1) Почему все
? (Иначе как мы берём их прообразы?)
А чему мешает
. Почему в этом случае нельзя брать прообраз? Для любого множества
2) Как нам поможет существование открытого множества в одном из
(которые покрывают всё
, если я правильно понимаю)? Мы пользуемся тем, что оператор является компактным тогда и только тогда, когда он переводит единичный шар пространства X в предкомпактное множество? Тогда я не понимаю этот последний переход.
Ну, вообще говоря, переводит
ограниченные в предкомпактные, но это все легко сводится одно к другому. Кроме того, я так понимаю, под единичным шаром Вы подразумеваете шар с центром в 0? Это все не существенно.
Вам должны помочь следующие соображения.
1. Замкнутое подмножество компакта - компакт.
2. Образ единичного шара с центром в 0 предкомпактен если и только если образ любого шара (с любым центром и любым радиусом) предкомпактен.
Короче говоря, необходимо и достаточно разобраться хоть с каким-нибудь шаром.