Какова физическая природа сил инерции?

[Котофеич]

В некоторм смысле это так и есть.

[PSP]

Котофеич писал(а):

:evil: В некоторм смысле это так и есть.

Прекрасно, мыс вами пришли к общему мнению, весь вопрос только в том, у кого какой смысл...

[Котофеич]

У Вас

В силу полученного ранее тождества

16.$$ ds = \sqrt{c^{2}dt^{2}-dx_{i}^{2} }+ (w/c)x_{1}dt $$,

для квадрата дифференциала длины дуги мы имеем выражение

17.$$ ds^{2} =[ \sqrt{c^{2}dt^{2}-dx_{i}^{2} }+ (w/c)x_{1}dt ] ^{2} $$.

Возводя правую часть тождества (17) в квадрат, окончательно получим

18.$$ ds^{2} = c^{2}dt^{2}-dx_{i}^{2} +2(w/c)x_{1}dt{\sqrt{c^{2}dt^{2}-dx_{i}^{2} } }+ (w/c) ^{2}x^{2}_{1}dt ^{2} $$.

Или

19.$$ ds^{2}= ds_{F}^{2} = [c^{2}+ (w/c) ^{2}x^{2}_{1}]dt^{2} - dx_{1}^{2}- dx_{2}^{2}- dx_{3}^{2} +2(w/c)x_{1}dt{\sqrt{c^{2}dt^{2}-dx_{i}^{2}}+ (w/c) ^{2}x^{2}_{1}dt ^{2} $$.
Следует подчеркнуть, что метрика (19) не риманова, а финслерова.
С теорией таких метрик можно ознакомиться по книжкам
http://www.math.iupui.edu/~zshen/Research/books.html
In 1854, B Riemann introduced the notion of curvature for spaces with a family of inner products. There was no significant progress in the general case until 1918, when P Finsler studied the variation problem in regular metric spaces. Around 1926, L Berwald extended Riemann's notion of curvature to regular metric spaces and introduced an important non-Riemannian curvature using his connection for regular metrics. Since then, Finsler geometry has developed steadily. In his Paris address in 1900, D Hilbert formulated 23 problems, the 4th and 23rd problems being in Finsler's category. Finsler geometry has broader applications in many areas of science and will continue to develop through the efforts of many geometers around the world.
http://www.math.iupui.edu/~zshen/Resear ... index.html
На русском есть также
http://lib.mexmat.ru/books/2439
Дифференциальная геометрия финслеровых пространств
Автор: Рунд Х.
Аннотация:
Книга представляет собой систематическое изложение классической финслеровой геометрии. Финслерова геометрия является непосредственным обобщением римановой геометрии. Она находит широкое применение в теории относительности.

[PSP]

Котофеич писал(а):

У Вас

Посмотрите
здесь последний на данной странице мой пост

[Котофеич]

Таким образом в постньютоновском приближении метрика НСО имеет следующий вид:

19.$$ ds_{F}^{2} = [c^{2}+ (w/c) ^{2}x^{2}_{1}]dt^{2} - dx_{1}^{2}- dx_{2}^{2}- dx_{3}^{2} +2(w/c)x_{1}dt\sqrt{c^{2}dt^{2}-dx_{i}^{2}} + (w/c) ^{2}x^{2}_{1}dt ^{2} $ $.

Преобразуем теперь выражение:

20. $$ 2(w/c)x_{1}dt\sqrt{c^{2}dt^{2}-dx_{i}^{2}} = 2(wx_{1}) dt^{2} \sqrt{1-v_{i}^{2} /c^{2} $$.

Для этого воспользуемся разложением в ряд:

21.$$dt^{2} \sqrt{1- v_{i}^{2}(t) /c^{2} }= dt^{2} (1- v_{i}^{2}(t) /2c^{2} +... )= dt^{2}-dx_{i}^{2} /2c^{2}+... $$.





Таким образом после подстановки правой части (21) в (20) имеем:

22.$$ 2(w/c)x_{1}(t)dt\sqrt{c^{2}dt^{2}-dx_{i}^{2}} = 2(wx_{1}(t)) dt^{2} \sqrt{1-v_{i}^{2}(t) /c^{2}} = 2(wx_{1}(t)) (dt^{2} - dx_{i}^{2} /2c^{2} +... ) \approx 2(wx_{1}) dt^{2} - (wx_{1}/c^{2} )dx_{i}^{2} $$.

После подстановки правой части (22) в (19) имеем:

23.$$ ds_{F}^{2} \approx [c^{2} +2(wx_{1}) + (wx_{1}/c) ^{2} ]dt^{2} -(1+wx_{1}/c^{2} )(dx_{1}^{2}+ dx_{2}^{2}+ dx_{3}^{2} ) $ $.
Таким образом финслерова метрика (19) в постньютоновском приближении с хорошей точностью апроксиммируется римановой метрикой следующего вида:
24.$$ ds_{R}^{2} = [c^{2} +2(wx_{1}) + (wx_{1}/c) ^{2} ]dt^{2} -(1+wx_{1}/c^{2} )(dx_{1}^{2}+ dx_{2}^{2}+ dx_{3}^{2} ) $ $.

[Котофеич]

Запишем метрику (24)
24.$$ ds_{R}^{2} = [c^{2} +2(wx_{1}) + (wx_{1}/c) ^{2} ]dt^{2} -(1+wx_{1}/c^{2} )(dx_{1}^{2}+ dx_{2}^{2}+ dx_{3}^{2} ) $ $.
в канонической форме, содержащей ньютоновский потенциал
25.$$ U=-wx_{1} $ $.
Подстановка (25) в (24) дает следующее выражение
26.$$ ds_{R}^{2} = [c^{2} -2U + (U/c) ^{2} ]dt^{2} -(1-U/c^{2} )(dx_{1}^{2}+ dx_{2}^{2}+ dx_{3}^{2} ) $ $.

[Котофеич]

Теперь сравним выражение (26), с метрикой НСО, которая получена исходя из эйнштейновского ПЭ.
http://lanl.arxiv.org/abs/gr-qc/0212053v1
Einstein’s Equivalence Principle asserts that physical phenomena occuring in a laboratory which
undergoes constant acceleration through gravity-free inertial space should be identical in all
respects to that which occurs in local gravity.
http://relativity.livingreviews.org/ope ... node3.html
Классическая формула приведена здесь
http://lib.world-mobile.net/different/w ... m=&ucat=6&

[zbl]

Котофеич писал(а):

Итак продолжим после длительного перерыва.

Присоединяюсь, но пока не дочитал ветку до конца.

Котофеич писал(а):

Выпишем лагранжиан из которого следуют уравнения движения великого Ньютона:
1. $$ f(t) =m\frac {d^{2}x(t)} {dt^2} $$.

Первый вопрос в том, что тут будет считаться обобщёнными координатами (по которым будем варьировать лагранжиан), а что внешними параметрами (которые оставим в покое)?
Второй вопрос: что будет входить в состояние системы, а что будет внешним воздействием на неё?

Котофеич писал(а):

Предположим что сила

$$f(t)$$

не зависит явным образом от координаты

$$ x(t)} $$

и ее производных по времени.

Если сила не есть часть состояния, то это означает, что система находится в однородном внешнем поле (но не стационарном, ибо $f$ зависит от времени).

Котофеич писал(а):

Лагранжиан имеет следующий простой вид:

$$2. L(t) = L_{0}+U[x(t),x(0)] $$

.

$$3. L_{0}=\frac{m}{2}\left(\frac {dx(t)} {dt}\right)^{2}$$

.

$$4. U[x(t),x(0)] = (f(t),[x(t)-x(0)]) $$

.
5.\delta$ \int _{0}^{T} L(t) dt$=0
Уравнения движения (1), тривиально следуют из вариационного принципа (5), при этом физическая природа силы

$$ F(t) $$

не играет никакой роли.

Тем не менее, Вы ввели потенциал силы в (4) (хотя, я плохо понял обозначения: справа скалярное произведение двух векторов, или пространство одномерно, и это опечатка).
Вы можете выбрать любую $U(x)$, и получите некоторую $f(t)$ в левой части уравнений движения (1).
Но те $f(t)$, которые Вы сможете получить таким образом, не охватывают всего множества возможных сил: это будут получаться только лишь силы той физприроды, что они потенциальны.
Для непотенциальных же сил Вы вариационный принцип не построите.
Именно по этой причине сила трения таки выходит за рамки механики как таковой...

Но, я, как уже говорил, не вижу смысла учитывать ещё и непотенциальные силы -- зачем? -- проще остаться в рамках механики.

Добавлено спустя 17 минут 34 секунды:

Котофеич писал(а):

Напомним, что обычные релятивистские уравнения движения предложенные Минковским
6.$$\frac {d} {dt} \frac {1} {\sqrt {1-v^{2}}} =\frac {fv} {m}= wv $$
7. $$\frac {d} {dt} \frac {v} {\sqrt {1-v^{2}}} =\frac {f} {m}= w $$
были получены в результате формальной процедуры релятивизации классических уравнений движения (1) (см. параграф 84) http://lib.mexmat.ru/books/7124

Сечас нет времени уточнять, написано ли там такое, или Вы проторопились с выводами.
Но, извините, это бред...

Котофеич писал(а):

Как хорошо известно, уравнения 1 и 2-4 не являются независимыми и уравнение 6 тривиально следует из системы трех уравнений 7. (см. параграф 19)

Это, разумеется так и есть.

Котофеич писал(а):

Более общие и более точные уравнения мы получим, если подвергнем релятивизации непосредственно сам вариационный принцип
5. $ \delta\int _{0}^{T} L(t) dt$=0.
Для

$$ L_{0}$$

мы имеем следующее выражение

$$ 6. L_{0}=-mc^{2}\sqrt{v^{2}_{0}(t)-v_{i}^{2}(t) /c^{2} } ,i=1,2,3$$

.

Обычное действие для свободной частицы, помнится, $-mc\int{ds}$.
Вы, как я уже мильён раз говорил, меняете $ds$, то бишь -- интервал, то бишь -- долой Минковского.
Либо это выражение обобщает обычное на случай НСО.
Но тогда нужно указать предельный переход к обычной теории (ну, малые ускорения, например) да переход к ИСО из НСО должен превращать Ваши уравнения в уравнения Пуанкаре (с этим, наверное, проблема будет).
Либо Ваши уравнения дают приблизительно те же результаты в ИСО, что и у Пуанкаре.
Но нужно доказать, что разница меньше погрешности современных приборов, да не мешало бы указать ещё и случай, когда она станет заметной, чтобы можно было проверить экспериментально, кто прав.

[AlexDem]

Котофеич Заблокирован - см. над фото...

[zbl]

AlexDem писал(а):

Котофеич Заблокирован - см. над фото...

Не заметил.
Навсегда что ли?...
Или только до превращения в Мышкевича?

[AlexDem]

Да вроде навсегда

[zbl]

AlexDem писал(а):

Да вроде навсегда :roll:

Я раскопал уже причину...

Обсуждение судьбы Котофеича тем относится к теме данной ветки, что без него она имеет мало будущего...

[AlexDem]

Что обсуждать - ответ известен...

[zbl]

AlexDem писал(а):

Что обсуждать - ответ известен...

Мне тут "вечность" этого бана непонятна.
Если человек побезобразничал, а слов порицания не воспринимает, то, понятно, нужно его доступ ограничивать.
Но, если человек безобразничал только в некоторых ветках, а не во всех подряд (данная -- пример), то и ограничить доступ нужно не ко всем веткам.
К тому же, если есть определённое количество заслуг и заступников.
Если человек продолжит безобразничать, то он автоматически сам себя заблокирует.
Потом, сам бан весьма условная мера.
Прорваться через него большого труда не составит (хотя и ничего это особо не даст кроме социальной напряжённости)...

[photon]

photon:

AlexDem, zbl, это не лучшее место для обсуждения решений администрации форума