Показать, что нет наибольшего элемента

[Xaositect]

angor6 в сообщении #778322 писал(а):

Если он не содержится в круге большего диаметра, то он наибольший

Аккуратнее. В этом случае он не наибольший, а максимальный.

angor6 в сообщении #778322 писал(а):

Но как показать существование бесконечного числа максимальных кругов? Остальные круги, не пересекающиеся с первым, ведь не имеют наибольшего диаметра, а значит, среди них нет максимального.

Диаметр ни при чем. Вот, например, такой круг:
\begin{tikzpicture} \draw (0,0)--(1,0)--(1,1)--(0,1)--cycle; \draw (0.25,0.25) circle (0.25); \end{tikzpicture}
Будет максимальным или нет? То есть, можно найти для него круг, который его содержит, или нельзя?

[angor6]

Xaositect
Жаль, что в учебнике ничего не пишется про отношения порядка на множествах, которые линейно не упорядочены. Тогда многое было бы понятнее при решении задач.

А ведь я занимаюсь математикой на досуге. Представляю, каково студентам.

-- 22.10.2013, 02:23 --

Xaositect
Нарисованный Вами круг не содержится ни в каком круге, кроме самого себя. Непривычно, но получается, что он максимальный.

-- 22.10.2013, 02:30 --

Xaositect
Значит, помимо круга наибольшего диаметра (первый максимальный) существует ещё четыре максимальных круга по углам. В промежутках можно разместить ещё круги и т. д. Количество таких кругов бесконечно...

Но если с первым кругом и с кругами по углам понятно, что они не содержатся целиком в кругах большего диаметра, то с остальными - нет...

[Xaositect]

angor6 в сообщении #778324 писал(а):

Нарисованный Вами круг не содержится ни в каком круге, кроме самого себя. Непривычно, но получается, что он максимальный.

Верно.

[angor6]

Xaositect
Отсутствие наибольшего круга показали, а как показать наличие бесконечного множества максимальных кругов. Или надо отказаться от их непересечения, а допустить касание?

[Xaositect]

angor6 в сообщении #778324 писал(а):

Значит, помимо круга наибольшего диаметра (первый максимальный) существует ещё четыре максимальных круга по углам. В промежутках можно разместить ещё круги и т. д.

В каких промежутках?

[angor6]

Xaositect
Не надо рассматривать покрытие квадрата кругами? Если не надо, то получается, что все максимальные круги касаются хотя бы двух сторон квадрата, а их центры лежат на его диагоналях?

[Xaositect]

angor6 в сообщении #778329 писал(а):

Не надо рассматривать покрытие квадрата кругами? Если не надо, то получается, что все максимальные круги касаются хотя бы двух сторон квадрата, а их центры лежат на его диагоналях?

Да. Теперь по-хорошему это надо строго геометрически доказать, но почему это так, Вы, наверное, уже поняли.

[angor6]

Xaositect
Да, я понял, где находятся все максимальные круги. Доказать, что только они и являются максимальными, наверное, надо было бы, но в задаче этого не требуется. И хорошо...

Спасибо за науку!

[VAL]

Xaositect в сообщении #778323 писал(а):

\begin{tikzpicture} \draw (0,0)--(1,0)--(1,1)--(0,1)--cycle; \draw (0.25,0.25) circle (0.25); \end{tikzpicture}
Будет максимальным или нет? То есть, можно найти для него круг, который его содержит, или нельзя?

Эх! Так и не удалось мне заставить ТС самого додуматься до такой картинки

-- 22 окт 2013, 08:08 --

angor6 в сообщении #778331 писал(а):

Да, я понял, где находятся все максимальные круги. Доказать, что только они и являются максимальными, наверное, надо было бы, но в задаче этого не требуется. И хорошо...

По-хорошему надо бы доказать, что каждый из кругов, касающихся (по крайней мере) двух сторон квадрата, максимален и, что других максимальных нет.
Но и то и другое тривиально.
1. Круг, касающийся двух сторон не может лежать в том, который не касается этих сторон, поскольку точки касания туда не попадут.
Если же рассматривать два круга, касающихся одних и тех же сторон, то больший, очевидно, не может лежать в меньшем. Но и меньший не может лежать в большем: опять-таки точки касания туда не попадут.
2. Если круг не касается ни одной стороны, он лежит в концентрическом круге большего диаметра.
Если круг касается ровно одной стороны, то он лежит в круге, касающемся этой же стороны в той же точке, но имеющем чуть больший диаметр.

Контрольный вопрос:
angor6, а много ли минимальных элементов в рассматриваемом множестве?

[angor6]

VAL
Как ни странно, но эта картинка была в моём воображении изначально. Другое дело, что я не понимал, что с ней делать... Но мне бы не хотелось, чтобы Вы и дальше продолжали таком духе. Не получилось у Вас - зато получилось у Xaositect'a. Поэтому дальнейшие вопросы я хотел бы адресовать именно ему. По-видимому, у него талант объяснять. А я, по-видимому, не отличаюсь большой сообразительностью. Но это от Бога, и роптать не приходится...

Единственное, что хочу спросить у Вас, это что такое ТС? Я не силён и в сокращениях современного русского языка.

Что касается утверждений, которыми Вы дополнили своё сообщение, то они далеко не тривиальны для меня, хотя вполне доказуемы (даже мной). Но доказательством геометрических предложений я занимаюсь по другому учебнику и поэтому позволю себе не заниматься доказательством выявленных фактов.

Минимальных же кругов во множестве всех кругов, принадлежащих квадрату, бесконечное множество (потому что каждый из них содержится в каком-то другом круге, отличном от него самого), причём среди них нет наименьшего (потому что каждый из них содержит какой-то другой круг, отличный от него самого).

Я могу ошибаться, потому что в моём сознании малограмотного в математическом отношении человека новые понятия ещё не закрепились. Поэтому адресую своему терпеливому наставнику несколько интересующих меня вопросов. О них чуть позже.

[provincialka]

Я в свое время тоже не знала, что это такое, ТС. Заглянула в Гугл - и все. Рекомендую, метод хороший.

[angor6]

Xaositect
1. Если вернуться к ситуации с множеством, содержащим четыре квадрата $a,~b,~c,~d,$ о котором шла речь минувшей ночью, то правильно ли я понимаю, что, например, круг $d,$ который является и максимальным, и минимальным, "меняет свой характер" во множестве всех кругов, которые принадлежат квадрату, если множество четырёх кругов "перенести" в достаточно большой квадрат? Например, если этот круг касается двух сторон квадрата, то он остаётся максимальным, но уже не будет минимальным. Или будет, потому что включает самого себя?

2. Является ли произвольный круг, принадлежащий квадрату, и максимальным, и минимальным одновременно: а) на множестве всех кругов, принадлежащих этому квадрату; б) на множестве, состоящем из произвольного числа непересекающихся кругов, принадлежащих квадрату? В этом я совсем плохо разобрался...

3. Для чего составитель задачи называет круги и квадрат замкнутыми? Ведь определение замкнутого множества этой задаче не предпослано. Или здесь имеется в виду другая замкнутость?

[provincialka]

3. Замкнутый - с границей. Можно взять и то и другое открытым (без границы), ответ будет тем же.
2. Верен п. б)
1. В другом множестве кругов, естественно, другие минимальные и максимальные элементы. Это не свойство отдельного круга.

Насчет минимальности - подумайте.

[VAL]

angor6 в сообщении #778382 писал(а):

VAL
Как ни странно, но эта картинка была в моём воображении изначально. Другое дело, что я не понимал, что с ней делать... Но мне бы не хотелось, чтобы Вы и дальше продолжали таком духе.

Не хотите - не буду (но уж это письмо, прокомментирую, потерпите в последний раз).

Цитата:

Не получилось у Вас - зато получилось у Xaositect'a. Поэтому дальнейшие вопросы я хотел бы адресовать именно ему. По-видимому, у него талант объяснять. А я, по-видимому, не отличаюсь большой сообразительностью. Но это от Бога, и роптать не приходится...

Единственное, что хочу спросить у Вас, это что такое ТС? Я не силён и в сокращениях современного русского языка.

ТС - это топикстартер, человек, открывающий новую тему. Судя по предыдущему абзацу, это Вы, как раз, таки поняли.

Цитата:

Что касается утверждений, которыми Вы дополнили своё сообщение, то они далеко не тривиальны для меня, хотя вполне доказуемы (даже мной). Но доказательством геометрических предложений я занимаюсь по другому учебнику и поэтому позволю себе не заниматься доказательством выявленных фактов.

Скажу Вам по секрету: математика едина. Ее подразделение на разные математические дисциплины весьма условно.

Цитата:

Минимальных же кругов во множестве всех кругов, принадлежащих квадрату, бесконечное множество (потому что каждый из них содержится в каком-то другом круге, отличном от него самого), причём среди них нет наименьшего (потому что каждый из них содержит какой-то другой круг, отличный от него самого).

Что ж, стало ясно, что Вы так и не разобрались
Ну ничего, надеюсь, Xaositect объяснит.

PS: Вижу, Вам не по душе моя ироничная манера. Ну а мне не нравится, что Вы все время врете, что вы уже все поняли, вместо того, чтобы задуматься и понять по-настоящему.

[angor6]

VAL
Поверьте, не вру, когда пишу, что всё понял, а искренне заблуждаюсь в этом...

В отношении замкнутых кругов и квадрата ничего не понял, увы. До сих пор полагал, что квадрат - это объединение его внутренних точек и границ. В противном случае говорил о множестве внутренних точек квадрата. Так меня учили в школе.

За пояснение по поводу ТС спасибо. Теперь буду знать. Хотя стараюсь английскими словами не пользоваться без нужды.

Что касается минимальных элементов во множестве кругов, принадлежащих квадрату, то их нет. Потому что какой бы круг мы не взяли, всегда найдётся круг, который целиком лежит в выбранном, не совпадая с ним.

Наверное, к иронии в мой адрес мне придётся привыкнуть. Я смогу её избежать только тогда, когда начну самостоятельно грамотно мыслить в математических задачах. А до этого пока далеко...

Кстати, почему нельзя дать более понятное для таких, как я, определение максимального (минимального) элемента: "Элемент $a \in X$ называется максимальным (минимальным) по строгому включению в $X$, если не существует элемента $b \in X,~b \ne a,$ такого, что $a \subset b$ $(b \subset a)$"? Если же опустить $b \ne a,$ то получим соответствующие определения для нестрогого включения. Будьте снисходительнее, если я написал очередную глупость...