Какова физическая природа сил инерции?

[zbl]

Котофеич писал(а):

В произвольной калибровке уравнения Пуанкаре-Котофеича имеют следующий вид:
4. $$\frac {d} {dt} \frac {v _{0}} {\sqrt {v^{2}_{0} -v^{2}}} =\frac {fv} {m}= wv $$

Тут опечатки нет?
Размерности слева и справа не совпадают.

[Котофеич]

Нет там ошибки, просто принято что c=1. Можно и так

$$\frac {d} {dt} \frac {v _{0}} {\sqrt {v^{2}_{0} -v^{2}/c^{2} }} =\frac {fv} {mc^{2}}= wv/c^{2} $$

[zbl]

Котофеич писал(а):

В произвольной калибровке уравнения Пуанкаре-Котофеича имеют следующий вид:
4. $$\frac {d} {dt} \frac {v _{0}} {\sqrt {v^{2}_{0} -v^{2}}} =\frac {fv} {m}= wv $$
5. $$\frac {d} {dt} \frac { v } {\sqrt {v^{2}_{0}-v^{2}}} =\frac {f} {m}= w $$

Изменим единицы измерения скорости.
Левая сторона формулы 5. не изменится, правая -- тоже.
Левая сторона формулы 4. не изменится, правая -- изменится.

Котофеич писал(а):

6. $$ {v_{0}(0)=1 $$

Скользящая перенормировка константы скорости света?
Начинаю въезжать...

Котофеич писал(а):

Постулат часов Фока-Котофеича имеет следующий вид:
7. $$ \tau_{*}(T)= \int _{0}^{T} \sqrt{v^{2}_{0}(t)-v^{2}(t)}} dt $$

Но это убивает однородность времени?
Ведь, $v_0 = 1$ только при $t = 0$; что за выделенный момент времени такой? рождение Вселенной?

[Котофеич]

Не понял, что за проблемы с размерностью и скоростью света
Вот уравнение (4), где t это время в ИСО

$$\frac {d} {dt} \frac {v _{0}(t)} {\sqrt {v^{2}_{0}(t) -v^{2}(t)/c^{2} }} =\frac {f(t)v(t)} {mc^{2}}= w(t)v(t)/c^{2} $$

Функция

$$ {v_{0}(t) $$

принимает безразметрные значения. Это просто скорость
хода часов (времени) в НСО, (расположеных в начале координат НСО, связанной с точечной частицей) по отношению к скорости хода часов (времени) в ИСО, которая постоянна и равна единице. Скорость света в ИСО обычная и равна как всегда с.
В классическом случае, т.е. когда

$$ {v_{0}(t)=1 $$

мы имеем хорошо известное уравнение Пуанкаре:

$$\frac {d} {dt} \frac {1} {\sqrt {1 -v^{2}/c^{2} }} =\frac {fv} {mc^{2}}= wv/c^{2} $$

Начальное условие

$$ {v_{0}(0)=1 $$

означает, только то что движение началось из состояния покоя либо из состояния равномерного прямолинейного движения, и поэтому скорости хода часов в ИСО и НСО при t=0
совпадают.
Скорость частицы

$$ { {V(t)=(v_{0}(t), v(t)) $$

в пространстве Минковского имеет четыре компоненты

$$ { {v_{\mu}(t), \mu=0,1,2,3 $$

или в другой записи

$$ { v_{0}(t), {v_{i}(t), i=1,2,3 $$

Теперь рассмотрим детально формулу

$$ (1).\tau_{*}(T)= \int _{0}^{T} \sqrt{v^{2}_{0}(t)-v^{2}(t)/c^{2}}} dt $$

Эта формула учитывает оба фактора влияющие на эффект замедления времени
1. чисто кинематический фактор, связанный с СТО, который проявляется только при скоростях
близких к скорости света
2.и динамический фактор который связан с влиянием поля инерции.
Рассмотрим случай, когда эффект от СТО принебрежимо мал, т.е.

$$ \tau_{*}(T)=v^{2}(t)/c^{2}<<1 $$

в этом случае формула (1) принимает вид

$$ (2)\tau_{*}(T) \approx \int _{0}^{T} v_{0}(t) dt $$

[zbl]

Котофеич писал(а):

Функция

$$ {v_{0}(t) $$

принимает безразметрные значения. Это просто скорость хода часов, расположеных в начале координат НСО, связанной с точечной частицей.

А $v$, тогда, скорость чего?

Котофеич писал(а):

Начальное условие

$$ {v_{0}(0)=1 $$

означает, только то что движение началось из состояния покоя либо из состояния равномерного прямолинейного и поэтому скорости хода часов в ИСО и НСО при t=0 совпадают.

А-а, это момент, когда НСО покоилась...

[Котофеич]

zbl писал(а):

Котофеич писал(а):

Функция

$$ {v_{0}(t) $$

принимает безразметрные значения. Это просто скорость хода часов, расположеных в начале координат НСО, связанной с точечной частицей.

А $v$, тогда, скорость чего?

$v$ это обычная пространственная 3-скорость

$$ {v_{i}(t), i=1,2,3 $$

в классическом случае ее принято определять из системы трех диф.уравнений полученых еще
Пуанкаре и Планком при царе Горохе

$$\frac {d} {dt} \frac {v} {\sqrt {1-v^{2}}} =\frac {f} {m}= w $$

Ответ вообще говоря будет неверным.
Правильный ответ получается в результате решений системы 4-х диф.уравнений
Пуанкаре-Котофеича (с=1):
(1). $$\frac {d} {dt} \frac {v _{0} } {\sqrt {v^{2}_{0} -v^{2}}} =\frac {fv} {m v _{0}}= wv / v _{0} $$
(2)-(4). $$\frac {d} {dt} \frac { v } {\sqrt {v^{2}_{0}-v^{2}}} =\frac {f} {m}= w $$
с начальными условиями
(5).$$ {v_{0}(0)=1 $$
(6). $$ {v(0)=v_{*} $$

zbl писал(а):

Котофеич писал(а):

Начальное условие

$$ {v_{0}(0)=1 $$

означает, только то что движение началось из состояния покоя либо из состояния равномерного прямолинейного и поэтому скорости хода часов в ИСО и НСО при t=0 совпадают.

А-а, это момент, когда НСО покоилась...

Покоилась или двигалась равномерно с постоянной скоростью

$$ {v(0)=v_{*} $$

По поводу этого дела есть т.н. часто задаваемые вопросы
1. А скажите пожалуйста Котофеич, как же тогда наши любимые ускорители работают, ежели их расчет проводился согласно непрвильным уравнениям Пуанкаре

[zbl]

Котофеич писал(а):

zbl писал(а):

А $v$, тогда, скорость чего?

$v$ это обычная пространственная 3-скорость

Теперь, я хоть что-то стал понимать.
Нет смысла 3-вектором скорости отсвечивать, стоит положить её вдоль оси X.
Тогда лучше писать $v_t$ и $v_x$, а не $v_0$ и $v$.

Вопрос остался: та частица, скорость которой $v_x$, где находится? в начале координат подвижной системы (НСО)?
Иначе говоря, $v_x$ относительно чего?

Котофеич писал(а):

в классическом случае ее принято определять из системы трех диф.уравнений полученых еще Пуанкаре и Планком при царе Горохе :D

$$\frac {d} {dt} \frac {v} {\sqrt {1-v^{2}}} =\frac {f} {m}= w $$

Замечу, что эти уравнения записаны относительно неподвижной ИСО.

Котофеич писал(а):

Правильный ответ получается в результате решений системы 4-х диф.уравнений
Пуанкаре-Котофеича (с=1):
(1). $$\frac {d} {dt} \frac {v _{0}} {\sqrt {v^{2}_{0} -v^{2}}} =\frac {fv} {m}= wv $$
(2)-(4). $$\frac {d} {dt} \frac { v } {\sqrt {v^{2}_{0}-v^{2}}} =\frac {f} {m}= w $$

$v_0$ (которая $v_t$) имеет размерность (скорости).
Хоть мы и кладём $c$ в $1$, от того мало что меняется.
Мы можем поменять единицы скорости, например, измерять её не в единицах скорости света, а в половинах скорости света.
Тогда все значения всех скоростей во всех формулах увеличатся вдвое.
Сила и масса останутся теми же.
Если посмотреть на творение рук Пуанкаре, то заметно, что левая часть не меняется при именении единиц скорости и правая часть не меняется (единичка станет четвёркой в $(1 - v^2)$).
Так же работает и второе уравнение Котофеича.
Но вот с первым всё не так: правая часть меняется, а левая нет.

Котофеич писал(а):

По поводу этого дела есть т.н. часто задаваемые вопросы
1. А скажите пожалуйста Котофеич, как же тогда наши любимые ускорители работают, ежели их расчет проводился согласно непрвильным уравнениям Пуанкаре?

Если хотите, я переформулирую его: как в теории Котофеича выглядит предельный переход от макро тел к точечным частицам?

[Котофеич]

zbl писал(а):

Вопрос остался: та частица, скорость которой $v_x$, где находится? в начале координат подвижной системы (НСО)?
Иначе говоря, $v_x$ относительно чего?

Относительно неподвижной ИСО.

Котофеич писал(а):

в классическом случае ее принято определять из системы трех диф.уравнений полученых еще Пуанкаре и Планком при царе Горохе

$$\frac {d} {dt} \frac {v} {\sqrt {1-v^{2}}} =\frac {f} {m}= w $$

Замечу, что эти уравнения записаны относительно неподвижной ИСО.

zbl писал(а):

$v_0$ (которая $v_t$) имеет размерность (скорости).

Ничего подобного.Это величина безразмерная, точно также как и в классическом случае. Запишите выражение для обобщенной 4-х скорости в явном виде, тогда сами увидите. Только не забудьте, что теперь у Вас

$$ ds= \sqrt{c^{2}v^{2}_{0}(t)-v^{2}(t) } $$

Посмотрите также для случая классики в учебнике Логунова.
Лекции по теории относительности и графитации
http://lib.mexmat.ru/books/6505
Там есть и жизненные примеры. Только про графитацию там ничего читать не стоит.

У Пуанкаре, кстати тоже было 4 уравнения :
1. $$\frac {d} {dt} \frac {1} {\sqrt {1-v^{2}}} =\frac {fv} {m}= wv $$
2-4. $$\frac {d} {dt} \frac {v} {\sqrt {1-v^{2}}} =\frac {f} {m}= w $$
Как хорошо известно, уравнения 1 и 2-4 не являются независимыми и уравнение 1 тривиально
следует из уравнений 2-4. http://lib.mexmat.ru/books/6505
В этом и заключается принципиальное отличие общей теории от классической.

[zbl]

Котофеич писал(а):

zbl писал(а):

$v_0$ (которая $v_t$) имеет размерность (скорости).

Ничего подобного.Это величина безразмерная, точно также как и в классическом случае.

Если $v_t$ безразмерная (число), то она с $v_x$, которая размерная (скорость), 4-вектора составить не сможет.

Котофеич писал(а):

Запишите выражение для обобщенной 4-х скорости в явном виде, тогда сами увидите.

Попробую:

$$u_t = \frac{1}{\sqrt{1 - {v_x}^2}}$$

$$u_x = \frac{v_x}{\sqrt{1 - {v_x}^2}}$$

Что дальше? она вся безразмерная...

Котофеич писал(а):

У Пуанкаре, кстати тоже было 4 уравнения :
1. $$\frac {d} {dt} \frac {1} {\sqrt {1-v^{2}}} =\frac {fv} {m}= wv $$
2-4. $$\frac {d} {dt} \frac {v} {\sqrt {1-v^{2}}} =\frac {f} {m}= w $$

Первое уравнение странное... нет опечатки?

[Котофеич]

zbl писал(а):

Если $v_t$ безразмерная (число), то она с $v_x$, которая размерная (скорость), 4-вектора составить не сможет.

Да не сможет. Но Вам это сейчас не нужно. Речь только о $v_t$
Впрочем не составляет труда выписать выражение для обобщенной 4-х скорости в явном виде :

$$u_t = \frac{iv_t}{\sqrt{v^{2}_t - {v_x}^2}}$$

$$u_x = \frac{v_x}{\sqrt{v^{2}_t - {v_x}^2}}$$

Или чтобы совсем понятно было:

$$u_t = \frac{iv_t}{\sqrt{v^{2}_t - {v_x}^2/c^{2} }} $$

$$u_x = \frac{v_x}{c \sqrt {v^{2}_t - {v_x}^2 /c^{2} }}$$

Так что имеется 4-вектор, все компоненты которого безразмерны:

$$U=(u_t , v_x)$$

zbl писал(а):

Первое уравнение странное... нет опечатки?

Нет. В этой части книжки, у академика нет ошибок. Это уравнение в обычных книжках
отсутствует, за не надобностью. Вот по этому оно и кажется странным. В основном его
знают только великие теоретики. Ну там Пуанкаре , Планк , Котофеич и прикнувший к ним академик Логунов .
У Логунова, это уравнение имеет вид

$$m_{0}\frac {d} {dt} \frac {1} {\sqrt {1 -v^{2}/c^{2} }} =\frac {fv} {c^{2}} $$

и числится под номером (19.7). В нерелятивистском пределе имеем уравнение великого Ньютона

$$\frac {d} {dt}( m_{0}v^{2}/2 } ) = {fv} $$

Так что нет там никакой описки. Академик не имеет права описаца. У него просто работа такая.
Тем более, что это уравнение он просто передрал из статьи Пуанкаре или у Планка.
Из моей теории следует, что теория великого Ньютона не работает не только при больших скоростях, но и при больших ускорениях тоже не работает.

[zbl]

Котофеич писал(а):

У Логунова, это уравнение имеет вид

$$m_{0}\frac {d} {dt} \frac {1} {\sqrt {1 -v^{2}/c^{2} }} =\frac {fv} {c^{2}} $$

и числится под номером (19.7). В нерелятивистском пределе имеем уравнение великого Ньютона

$$\frac {d} {dt}( m_{0}v^{2}/2 } ) = {fv} $$

Вот теперь понятно.
Тут справа модуль скорости, а размерность была не в порядке, потому что я не заметил $c^2$ в правой части.

Но Ваше утверждение, что одно из другого следует верно только, если скорость направлена по оси X и изменяется только по величине, но не по направлению.
Мы, правда, тот случай и рассматриваем.

Я про перенормировку скорости света упоминал потому, что замена $\sqrt{1 - v^2}$ на $\sqrt{v_t^2 - v^2}$ эквивалентна замене $c$ на $v_t$.

Теперь уместно спросить каков физсмысл $v_t$, если она не есть перенормировка скорости света?
Соответственно, сразу встанет вопрос о предельном переходе к случаю точечной частицы.

[Котофеич]

Уравнение Пуанкаре-Котофеича, описует и точечные частицы и не точечные, т.е. даже
кирпичи или вагон-нло, в котором как Вы предположили и родился Ваш опонент.
Я уже говорил, что классическое уравнение Пуанкаре, вообще говоря неверное.
Ваш вопрос тогда нужно ставить так: а скажите пожалуйста Котофеич, как же тогда наши любимые ускорители работают, ежели их расчет проводился согласно непрвильным уравнениям Пуанкаре
Что касается замены $\sqrt{c^2 - v_{x}^2}$ на $\sqrt{c^2v_t^2 - v_{x}^2}$ то она действительно формально эквивалентна замене $c$ на $cv_t$ или как говорят физики, это мультипликативная перенормировка фисической величины $c$
Это дело можно интерпретировать двояко...

[zbl]

Котофеич писал(а):

Ваш вопрос тогда нужно ставить так: а скажите пожалуйста Котофеич, как же тогда наши любимые ускорители работают, ежели их расчет проводился согласно непрвильным уравнениям Пуанкаре?

Понятие правильные уравнения само по себе подразумевает, что, если по ним делать ускоритель, то он будет работать.
Уравнения Пуанкаре правильные, но это не значит, что не может быть других правильных уравнений.
Другие правильные уравнения могут быть, например, точнее уравнений Пуанкаре.
Но в любом случае обязан существовать предельный переход от уравнений Котофеича к уравнениям Пуанкаре, причём важен не только его матвид, ни и, что особенно, физсмысл.

[Котофеич]

Простого предельного перехода от кошачьих уравнений к уравнениям Пуанкаре не существует. Эти злополучные уравнения Пуанкаре-Планка, в общем случае дают неверный ответ даже для точечной частицы. Просто есть случаи и их достаточно много, когда решения этих уравнений совпадают либо почти совпадают с решениями кошачьих уравнений. Все зависит от того каким образом задается внешняя сила. Если функционал (действие) $S=\int(q,dq/dt) dt$, задающий соответствующее взаимодействие частицы с некоторым внешним полем, обладает свойством репараметризационной инвариантности, то при не очень ограничительных условиях на функцию

$$ {v_{0}(t) ,$$

полученную в результате решений системы диф.уравнений Пуанкаре-Котофеича (с=1):
(1). $$\frac {d} {dt} \frac {v _{0}} {\sqrt {v^{2}_{0} -v^{2}}} =\frac {fv} {mv _{0} }= wv/v _{0} $$
(2)-(4). $$\frac {d} {dt} \frac { v } {\sqrt {v^{2}_{0}-v^{2}}} =\frac {f} {m}= w $$
оба типа уравнений просто эквивалентны (нужно чтобы эта функция

$$ {v_{0}(t) ,$$

была монотонной, на соответствующем временном промежутке

$$0< t<T ,$$

). Например это будет так ежели заряженная частица, движется в электромагнитном или в гравитационном поле.
Позже я рассмотрю эти случаи подробно, чтобы можно было видеть что там происходит и почему это так. Однако если вышеуказанные условия не выполняются, то даже для постоянной силы классические уравнения дают неверный ответ. Уравнения простые, так что
если хотите посчитайте на компе и сами увидите кагда и как решения отличаются.
Таким образом формула или как ее называют закон релятивистского равноускоренного движения в случае произвольного тела, приведенная в учебниках (наприме у Логунова http://lib.mexmat.ru/books/6505 эта формула числится под номером 19.13-19.14 ) является ошибочной Другими словами это не закон, а так назвали для пущей важности. Но академик разумеется не виноват в этом, потому что эта ошибка не его, а Пуанкаре и Планка. Вообще как говорят в народе, если передираешь что нить у когонить, то передирай с умом.
Потом я так понял, что Вам ясно или почти ясно, как получены уравнения 1-4

[zbl]

Котофеич писал(а):

Потом я так понял, что Вам ясно или почти ясно, как получены уравнения 1-4?

Нет, мне не понятен физсмысл $v_t$.
Да и точнее говорить об уравнениях 1-2 а не 1-4, то есть частном случае, когда 3-скорость направлена по одной из осей и изменяется только по величине, но не по направлению.