разрешимость линейного уравнения

[Oleg Zubelevich]

Пусть $E,F$ -- рефлексивные банаховы пространства; $A:E\to F$ -- ограниченный оператор. Зафиксируем элемент $y\in F$.

Доказать, что $y\in A(E)$ тогда и только тогда, когда существует такая постоянная $c$, что для всех $x\in F'$ справедливо неравенство $|(x,y)|\le c\|A'x\|_{E'}$.

[Oleg Zubelevich]

Похоже, непрерывность оператора не нужна. Нужна плотность области определения и еще кое-какие нюансы.

[Padawan]

Странная задача.
Считаем, что $y\neq 0$.
Пусть $y=Az$, где $z\in E$, $z\neq 0$. Неравенство $|(x,y)|\leqslant c\|A'x\|_{E'}$ можно переписать как $|(x,Az)|\leqslant c\sup\limits_{\|t\|_E=1} (x,At)$. Оно, очевидно, верно при $c=\|z\|$.
Обратно, пусть $y\not\in A(E)$. По теореме Хана-Банаха существует функционал $x\in F'$, равный нулю на $A(E)$ и такой, что $(x,y)\neq 0$. Тогда неравенство $|(x,y)|\leqslant c \sup\limits_{\|t\|_E=1} (x,At)$ не может выполнятся ни при каком $c$ (слева не нуль, справа нуль).

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #486015 писал(а):

Обратно, пусть $y\not\in A(E)$. По теореме Хана-Банаха существует функционал $x\in F'$, равный нулю на $A(E)$ и такой, что $(x,y)\neq 0$

Странная теорема Хана-Банаха. Если, например, $A(E)$ плотно в $F$, то указанного $x$ заведомо не существует.

[Padawan]

Да, точно. Почему то решил, что оно замкнутым должно быть.

[Oleg Zubelevich]

Мое решение, кажется тоже развалилось.

[Oleg Zubelevich]

$E,F$ -- рефлексивные банаховы пространства. $A:D(A)\to F$ -- линейный оператор с областью определения $D(A)$ всюду плотной в $E$. Через $R(A)\subseteq F$ обозначим множство значений $A$. Множество $D(A')$ плотно в $F'$.



Теорема. Элемент $y\in F$ тогда и только тогда принадлежит $R(A)$, когда существует такая постоянная $c$, что для всех $x\in D(A')$ справедливо неравенство $|(x,y)|\le c\|A'x\|_{E'}$.

Доказательство. Введем линейный функционал $h(x)=(x,y),\quad h\in F''.$
Очевидно, $\mathrm{ker}\,A'\subseteq\mathrm{ker}\,h$ поэтому найдется линейный функционал $w:R(A')\to\mathbb{R}$ такой, что $(wA')(u)=h(u)$ для любого $u\in D(A')$.

Рассмотрим диаграмму:

$$\xymatrix{F'\supseteq D(A')\ar[r]^p\ar[d]^q&D(A')/\mbox{ker}\, A'\ar[r]^{\tilde A'}\ar[ld]^{r}&R(A')\subseteq E'\ar[lldd]_w\\D(A')/\mbox{ker}\,h\ar[d]^{\tilde h}\\\mathbb{R}}$$

Здесь $q,p,r$ -- естественные проекции, а операторы $\tilde A',\tilde h$ взаимнооднозначны и таковы, что

$$A'=\tilde A'p,\quad h=\tilde hq,\quad q=rp.$$

Обозначим $ H=D(A')/\mbox{ker}\, A'.$

В пространстве $H$ зададим норму формулой $\|z\|_H=\|\tilde A' z\|_{E'}$.


Лемма. Функционал $\tilde hr:H\to\mathbb{R}$ ограничен в смысле введенной нормы.
Действительно, каждый элемент $z\in H$ можно представить в виде $z=p(x)$ с некоторым $x\in D(A')$.
Тогда

$$|\tilde hr(z)|=|\tilde h rp(x)|=|h(x)|\le c\|A'x\|_{E'}=c\|\tilde A'p(x)\|_{E'}=c\|\tilde A'z\|_{E'}=c\|z\|_H.$$

Лемма доказана.

Поскольку $\tilde A':(H,\|\cdot\|_H)\to (R(A'),\|\cdot\|_{E'})$ является изометрией, то по Лемме линейный функционал $w=\tilde hr(\tilde A')^{-1}$ ограничен. По теореме Хана-Банаха он может быть продолжен до ограниченного линейного функционала на $E'$ т.е. $w\in E''$.

Таким образом для любого $x\in F'$ имеем $(A''w,x)_{(F'',F')}=(x,y)_{(F',F)}=(x,y)$. Если через $\tilde w\in E$ обозначить элемент, который соответствует $w$ при каноническом изоморфизме $\psi:E\to E''$, то получим $A\tilde w=y$. ЧТД

[Oleg Zubelevich]

Тут вроде бы еще такой нюанс есть. Область определения оператора $A''$ может оказаться шире области определения оператора $A$. Тогда в условии задачи надо считать, что $D(A)=D(A'')$ Равенство понимается в смысле канонического изоморфизма.