Интерполяция кривой натурально параметризованными сплайнами

[Алексей К.]

Запишите, если не лень. Глянем, как будет выглядеть случай $a=b$. Тоже, конечно, надо будет к пределу переходить, но может он там будет каким-то явным замечательным пределом.
А я их тем временем порисую. И пусть меня лишат премии.
(передумал, потом порисую)

[balodja]

Рассмотрение в чуть более комплексной постановке приводит к более интересным формулам. Как и прежде $Z(s) = X(s) + i Y(s) = \int e^{i\tau(s)} d s$, где $\tau(s) = 2 \arctg {a s} + 2 \arctg {b s}$. Далее:

$$ Z(s) = \int e^{2i \arctg{a s} + 2i \arctg{b s}} d s = \int e^{2i \arctg{a s}} e^{2i \arctg{b s}} d s$$

Если внимательно посмотреть на множители в отдельности, то: $ e^{2i \arctg{a s}} = \cfrac {1 - (a s)^2} {1 + (a s)^2} + i \cfrac {2 a s} {1 + (a s)^2} = \cfrac {1 + i a s} {1 - i a s}$. То есть чисто дробно-линейная функция. А интеграл от произведения дробно-линейных функций -- вещь тривиальная.

$$ Z(s) = \int \cfrac {1 + i a s} {1 - i a s} \cdot \cfrac {1 + i b s} {1 - i b s} d s = \int \left( \cfrac A {1 - i a s} + \cfrac B {1 - i b s} \right) d s$$

Где $ A = \left( P(s) (1 - i a s) \right) _ {s = \frac {-i} a} = 2 \cfrac {1 + \frac b a} {1 - \frac b a} = 2 \cfrac {a + b} {a - b}$, аналогично $ B = 2 \cfrac {a + b} {b - a} $. Коэффициенты в разложении на элементарные дроби получились действительными, что приятно. Можно интегрировать дальше.

$$ \int \cfrac {d s} {1 - i a s} = \frac 1 a \arctg {a s} + \frac i {2 a} \ln (1 + a^2 s^2) + C$$

Подставляя это дело в исходный интеграл вместе с коэффициентами $A$ и $B$ получаем те же формулы, что и раньше, только более прямым путём. Более того, такой подход элементарнейше обобщается на более, чем два, слагаемых в $\tau(s)$.

[balodja]

Ошибочка. Вместо

$$ Z(s) = \int \cfrac {1 + i a s} {1 - i a s} \cdot \cfrac {1 + i b s} {1 - i b s} d s = \int \left( \cfrac A {1 - i a s} + \cfrac B {1 - i b s} \right) d s$$

следует читать

$$ Z(s) = \int \cfrac {1 + i a s} {1 - i a s} \cdot \cfrac {1 + i b s} {1 - i b s} d s = \int \left(1 + \cfrac A {1 - i a s} + \cfrac B {1 - i b s} \right) d s$$

[Алексей К.]

..., где $A=B=2\frac{a+b}{a-b}$? Да?

И чо, дальше будем делать? Будем выписывать эту страшную систему нелине трансцендентных уравнений?

[balodja]

Думаю, дальше следует внимательно посмотреть на это семейство кривых и подумать о том, как они зависят от длины и параметров и что именно эти параметры контролируют. Ну и потом уже пытаться решить вопрос о сращивании производных в узлах.

P.S. $ B = -A$

[Алексей К.]

balodja в сообщении #742689 писал(а):

P.S. $ B = -A$

А это зря. Для таких вещей проще (нагляднее, технологичнее, етц) иметь одну буковку, например, $K=A$, а вместо B писать -K. Считаю нехорошим почерком набирать знаменатель как $a-b$ в первом слагаемом, и как $b-a$ во втором.

Для дальнейших выкладок будем, видимо, использовать ранее определённые $X(s;a,b),Y(s;a,b)$, с обнулёнными $C_{1,2}$. Они будут "базовыми", исходящими из нуля (начала координат) под нулевым углом. Из них будут набираться нужные $G, F$, типа $G+iF=(X+iY)e^{i\theta}$.

-- 02 июл 2013, 23:20:14 --

balodja в сообщении #742689 писал(а):

Думаю, дальше следует внимательно посмотреть на это семейство кривых и подумать о том, как они зависят от длины и параметров и что именно эти параметры контролируют.

А у меня таких позывов нет. Посмотреть было бы забавно, а думать там не о чем. Ну, чего-то они там контролируют, ну пусть. Имеется весёленький случай $ab<0$, с тремя вершинами и двумя точками перегиба. Они нам всё что угодно отсплайнуют.
Так мне кажется.

"Жаль, что решить ту систему прекрасную
Уж не придётся ни мне, ни тебе..."

[balodja]

Алексей К. в сообщении #742696 писал(а):

Имеется весёленький случай $ab<0$, с тремя вершинами и двумя точками перегиба. Они нам всё что угодно отсплайнуют.
Так мне кажется.

Это что за такой весёленький случай? Я смотрю сейчас на графики кривых при разных a и b и не вижу таких особых наборов параметров.

-- 02.07.2013, 22:41 --

Алексей К. в сообщении #742696 писал(а):

Считаю нехорошим почерком набирать знаменатель как $a-b$ в первом слагаемом, и как $b-a$ во втором.

Весьма резонно, учту.

[Алексей К.]

Ну как же --- при $ab>0$ у нас кривая с одной вершиной и без перегибов, а в противоположном случае --- с тремя вершинами и двумя перегибами между ними.

balodja в сообщении #742699 писал(а):

Я смотрю сейчас на графики кривых при разных a и b

А я пока ленюсь рисованием заняться. Я уже выписал (но оставил на работе) $s$-координаты вершин и экстремальные кривизны.

-- 02 июл 2013, 23:49:14 --

balodja в сообщении #742689 писал(а):

Думаю, дальше следует внимательно посмотреть на это семейство кривых и подумать о том, как они зависят от длины и параметров и что именно эти параметры контролируют.

Возможно, Вам будут небезынтересны мои разглагольствования в этом абзаце (о том, кто кого контролирует):

Алексей К. в сообщении #411318 писал(а):

...Здесь $k,s$ --- кривизна и длина дуги, $F,p_i$ --- параметры, модифицирующие форму кривой...

[balodja]

Ну, раз эти кривые готовы отсплайнить всё, что душе угодно, то в таком случае следует смелее искать способ решить систему и поглядеть уже на это безобразие в реальных условиях. To be continued...

-- 02.07.2013, 23:14 --

Алексей К. в сообщении #742706 писал(а):

Возможно, Вам будут небезынтересны мои разглагольствования в этом абзаце (о том, кто кого контролирует)

Это весьма полезное разглагольствование.

[Алексей К.]

balodja в сообщении #742382 писал(а):

$$ X(s) = s + 2\cfrac {a + b} {a - b}\left[\cfrac{\arctg (a s)}a - \cfrac{\arctg (b s)}b\right]$$

$$ Y(s) = \cfrac {a + b}{a - b}\left[\cfrac{\ln \left(1 + a^2 s^2\right)}a - \cfrac{\ln \left(1 + b^2 s^2\right)}b\right] $$

Вроде я не ошибся, в очередной раз искажая Вашу цитату. Будем считать эти уравнения каноническими для Вашей кривульки ("кривая balodja в каноническом положении").

(Ерунду про асимптоты удалил).

[Алексей К.]

Экстремум кривизны, равный $2(a+b)$, происходит при $s=0$. Кроме того, если $ab<0$, то имеются симметричные вершины при
$s=\pm \dfrac{\sqrt{|a-b|\sqrt{-ab}-ab}}{ab}$ с кривизной $\dfrac{2ab(a+b)}{|a-b|\left(2\sqrt{-ab}+|a-b|\right)}$.

[balodja]

С учётом того, что $\lim \limits _ {s \to +\infty} \cfrac {\arctg a s} a = \cfrac \pi {2 |a|}$, при $s \to +\infty$ получается

$$X(s; a, b) \sim s + \pi \cfrac {a + b} {a - b} \left[ \cfrac 1 {|a|} - \cfrac 1 {|b|} \right] \sim s - \pi \cfrac {(a + b)^2} {a^2 |b| + b^2 |a|} = X_a$$

В свою очередь

$$Y(s; a, b) \sim 2 \cfrac {a + b} {a - b} \left[ \cfrac {\ln {|a s|}} a - \cfrac {\ln {|b s|}} b \right] = 2 \cfrac {a + b} {a - b} \left[ \cfrac {\ln {|a|}} a - \cfrac {\ln {|b|}} b \right] - 2 \cfrac {a + b} {a b} \ln s = Y_a$$

при $s \to +\infty$. Откуда $ \ln s = \cfrac {b \ln {|a|} - a \ln {|b|}} {a - b} - \cfrac {a b Y_a} {2 (a + b)}$ и подставляя в $X_a$ получаем при $s \to +\infty$ асимптоту:

$$X_a = (|a|^b |b|^{-a}) ^ {\frac 1 {a - b}} \cdot \exp \left(- \frac {a b Y_a} {2 (a + b)} \right) - \pi \cfrac {(a + b)^2} {a^2 |b| + b^2 |a|}$$

При рассмотрении асимптотики $s \to -\infty$ получаем:

$$X_a = s + \pi \cfrac {(a + b)^2} {a^2 |b| + b^2 |a|}, Y_a = 2 \cfrac {a + b} {a - b} \left[ \cfrac {\ln {|a|}} a - \cfrac {\ln {|b|}} b \right] - 2 \cfrac {a + b} {a b} \ln {(-s)}$$

$$X_a = -(|a|^b |b|^{-a}) ^ {\frac 1 {a - b}} \cdot \exp \left(- \frac {a b Y_a} {2 (a + b)} \right) + \pi \cfrac {(a + b)^2} {a^2 |b| + b^2 |a|}$$

В общем, та же экспонента, только развёрнута в другую сторону.

[Алексей К.]

Асимптот, видимо, нет (я удалил ту ерунду, потом Ваш ответ увидел).
Это я поспешный вывод сделал: стремление кривизны к нулю не означает стремления к прямой (а я давно не тренировался, часто глупости пишу). Извините, что подтолкнул Вас к подвигам с какими-то пределами.

-- 03 июл 2013, 17:52:26 --

Вот, кажется лопухнулся, когда считал уравнения и неизвестные. Для каждого участка "сплайна" надо будет искать начало $u_i$ и конец $v_i$ дуги на некой кривой, а не $s_i=v_i-u_i$, как я это себе вообразил почему-то.

А семейство Ваших кривых выглядит так:



Нарисована только правая ветвь ($s\ge 0$).
Семейство сделано для $a+b=const$; тем самым все кривые имеют в нуле общий круг кривизны (показанный пунктиром).
Красная --- $a=b>0$,
синие --- $a>b>0$,
фиолетовая --- $a>b=0$,
зелёные --- $a>0>b$,

[balodja]

Ну. почему же глупость. Асимптотой не всегда прямую называют, вполне рассматривают и криволинейную. Это тоже много интересного говорит о кривой.

[Алексей К.]

Уж не знаю, до чего мы там дойдём со сплайнами, но в этом вопросе мне всё же ближе позиция участника ewert. Пока этим не занялись вплотную, от своих комментариев к вопросу воздержусь. И как-нибудь постараюсь выцарапать из ТС, зачем ему это нужно. (Сравню со своей гипотезой).

А пока я проконстатирую, что случился интересный byproduct в виде кривой, натуральное уравнение и натуральная параметризация которой выражаются в элементарных функциях. Мне такие штуки кажутся достойными хотя бы коллекционирования.

balodja,
на моей памяти это второй такой случай на форуме. Первый здесь. Полагаю Вам это тоже будет интересно.