]

$f(x^2g(x+1))$
$x^3+x^2$?

[Otta]

(Оффтоп)

Пичалька. sudo, а мож, ну его нафиг, самостоятельное изучение, может, лучше основной школьной программой заняться? А как одолеете - Вам на первом курсе расскажут. ВРЖ.

На вопрос Вы так и не ответили.

Otta в сообщении #781180 писал(а):

Чему равна $g(x)$?

[Lukum]

На функцию в некотором смысле, можно смотреть как на ящик преобразующий одни числа в другие, одни цепочки букв в другие.
Засунули в ящик один листочек с символом, на выходе он напечатал другой листочек с символом.
Вот так.

x--> Ящик_Функция_f --> (x*x)
x--> Ящик_Функция_g --> (x+1)
ЯщикФункция_f назовем сокращенно f
ЯщикФункция_g назовем сокращенно g

Что такое f(g(x)) ?
В ЯщикФункция_g сунули x, далее то, что получилось на выходе, сунули в ЯщикФункция_f.

Получается так:
x--> ЯщикФункция_g --> (x+1)
(x+1) --> ЯщикФункция_f --> ((x+1)*(x+1))

x--> $\Box$g --> (x+1) --> $\Box$f --> ((x+1)*(x+1))

Теперь найдем g(f(x)) ?
x--> $\Box$f --> (x*x) --> $\Box$g --> ((x*x)+1)

Может быть так будет более понятно?
PS
Квадратик перед f и g нарисовал дополнительно, чтобы не было путанницы между входом, выходом и функцией.
y--> Ящик_Функция_f --> (y*y)
z--> Ящик_Функция_g --> (z+1)
стол--> Ящик_Функция_f --> (стол*стол)
Можно смотреть на скобочки как на обозначение ящика - это для понимания, тогда не будет ошибок что и куда подставлять.
Например, f(g(x)), тут два ящика - один в другом, две пары скобок, подставлять, например, 2 вместо x нужно сначала в ящик g, и результат из g, уже суем в f.
т.е. композиция всего лишь другая форма записи f(g(x)) этого, математики любят называть одно и тоже разными именами и записывать в разной форме.

[provincialka]

Lukum, вы зачем даете ответ? Пусть сам догадается.

(Оффтоп)

Проверила задачу на своем отпрыске - решил мгновенно. Правда, он в 7 классе, разница существенная.

[Lukum]

Я хотел не ответ дать, а неформальную картинку для понимания.

-- 28.10.2013, 13:09 --

Продираться неподготовленному уму через формализмы очень сложно, имхо, желательно давать к формальным определениям неформальные картинки для понимания формальных вещей.

-- 28.10.2013, 13:13 --

sudo Вообще вся математика это простое преобразование (переписывание) одних цепочек букв (символов) в другие по математическим правилам.
Тоже самое и всякие вычисления, преобразование цепочек букв и цифр в другие цифры.
Самое главное это помнить правила преобразования и аккуратно их применять.
И тогда вся математика покажется довольно простой вещью, конечно ВРЖ

[arseniiv]

Lukum в сообщении #781229 писал(а):

Продираться неподготовленному уму через формализмы очень сложно

По-моему, как раз всегда легко. Они для того и делаются, чтобы оперировать символами, не вдаваясь ни в какой смысл. Просто если делать формально — надо делать всё чисто, а не пополам с неформальным — тут уж любой человек запутается, где что делать и как это понимать! А определение функции в виде $f(x) = \text{выражение}$ — это как раз смешивание с применением функции потом. Я бы лучше писал $f = x\mapsto\text{выражение}$. Потом, если известно, что $f = x\mapsto A$, то $f(t) = A[t\text{ вместо }x]$, что обозначает $A$ с заменой всех свободных вхождений $x$ в нём на $t$, механически, одинаково и одновременно. Свободные вхождения $x$ — это такие, которые не «связаны» с помощью $x\mapsto A$ (к сожалению, при отсутствии знаний о других связывающих штуках типа кванторов и интегралов, нельзя провести с ними аналогию). Например, $y$ в формуле $y^2 + ay$ встречается два раза, и оба раза свободно. А $m$ в формуле $m^m - (m\mapsto m^m)(19m)$ встречается 6 раз, причём 1-е, 2-е и 6-е вхождения свободные, а 3-е, 4-е и 5-е вхождения связанные. Если поменять все связанные вхождения переменной на другую переменную, смысл формулы не изменится, а вот если заменить на что-то типа $2+8$, формула перестанет означать что-либо. Потому такие вхождения и не заменяются.

Например, пусть $f = x\mapsto x^2 - x$. Тогда

$$f(a + 4) = (x^2 - x)[a+4\text{ вместо }x] = (a+4)^2 - (a+4) = a^2 + 7a + 12.$$

Пусть $g = x\mapsto 3x-4x^3$. Тогда

$$g(-x) = (3x-4x^3)[-x\text{ вместо }x] = 3(-x)-4(-x)^3 = -3x+4x^3.$$

Если бы замена не проходила одновременно, мы бы могли получить что угодно или вообще не остановиться в механическом переписывании.

Композиция с $\mapsto$-синтаксисом определяется так:

$$f\circ g = x\mapsto f(g(x)).$$

Например,

$$\begin{array}{ccc} & (x\mapsto x^2)\circ(y\mapsto cy+1) & = \\ = & x\mapsto (x\mapsto x^2)((y\mapsto cy+1)(x)) & = \\ = & x\mapsto (x\mapsto x^2)((cy+1)[x\text{ вместо }y]) & = \\ = & x\mapsto (x\mapsto x^2)(cx+1) & = \\ = & x\mapsto(x^2)[cx+1\text{ вместо }x] & = \\ = & x\mapsto(cx+1)^2. & \end{array}$$

Просто применяем возможные преобразования по-очереди.
А вот что было бы при обратном порядке композиции:

$$\begin{array}{ccc} & (y\mapsto cy+1)\circ(x\mapsto x^2) & = \\ = & x\mapsto(y\mapsto cy+1)((x\mapsto x^2)(x)) & = \\ = & x\mapsto(y\mapsto cy+1)((x^2)[x\text{ вместо }x]) & = \\ = & x\mapsto(y\mapsto cy+1)(x^2) & = \\ = & x\mapsto(cy+1)[x^2\text{ вместо }y] & = \\ = & x\mapsto cx^2+1. & \end{array}$$

Хорошо запутал? (У самого сложилось впечатление, что переписывание формул далеко не так просто, как я только что писал выше, но это, наверно, из-за того, что писать всё на бумаге гораздо быстрее, чем выписывать код.)

-- Пн окт 28, 2013 18:38:40 --

(Мой ответ плох тем, что не следует себе: смешан синтаксис и семантика (я очень поверхностно описал замену, и, наверно, можно всё равно понять её неправильно; не оговорено много важных вещей, которые могут стать не сами собой разумеющимися в некоторых случаях). Чтобы всё было чисто синтаксически, надо написать много определений, что не улучшит понимание, да и не переписывать же сюда книги.)

-- Пн окт 28, 2013 19:01:06 --

(Оффтоп)

Неужели такое страшное сообщение никто не поругает?

[Deggial]

Lukum, предупреждение за неоформление формул $\TeX$ом

[Lukum]

Deggial Предупреждение усвоил. Оправдание, у меня не формулы, цепочки симоволов ))
arseniiv
Имхо, для 6го класса, наверное сложно, у меня попроще похоже.

[arseniiv]

Ящики и $a\stackrel{g}{\longrightarrow} g(a)\stackrel{f}{\longrightarrow} (f\circ g)(a)$ — это замечательный приём, не зря его часто вспоминают совершенно разные люди. Он и с композицией функций разных количеств аргументов легко работает. Хотя не знаю, всем ли помогает. Посмотрим, что ТС скажет.