2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Интерполяция кривой натурально параметризованными сплайнами
Сообщение02.07.2013, 15:48 


29/09/06
4552
Запишите, если не лень. Глянем, как будет выглядеть случай $a=b$. Тоже, конечно, надо будет к пределу переходить, но может он там будет каким-то явным замечательным пределом.
А я их тем временем порисую. И пусть меня лишат премии.
(передумал, потом порисую)

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяция кривой натурально параметризованными сплайнами
Сообщение02.07.2013, 17:33 


30/01/12
30
Рассмотрение в чуть более комплексной постановке приводит к более интересным формулам. Как и прежде $Z(s) = X(s) + i Y(s) = \int e^{i\tau(s)} d s$, где $\tau(s) = 2 \arctg {a s} + 2 \arctg {b s}$. Далее:
$$ Z(s) = \int e^{2i \arctg{a s} + 2i \arctg{b s}} d s = \int e^{2i \arctg{a s}} e^{2i \arctg{b s}} d s$$

Если внимательно посмотреть на множители в отдельности, то: $ e^{2i \arctg{a s}} = \cfrac {1 - (a s)^2} {1 + (a s)^2} + i \cfrac {2 a s} {1 + (a s)^2} = \cfrac {1 + i a s} {1 - i a s}$. То есть чисто дробно-линейная функция. А интеграл от произведения дробно-линейных функций -- вещь тривиальная.

$$ Z(s) = \int \cfrac {1 + i a s} {1 - i a s} \cdot \cfrac {1 + i b s} {1 - i b s} d s = \int \left( \cfrac A {1 - i a s} + \cfrac B {1 - i b s} \right) d s$$

Где $ A = \left( P(s) (1 - i a s) \right) _ {s = \frac {-i} a} = 2 \cfrac {1 + \frac b a} {1 - \frac b a} = 2 \cfrac {a + b} {a - b}$, аналогично $ B = 2 \cfrac {a + b} {b - a} $. Коэффициенты в разложении на элементарные дроби получились действительными, что приятно. Можно интегрировать дальше.

$$ \int \cfrac {d s} {1 - i a s} = \frac 1 a \arctg {a s} + \frac i {2 a} \ln (1 + a^2 s^2) + C$$

Подставляя это дело в исходный интеграл вместе с коэффициентами $A$ и $B$ получаем те же формулы, что и раньше, только более прямым путём. Более того, такой подход элементарнейше обобщается на более, чем два, слагаемых в $\tau(s)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяция кривой натурально параметризованными сплайнами
Сообщение02.07.2013, 20:57 


30/01/12
30
Ошибочка. Вместо $$ Z(s) = \int \cfrac {1 + i a s} {1 - i a s} \cdot \cfrac {1 + i b s} {1 - i b s} d s = \int \left( \cfrac A {1 - i a s} + \cfrac B {1 - i b s} \right) d s$$ следует читать $$ Z(s) = \int \cfrac {1 + i a s} {1 - i a s} \cdot \cfrac {1 + i b s} {1 - i b s} d s = \int \left(1 + \cfrac A {1 - i a s} + \cfrac B {1 - i b s} \right) d s$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяция кривой натурально параметризованными сплайнами
Сообщение02.07.2013, 21:21 


29/09/06
4552
..., где $A=B=2\frac{a+b}{a-b}$? Да?

И чо, дальше будем делать? Будем выписывать эту страшную систему нелине трансцендентных уравнений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяция кривой натурально параметризованными сплайнами
Сообщение02.07.2013, 21:48 


30/01/12
30
Думаю, дальше следует внимательно посмотреть на это семейство кривых и подумать о том, как они зависят от длины и параметров и что именно эти параметры контролируют. Ну и потом уже пытаться решить вопрос о сращивании производных в узлах.

P.S. $ B = -A$

 Профиль  
                  
 
 О каллиграфии.
Сообщение02.07.2013, 22:10 


29/09/06
4552
balodja в сообщении #742689 писал(а):
P.S. $ B = -A$

А это зря. Для таких вещей проще (нагляднее, технологичнее, етц) иметь одну буковку, например, $K=A$, а вместо B писать -K. Считаю нехорошим почерком набирать знаменатель как $a-b$ в первом слагаемом, и как $b-a$ во втором.

Для дальнейших выкладок будем, видимо, использовать ранее определённые $X(s;a,b),Y(s;a,b)$, с обнулёнными $C_{1,2}$. Они будут "базовыми", исходящими из нуля (начала координат) под нулевым углом. Из них будут набираться нужные $G, F$, типа $G+iF=(X+iY)e^{i\theta}$.

-- 02 июл 2013, 23:20:14 --

balodja в сообщении #742689 писал(а):
Думаю, дальше следует внимательно посмотреть на это семейство кривых и подумать о том, как они зависят от длины и параметров и что именно эти параметры контролируют.

А у меня таких позывов нет. Посмотреть было бы забавно, а думать там не о чем. Ну, чего-то они там контролируют, ну пусть. Имеется весёленький случай $ab<0$, с тремя вершинами и двумя точками перегиба. Они нам всё что угодно отсплайнуют.
Так мне кажется.

"Жаль, что решить ту систему прекрасную
Уж не придётся ни мне, ни тебе..."

 Профиль  
                  
 
 Re: О каллиграфии.
Сообщение02.07.2013, 22:26 


30/01/12
30
Алексей К. в сообщении #742696 писал(а):
Имеется весёленький случай $ab<0$, с тремя вершинами и двумя точками перегиба. Они нам всё что угодно отсплайнуют.
Так мне кажется.

Это что за такой весёленький случай? Я смотрю сейчас на графики кривых при разных a и b и не вижу таких особых наборов параметров.

-- 02.07.2013, 22:41 --

Алексей К. в сообщении #742696 писал(а):
Считаю нехорошим почерком набирать знаменатель как $a-b$ в первом слагаемом, и как $b-a$ во втором.
Весьма резонно, учту.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяция кривой натурально параметризованными сплайнами
Сообщение02.07.2013, 22:48 


29/09/06
4552
Ну как же --- при $ab>0$ у нас кривая с одной вершиной и без перегибов, а в противоположном случае --- с тремя вершинами и двумя перегибами между ними.
balodja в сообщении #742699 писал(а):
Я смотрю сейчас на графики кривых при разных a и b

А я пока ленюсь рисованием заняться. Я уже выписал (но оставил на работе) $s$-координаты вершин и экстремальные кривизны.

-- 02 июл 2013, 23:49:14 --

balodja в сообщении #742689 писал(а):
Думаю, дальше следует внимательно посмотреть на это семейство кривых и подумать о том, как они зависят от длины и параметров и что именно эти параметры контролируют.
Возможно, Вам будут небезынтересны мои разглагольствования в этом абзаце (о том, кто кого контролирует):
Алексей К. в сообщении #411318 писал(а):
...Здесь $k,s$ --- кривизна и длина дуги, $F,p_i$ --- параметры, модифицирующие форму кривой...

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяция кривой натурально параметризованными сплайнами
Сообщение02.07.2013, 23:01 


30/01/12
30
Ну, раз эти кривые готовы отсплайнить всё, что душе угодно, то в таком случае следует смелее искать способ решить систему и поглядеть уже на это безобразие в реальных условиях. To be continued...

-- 02.07.2013, 23:14 --

Алексей К. в сообщении #742706 писал(а):
Возможно, Вам будут небезынтересны мои разглагольствования в этом абзаце (о том, кто кого контролирует)
Это весьма полезное разглагольствование.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяция кривой натурально параметризованными сплайнами
Сообщение02.07.2013, 23:34 


29/09/06
4552
balodja в сообщении #742382 писал(а):
$$ X(s) = s + 2\cfrac {a + b} {a - b}\left[\cfrac{\arctg (a s)}a - \cfrac{\arctg (b s)}b\right]$$ $$ Y(s) =  \cfrac {a + b}{a - b}\left[\cfrac{\ln \left(1 + a^2 s^2\right)}a - \cfrac{\ln \left(1 + b^2 s^2\right)}b\right] $$
Вроде я не ошибся, в очередной раз искажая Вашу цитату. Будем считать эти уравнения каноническими для Вашей кривульки ("кривая balodja в каноническом положении").

(Ерунду про асимптоты удалил).

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяция кривой натурально параметризованными сплайнами
Сообщение03.07.2013, 13:54 


29/09/06
4552
Экстремум кривизны, равный $2(a+b)$, происходит при $s=0$. Кроме того, если $ab<0$, то имеются симметричные вершины при
$s=\pm \dfrac{\sqrt{|a-b|\sqrt{-ab}-ab}}{ab}$ с кривизной $\dfrac{2ab(a+b)}{|a-b|\left(2\sqrt{-ab}+|a-b|\right)}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяция кривой натурально параметризованными сплайнами
Сообщение03.07.2013, 14:52 


30/01/12
30
С учётом того, что $\lim \limits _ {s \to +\infty} \cfrac {\arctg a s} a = \cfrac \pi {2 |a|}$, при $s \to +\infty$ получается $$X(s; a, b) \sim s + \pi \cfrac {a + b} {a - b} \left[ \cfrac 1 {|a|} - \cfrac 1 {|b|} \right] \sim s - \pi \cfrac {(a + b)^2} {a^2 |b| + b^2 |a|} = X_a$$
В свою очередь $$Y(s; a, b) \sim 2 \cfrac {a + b} {a - b} \left[ \cfrac {\ln {|a s|}} a - \cfrac {\ln {|b s|}} b \right] = 2 \cfrac {a + b} {a - b} \left[ \cfrac {\ln {|a|}} a - \cfrac {\ln {|b|}} b \right] - 2 \cfrac {a + b} {a b} \ln s = Y_a$$ при $s \to +\infty$. Откуда $ \ln s = \cfrac {b \ln {|a|} - a \ln {|b|}} {a - b} - \cfrac {a b Y_a} {2 (a + b)}$ и подставляя в $X_a$ получаем при $s \to +\infty$ асимптоту:
$$X_a = (|a|^b |b|^{-a}) ^ {\frac 1 {a - b}} \cdot \exp \left(- \frac {a b Y_a} {2 (a + b)} \right) - \pi \cfrac {(a + b)^2} {a^2 |b| + b^2 |a|}$$

При рассмотрении асимптотики $s \to -\infty$ получаем: $$X_a = s + \pi \cfrac {(a + b)^2} {a^2 |b| + b^2 |a|}, Y_a = 2 \cfrac {a + b} {a - b} \left[ \cfrac {\ln {|a|}} a - \cfrac {\ln {|b|}} b \right] - 2 \cfrac {a + b} {a b} \ln {(-s)}$$ $$X_a = -(|a|^b |b|^{-a}) ^ {\frac 1 {a - b}} \cdot \exp \left(- \frac {a b Y_a} {2 (a + b)} \right) + \pi \cfrac {(a + b)^2} {a^2 |b| + b^2 |a|}$$
В общем, та же экспонента, только развёрнута в другую сторону.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяция кривой натурально параметризованными сплайнами
Сообщение03.07.2013, 16:09 


29/09/06
4552
Асимптот, видимо, нет (я удалил ту ерунду, потом Ваш ответ увидел).
Это я поспешный вывод сделал: стремление кривизны к нулю не означает стремления к прямой (а я давно не тренировался, часто глупости пишу). Извините, что подтолкнул Вас к подвигам с какими-то пределами.

-- 03 июл 2013, 17:52:26 --

Вот, кажется лопухнулся, когда считал уравнения и неизвестные. Для каждого участка "сплайна" надо будет искать начало $u_i$ и конец $v_i$ дуги на некой кривой, а не $s_i=v_i-u_i$, как я это себе вообразил почему-то.

А семейство Ваших кривых выглядит так:

Изображение

Нарисована только правая ветвь ($s\ge 0$).
Семейство сделано для $a+b=const$; тем самым все кривые имеют в нуле общий круг кривизны (показанный пунктиром).
Красная --- $a=b>0$,
синие --- $a>b>0$,
фиолетовая --- $a>b=0$,
зелёные --- $a>0>b$,

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяция кривой натурально параметризованными сплайнами
Сообщение03.07.2013, 17:26 


30/01/12
30
Ну. почему же глупость. Асимптотой не всегда прямую называют, вполне рассматривают и криволинейную. Это тоже много интересного говорит о кривой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяция кривой натурально параметризованными сплайнами
Сообщение03.07.2013, 22:17 


29/09/06
4552
Уж не знаю, до чего мы там дойдём со сплайнами, но в этом вопросе мне всё же ближе позиция участника ewert. Пока этим не занялись вплотную, от своих комментариев к вопросу воздержусь. И как-нибудь постараюсь выцарапать из ТС, зачем ему это нужно. (Сравню со своей гипотезой). :-)

А пока я проконстатирую, что случился интересный byproduct в виде кривой, натуральное уравнение и натуральная параметризация которой выражаются в элементарных функциях. Мне такие штуки кажутся достойными хотя бы коллекционирования. :D

balodja,
на моей памяти это второй такой случай на форуме. Первый здесь. Полагаю Вам это тоже будет интересно. :wink:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 46 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group