Показать, что нет наибольшего элемента

[angor6]

Меня заинтересовала такая задача: "Пусть элементами упорядоченного множества X являются замкнутые круги на плоскости, принадлежащие фиксированному замкнутому квадрату, а отношение порядка задаётся отношением включения. Показать, что в этом упорядоченном множестве нет наибольшего элемента, но существует бесконечно много максимальных элементов. Найти все максимальные элементы".

Этой задаче не предшествует никакое определение замкнутой геометрической фигуры, поэтому буду полагать, что имеются в виду обычные круги и квадрат. Наглядно очевидно (а можно ли строго доказать?), что покрывая квадрат совокупностью непересекающихся кругов (количество таких совокупностей бесконечно (как доказать?) и каждая из таких совокупностей включает в себя бесконечное количество кругов (как доказать?)), каждый элемент такой совокупности является максимальным элементом, потому что включает в себя бесконечное множество кругов (как доказать?). Таким образом, максимальными элементами являются всевозможные круги, принадлежащие фиксированному квадрату. Их количество бесконечно. Круги не пересекаются, поэтому каждый из них является максимальным среди всех кругов, которые он полностью покрывает. Поскольку круги не пересекаются, то нет круга, который содержал бы все остальные, и поэтому нет наибольшего элемента.

Прав ли я? И как, не сильно затягивая решение задачи, сделать его "приемлемо строгим"?

[provincialka]

Нет, неправы. Дайте определение максимального элемента.

[VAL]

По-моему, Вы все (или себя?) запутываете.
То, что нет наибольшего элемента, очевидно. Какой бы круг в квадрате Вы не выбрали, он не покроет все круги (например, маленькие, уголках квадрата).
Чтобы обнаружить бесконечно много максимальных элементов, советую вновь присмотреться к углам квадрата.

[angor6]

provincialka

provincialka в сообщении #778280 писал(а):

Нет, неправы. Дайте определение максимального элемента.

Максимальных элементов бесконечно много, но наибольшего нет.

Элемент $a \in X$ называется максимальным, если из того, что $a \prec x$ следует, что $x=a.$ [Антоневич, А.Б. Функциональный анализ и интегральные уравнения: учебник / А.Б. Антоневич, Я.В. Радько. - Минск: БГУ, 2006. - 430 с., с.9]

-- 22.10.2013, 00:27 --

VAL

VAL в сообщении #778282 писал(а):

По-моему, Вы все (или себя?) запутываете.
То, что нет наибольшего элемента, очевидно. Какой бы круг в квадрате Вы не выбрали, он не покроет все круги (например, маленькие, уголках квадрата).
Чтобы обнаружить бесконечно много максимальных элементов, советую вновь присмотреться к углам квадрата.

Что я запутываю? Наглядно всё понятно. Меня интересует чёткость формулировок. Если можно, прочтите ещё раз моё сообщение.

[provincialka]

А нельзя ли дать определение конкретнее, в терминах вашего конкретного порядка? И человеческим языком?
стерто

Совет VAL очень правильный.

[popolznev]

Цитата:

покрывая квадрат совокупностью непересекающихся кругов (количество таких совокупностей бесконечно (как доказать?) и каждая из таких совокупностей включает в себя бесконечное количество кругов (как доказать?)), каждый элемент такой совокупности является максимальным элементом, потому что включает в себя бесконечное множество кругов

1. Если круг "включает в себя" (хреновая формулировка, ну да ладно) бесконечное множество других кругов, из этого нисколечко не следует, что он - максимальный.

2. Зачем вообще "покрывать квадрат непересекающимися кругами"? Эта дичайшая процедура здесь совершенно не нужна и действительно только запутывает всё.

[angor6]

provincialka
Я дал то определение, которое приведено в учебнике. Оно принадлежит не мне. И я не спорю с VAL, потому что моя и его точки зрения совпадают, а прошу проверить мои рассуждения.

-- 22.10.2013, 00:54 --

popolznev
Какова альтернатива "дичайшей процедуре"? Как показать наличие бесконечного множества максимальных элементов и отсутствие среди них наибольшего?

Может быть, достаточно вписать в квадрат круг наибольшего диаметра (он вроде бы является максимальным элементом) и поскольку не весь квадрат остаётся покрытым покрыть его ещё четырьмя кругами (они, кстати, не пересекаются с первым квадратом (или это неважно?)), которые тоже будут максимальными, и т. д. Тоже "дичайшая процедура"? Тогда как быть?

[VAL]

angor6 в сообщении #778285 писал(а):

Что я запутываю? Наглядно всё понятно. Меня интересует чёткость формулировок. Если можно, прочтите ещё раз моё сообщение.

По-видимому, все же себя.
Поскольку нас с provincialk'ой вам запутать не удастся

Давайте-ка еще раз с азов. Вам ясно, что "максимальный элемент" и "наибольший элемент" - это совершенно разные понятия?
А то у Вас какой-то подозрительный смайлик стоит.

[provincialka]

Совпадают? То есть вы отказались от своего первого ответа? И какой же правильный?

Кроме формулировки учебника надо уметь давать и свою формулировку, применительно к конкретной задаче. Я специально стерла ее, чтобы вы сами потренировались.

Итак, какой круг в данной задаче можно считать максимальным (по вложению)?

[VAL]

angor6 в сообщении #778291 писал(а):

И я не спорю с VAL, потому что моя и его точки зрения совпадают

Да?! С чего Вы это взяли?!

[provincialka]

angor6, чтобы дать ответ, надо просто описать все множество максимальных кругов. Но не то, про которое говорили вы - этот ответ неверный, я же вам сразу сказала. Не те круги!

[popolznev]

angor6 в сообщении #778291 писал(а):

вписать в квадрат круг наибольшего диаметра (он вроде бы является максимальным элементом)

Я думаю, это правильный первый шаг :)

angor6 в сообщении #778291 писал(а):

и поскольку не весь квадрат остаётся покрытым покрыть его ещё четырьмя кругами (они, кстати, не пересекаются с первым квадратом (или это неважно?)), которые тоже будут максимальными, и т. д. Тоже "дичайшая процедура"? Тогда как быть?

Да не пытайтесь вы "покрыть квадрат" - незачем это. Смотрите в углы, как вам тут верно сказали.

[provincialka]

Нет, первый шаг - понять, какой круг можно считать максимальным. И круг наибольшего диаметра тут совсем не важен.

[VAL]

Может, еще такая подсказка поможет?
Максимальный элемент вполне заодно может оказаться и минимальным (причем речь не об одноэлементном множестве).
Не в данной задаче, а вообще. Зачем тогда я это пишу? Просто мне кажется, что Вы не поняли смысл определения максимального элемента. А начинать надо именно с этого.

[angor6]

VAL
provincialka
Уважаемы господа математики! Мне понятно, что наибольший элемент, если он существует, единственный и является максимальным. Однако, как пишется в том же учебнике, часто бывает, что наибольший элемент в упорядоченном множестве не существует, а максимальные элементы не существуют и их может быть много.

И я никого не собираюсь запутывать, упаси, Боже! Я спрашиваю, как это сделать: "Показать, что в этом упорядоченном множестве нет наибольшего элемента, но существует бесконечно много максимальных элементов. Найти все максимальные элементы"?

Давать свои определения математическим понятиям не буду, потому что сам изучаю математику, а не преподаю её другим...