Об аксиомах в математике и физике

[arseniiv]

Lukum в сообщении #780453 писал(а):

Кстати, я бы вас по этому поводу тоже послушал.

Внутри теории вероятностей никогда с таким словоупотреблением не сталкивался.

[Lukum]

Замечательно.
Т.е. если последовательность из моего "Пример 2" на 15стр., сгенерирована с помощью монетки, то задача корректна и можно считать вероятности.
А если та последовательность составлена по детерминированному алгоритму (а она так и составлена), то задача становится некорректной.
Фигня получается, не так ли?
Т.е. если я вам говорю о происхождении последовательности, то задача признается корректной, если не говорю, то становится некорректной.

-- 26.10.2013, 17:34 --

Алгоритм генерации последовательности из "Пример 2" в дробной части числа пи заменяем нечетные цифры на 1, четные на 0.

[arseniiv]

Lukum в сообщении #780466 писал(а):

Т.е. если последовательность из моего "Пример 2" на 15стр., сгенерирована с помощью монетки, то задача корректна и можно считать вероятности.
А если та последовательность составлена по детерминированному алгоритму (а она так и составлена), то задача становится некорректной.
Фигня получается, не так ли?

Действительно, фигня: вы смешиваете теорию и её приложение. В какой мере вероятностное пространство соответствует какой-то действительности, от него не зависит. Оказывается, что для многих («хороших») ГПСЧ описание с помощью теории вероятностей довольно хорошо соответствует положению дел, что можно показать (и так это и показано) с помощью математической статистики.

-- Сб окт 26, 2013 19:49:48 --

Lukum в сообщении #780466 писал(а):

Т.е. если я вам говорю о происхождении последовательности, то задача признается корректной, если не говорю, то становится некорректной.

Не так. Если есть вероятностное пространство — задача корректна, если нету — некорректна.

[Lukum]

arseniiv в сообщении #780471 писал(а):

Действительно, фигня: вы смешиваете теорию и её приложение. В какой мере вероятностное пространство соответствует какой-то действительности, от него не зависит. Оказывается, что для многих («хороших») ГПСЧ описание с помощью теории вероятностей довольно хорошо соответствует положению дел, что можно показать (и так это и показано) с помощью математической статистики.

Не смешиваю, это так показалось.
Это смешно - зависит только от действительности :) Оказывается во всем действительность виновата, а не наше описание ее.
Согласен.

arseniiv в сообщении #780471 писал(а):

Lukum в сообщении #780466 писал(а):

Т.е. если я вам говорю о происхождении последовательности, то задача признается корректной, если не говорю, то становится некорректной.

Не так. Если есть вероятностное пространство — задача корректна, если нету — некорректна.

А если нету, то его можно построить для данной задачи, не так ли?
Вероятностное пространство не дано господом богом, мы сами его вводим.
Нам ничто не мешает его ввести и сказать, если мы сделаем это так, то будет выполняться это. Ноль проблем.

[provincialka]

Не можем мы ввести в.п. как попало. А если вводим как попало, то и выводы произвольные. Обозначим через А высказывание "гипотеза Гольдбаха выполняется". Какова его вероятность? Увеличится ли она, если мы проверим новую порцию четных чисел и окажется, что все они ей удовлетворяют? Да ни в малейшей степени!
Это высказывание либо верно, либо нет. Да, есть еще одна возможность: это утверждение не выводимо из аксиом арифметики. Тогда оно - не высказывание.

И что удивительного в том, что, зная способ построения последовательности, мы можем рассчитать вероятности? Ведь это дает информацию о распределении!

Сравните два случая:
1. Последовательность получена бросанием монетки.
2. Последовательность получена выписыванием двоичных цифр числа $\sqrt2$.

Как вы думаете, вероятности очередных значений будут отличаться?

А если мы вообще ничего не знаем о происхождении последовательности?

[Lukum]

Конечно, не следует вер.пр. вводить как попало, следует вводить разумным для конкретной задачи способом.

[PayMay]

С каждой математической конструкцией можно связать степень ее убедительности. Например, доказательство равенства множеств $P(P(P(d)))$, где $d$ конечно, и этого же множества, представленного списком своих элементов, имеет примерно, ту же степень убедительности, что и доказательство конечности последнего множества.
Т.е. с ростом математических конструкций, например, длинны доказательств, степень их убедительности падает.
Доказательство в несколько строчек имеет большую степень убедительности, т.е. вероятность быть истинным, чем доказательство из многих томов, как, например, теорема о простых конечных группах или о четырех красках.

Принципиальных проблем, так или иначе, формализовать вероятностное пространство истинности суждений нет.

Используя интуицию о том, что степень достоверности (вероятности истинности суждений), падает с ростом длинны их доказательства, можно придти к следующей аксиоме: вероятность истинности конъюнкции двух утверждений меньше, чем вероятность истинности этих утверждений, взятых по отдельности.
Последовательное применение конъюнкции многих утверждений уменьшает вероятность истинности последнего.

[provincialka]

Вряд ли корректно назвать эту характеристику вероятностью. Это скорее убедительность, уверенность.
Кроме того, сравните два примера:
1. Утверждение в одну строку, высказанное четвероклассником.
2. Доказательство в 50 страниц, проверенное сотней придирчивых профессиональных математиков.

Что убедительнее?
Кроме того, одну и ту же теорему можно доказать весьма разными способами.

А если рассмотреть утверждения в системе, то убедительность каждого возрастет.

[Lukum]

Можно называть это вероятностной мерой ВМ1, ВМ0 пусть будет колмогоровская вероятностная мера.

[provincialka]

Назвать-то можно. Но до этого надо разработать теорию и продемонстрировать ее применимость.

[Lukum]

Существуют экспертные системы, которые на похожих механизмах работают + нейросети, например.

[provincialka]

Ради бога! Только никогда эксперты не будут решать математические задачи. В математике не место голосованию.

[Lukum]

Я сторонник того, что ИИ возможен, не уступающий человеку ИИ. Так что это дело времени :)

[PayMay]

provincialka в сообщении #780516 писал(а):

Ради бога! Только никогда эксперты не будут решать математические задачи. В математике не место голосованию.

Есть любопытная статья профессора Brian Davies, "Куда движется математика?" почитайте, думаю, будет интересно.

[provincialka]

Может, на место математики придумают что-то другое, не спорю. Но разрушать то, что есть - не практично.

Вот, например, физика использует результаты математики, хотя исследуемый ею предмет не претендует на такую же логическую строгость. И пока , вроде, математика физику (как ни странно) не подводила.

Если придумают новые подходы, лучше отражающие реальность - ради бога. Пусть будет новая наука. Но математика останется, параллельно с этой "новинкой".

-- 26.10.2013, 21:26 --

Lukum в сообщении #780519 писал(а):

Я сторонник того, что ИИ возможен, не уступающий человеку ИИ. Так что это дело времени :)

Это к делу не относится. Тут вопрос в определенных "правилах математической игры". Если ИИ их освоит - ради бога (это самая простая для формализации часть мышления). Если ИИ придумает вместо математики что-то еще - опять хорошо, только это будет не математика и результаты одной нельзя будет перенести на другую.