2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать компактность оператора
Сообщение29.08.2013, 19:28 


25/06/13
27
Вроде бы простая задача, но я не могу решить.
$X, Y$ - банаховы пространства, $A$ - компактный оператор, $B$ - линейный непрерывный. $R(B) \subset R(A)$. Доказать, что $B$ тоже компактный.
Я так понимаю, нужно предположить, что есть какое-то ограниченное множество, которое $B$ переводит не в предкомпактное (т.е. в в его образе есть последовательность, из которой нельзя извлечь фундаментальную) и прийти к противоречию. Как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать компактность оператора
Сообщение30.08.2013, 08:19 


25/06/13
27
Мне предложили такое решение:
Если K ограниченное подмножество в X, то

B(K) \subseteq A(K)

\overline{B(K)}\subseteq\overline{A(K)}

\overline{A(K)} - компактное множество, \overline{B(K)} - замкнутое множество, следовательно \overline{B(K)} - компактное множество.

Но не может ли быть такой ситуации, как на картинке? Тогда первая строчка неверна.Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать компактность оператора
Сообщение30.08.2013, 21:47 


10/02/11
6786
И так $A,B:X\to Y$. Оператор $B$ ограничен, оператор $A$ компактен и $B(X)\subseteq A(X)$.

Предположим дополнительно, что $X,Y$ рефлексивны. Тогда в силу post488349.html#p488349 существует такая константа $c$, что
$$|(x,B\xi)|\le c\|A'x\|,\quad x\in Y',\quad \xi\in X.\qquad (*)$$

Следствие 1: $\ker A'\subseteq \ker B'$ -- это очевидно.

Следствие 2: $\|B'x\|\le c\|A'x\|$

Действительно по теореме Хана-Банаха для каждого $x$ можно так подобрать функционал $\xi$, что $|(B'x,\xi)|=\|B'x\|$.

Из следствий 1, 2 вытекает, что существует ограниченный оператор $C:A'(Y')\to X'$ такой, что $B'=CA'$.
Оператор $A'$ компактен по теореме Шаудера, следовательно оператор $B'$ компактен, следовательно, опять по теореме Шаудера $B$ компактен.

-- Пт авг 30, 2013 21:47:57 --

ps Это надо еще проверять и проверять

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать компактность оператора
Сообщение31.08.2013, 13:14 
Заслуженный участник


22/11/10
1170
Да все как в теореме об открытом отображении.
Пусть $K$ - компакт, поглощающий $B(X)$, т.е
$B(X) \subset \bigcup \limits_n nK$.
Положим $B_n = B^{-1}(nK)$. Тогда хотя бы одно из $B_n$ содержит открытое подмножество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать компактность оператора
Сообщение31.08.2013, 14:30 


10/02/11
6786
sup в сообщении #759247 писал(а):
огда хотя бы одно из $B_n$ содержит открытое подмножество.

из теоремы Бэра это не следует, во всяком случае так сразу

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать компактность оператора
Сообщение31.08.2013, 14:42 
Заслуженный участник


22/11/10
1170
Все $B_n$ замкнуты и их объединение - все пространство $X$. Далее теорема Бэра. Разве нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать компактность оператора
Сообщение31.08.2013, 15:05 


10/02/11
6786
да, pardon, все верно

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать компактность оператора
Сообщение01.09.2013, 19:07 


10/02/11
6786
кстати банаховость $Y$ не нужна

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать компактность оператора
Сообщение02.09.2013, 22:34 


25/06/13
27
sup
Спасибо за помощь, но у меня вопросы:
1) Почему все $nK \subset B(X)$? (Иначе как мы берём их прообразы?)
2) Как нам поможет существование открытого множества в одном из $B_n$ (которые покрывают всё $X$, если я правильно понимаю)? Мы пользуемся тем, что оператор является компактным тогда и только тогда, когда он переводит единичный шар пространства X в предкомпактное множество? Тогда я не понимаю этот последний переход.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать компактность оператора
Сообщение03.09.2013, 05:58 
Заслуженный участник


22/11/10
1170
hurrdurrrderp в сообщении #759994 писал(а):
1) Почему все $nK \subset B(X)$? (Иначе как мы берём их прообразы?)

А чему мешает $nK \not \subset B(X)$. Почему в этом случае нельзя брать прообраз? Для любого множества $M$
$B^{-1}(M) = \{ x | Bx \in M \}$
hurrdurrrderp в сообщении #759994 писал(а):
2) Как нам поможет существование открытого множества в одном из $B_n$ (которые покрывают всё $X$, если я правильно понимаю)? Мы пользуемся тем, что оператор является компактным тогда и только тогда, когда он переводит единичный шар пространства X в предкомпактное множество? Тогда я не понимаю этот последний переход.

Ну, вообще говоря, переводит ограниченные в предкомпактные, но это все легко сводится одно к другому. Кроме того, я так понимаю, под единичным шаром Вы подразумеваете шар с центром в 0? Это все не существенно.
Вам должны помочь следующие соображения.
1. Замкнутое подмножество компакта - компакт.
2. Образ единичного шара с центром в 0 предкомпактен если и только если образ любого шара (с любым центром и любым радиусом) предкомпактен.
Короче говоря, необходимо и достаточно разобраться хоть с каким-нибудь шаром.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать компактность оператора
Сообщение03.09.2013, 11:12 


25/06/13
27
sup
Спасибо, теперь всё понятно. :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group