Показать, что нет наибольшего элемента

[bot]

(Оффтоп)

VAL в сообщении #778397 писал(а):

ТС - это топикстартер, человек, открывающий новую тему

Когда я учился в 10-м классе, у на ввели производственное обучение. Мальчики его получали на электроаппаратном заводе. Там я собирал ТС - Трасформаторы Силовые.

[provincialka]

angor6 в сообщении #778420 писал(а):

Кстати, почему нельзя дать более понятное для таких, как я, определение максимального (минимального) элемента: "Элемент $a \in X$ называется максимальным (минимальным) по включению в $X$, если не существует элемента $b \in X,~b \ne a,$ такого, что $a \subset b$ $(b \subset a)$"? Будьте снисходительнее, если я написал очередную глупость...

Совершенно верно, и так гораздо понятнее. Этого мы от вас и добивались. Единственно, это определение частное, только для включения, а общее подходит для любого порядка.
Я считаю, что в нормальном учебнике (чуть-чуть отличающемся от справочника) каждое определение должно быть "обсосано" с разных сторон. Например, тот же максимальный элемент можно определить так:
Элемент $a$ называется максимальным относительно порядка $\prec$, если не существует элемента $x\ne a$, такого, что $a\prec x$

Кстати, тот порядок, о котором здесь говорится, видимо, нестрогий (включает равенство). Для строгого порядка получается еще короче:

Элемент $a$ называется максимальным относительно порядка $\prec$, если не существует элемента $x$, такого, что $a\prec x$
Или так: ... если элемент $a$ не предшествует никакому элементу $x$.

-- 22.10.2013, 10:54 --

Вот вам еще задачка. Говорят, что на множестве $A$ задано отношение толерантности $\tau$, если некоторые пары связаны этим отношением, причем оно симметричное: из $a\tau b$ следует $b\tau a$ и рефлексивное: всегда $a\tau a$.

В таком отношении можно выделить ядро: множество элементов, которые все попарно связаны друг с другом. (в теории графов это называют "клика")
Задача: 1. Дайте определение максимального ядра. 2. Пусть $A=\{2,3,... 12\}$, введем на нем отношение "быть взаимнопростыми", т.е. $a\tau b$ означает, что $a,b$ взаимнопросты. Найдите ядра этого отношения. Какие из них максимальные?

[angor6]

provincialka
Значит, всё-таки, можно дать более понятное определение максимального и минимального элементов без употребления оборота "если из ... следует, что ..."? Хотя, конечно, задача взята из учебника по функциональному анализу, рассчитанного на студента старшего курса математического факультета.

Что касается предложенной Вами задачи, попробую подумать на досуге. Чтобы не писать глупости, думать буду долго.

[provincialka]

Только введите поправку: вместо "являются взаимнопростыми" рассмотрите "не являются взаимнопростыми", первое отношение - не толерантность.

Но вообще-то эта задача трудная.

Если вас интересуют порядки, можете еще посмотреть, что такое диаграмма Хассе. Правда, она подходит для конечных множеств.

[angor6]

provincialka
Рискну ответить на Ваши вопросы:
1) максимальное ядро отношения - ядро, содержащее наибольшее количество элементов этого отношения;
2) ядрами отношения "не быть взаимно простыми числами", заданном на множестве {2, 3, ..., 12} являются множества {2, 4, 6, 8, 10, 12}, {3, 6, 9, 12}, {5, 10} и все их непустые подмножества (а возможно и пустые, если ядро может быть пустым множеством), включая одноэлементные подмножества, а также одноэлементные множества {7}, {11}.

[provincialka]

2) верно, 1) - нет. Первое ваше высказывание противоречит второму. Вы перечислили как раз максимальные ядра. Но количество элементов в них разное.

Максимальными (по вложению) будут ядра, которые нельзя вложить в большее ядро. То есть нельзя найти элемент, связанный со всеми элементами максимального ядра.

[angor6]

provincialka
Опять наступил на те же грабли, получается. Хотя об отношении порядка я вовсе не думал (да и в задаче шла речь об отношении толерантности)...

[provincialka]

Ну и что, что толерантность, я бы не стала давать совсем не связанную с темой задачу. Раз есть слово "максимальный", есть какой-то порядок.

[angor6]

provincialka
Благодарю Вас!