1) Почему все
![$nK \subset B(X)$ $nK \subset B(X)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/d/0bdf2fc7d4035067d89f78c3315bf02b82.png)
? (Иначе как мы берём их прообразы?)
А чему мешает
![$nK \not \subset B(X)$ $nK \not \subset B(X)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/8/628910dfdb7cf141b959f4ad82ac7add82.png)
. Почему в этом случае нельзя брать прообраз? Для любого множества
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
![$B^{-1}(M) = \{ x | Bx \in M \}$ $B^{-1}(M) = \{ x | Bx \in M \}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/2/2d23e5080a41cc895340181585d076b082.png)
2) Как нам поможет существование открытого множества в одном из
![$B_n$ $B_n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/c/34c759c10ccac82213a2aa1a2bed361b82.png)
(которые покрывают всё
![$X$ $X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfb1b2a33b28eab8a3e59464768e81082.png)
, если я правильно понимаю)? Мы пользуемся тем, что оператор является компактным тогда и только тогда, когда он переводит единичный шар пространства X в предкомпактное множество? Тогда я не понимаю этот последний переход.
Ну, вообще говоря, переводит
ограниченные в предкомпактные, но это все легко сводится одно к другому. Кроме того, я так понимаю, под единичным шаром Вы подразумеваете шар с центром в 0? Это все не существенно.
Вам должны помочь следующие соображения.
1. Замкнутое подмножество компакта - компакт.
2. Образ единичного шара с центром в 0 предкомпактен если и только если образ любого шара (с любым центром и любым радиусом) предкомпактен.
Короче говоря, необходимо и достаточно разобраться хоть с каким-нибудь шаром.