2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение24.12.2017, 23:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
760
grizzly в сообщении #1277644 писал(а):
Я думаю, что из этой идеи нужно выжать максимум (поискать также трансформации с третьим типом кубоидов и вообще, все возможные попарные варианты -- прямые и обратные). Если этого никто не находил раньше, есть шанс раскопать золотую жилу (а вдруг!).


Вот есть параметрическое решение куббоида Эйлера

$$\[
T^{ - 2} \left( x \right) + T^{ - 2} \left( y \right) = z^2 
\]$

при

$$\[
x = \frac{{2t^2  - 2t - 2}}{{t^2  + 1}}
\]$

$$\[
y = \frac{{1 - 2t}}{{t^2  + 2t}}
\]$

$$\[
z = \frac{{{\rm{2  -  6}}t{\rm{  + }}t^2 {\rm{  +  42}}t^3 {\rm{  +  26}}t^4 {\rm{  -  42}}t^5 {\rm{  + }}t^6 {\rm{ +  6}}t^7 {\rm{  +  2}}t^8 }}{{{\rm{8}}t{\rm{  -  4}}t^2 {\rm{  -  20}}t^3 {\rm{  -  20}}t^5 {\rm{  +  4}}t^6 {\rm{  +  8}}t^7 }}
\]$

Это решение куббоида Эйлера уже не трансформируется в другое решение для куббоида при мнимом параметре. Так что жилой здесь не пахнет. Просто есть интересное свойство некоторых параметрических решений.
И оно не единственное. Вот ещё

$$\[
x = t\frac{{3 - t^2 }}{{1 - 3t^2 }},y = \frac{{3 - t^2 }}{{1 - 3t^2 }},z = \frac{{2 - 30t^2  + 28t^4  + 28t^6  - 30t^8  + 2t^{10} }}{{t\left( {3 - 10t^2  + 3t^4 } \right)^2 }}
\]$

Это параметрическое решение куббоида Эйлера тоже можно трансформировать в решение куббоида с нерациональной стороной.

Но всё-таки понять, почему существует трансформация куббоидов Эйлера в куббоиды с нерациональной стороной можно.
Дело в том, что любой куббоид Эйлера можно трансформировать в куббоид с некоторыми рациональными и мнимыми сторонами и диагоналями с нерациональной одной стороной.

Куббоид Эйлера удовлетворяет следующей системе уравнений

$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 a \\ 
 b \\ 
 c \\ 
 \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
 d_{ab} ^2  = a^2  + b^2  = m^2  \\ 
 d_{ac} ^2  = a^2  + c^2  = k^2  \\ 
 d_{bc} ^2  = b^2  + c^2  = t^2  \\ 
 \end{array} \right. \to d_{abc}  = \sqrt {a^2  + b^2  + c^2 } 
\]$

Эту систему можно переписать следующим образом с мнимой единицей

$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 a' = a \\ 
 b' = b \\ 
 d_{a'b'c'}  = ci \\ 
 \end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l}
 d_{a'b'} ^2  = a^2  + b^2  = m^2  \\ 
 d_{b'c'} ^2  = \left( {ci} \right)^2  - a^2  = \left( {ki} \right)^2  \\ 
 d_{a'c'} ^2  = \left( {ci} \right)^2  - b^2  = \left( {ti} \right)^2  \\ 
 \end{array} \right. \to c' = \sqrt {\left( {ci} \right)^2  - a^2  - b^2 } 
\]$

А это и есть куббоид с рациональными и мнимыми сторонами и диагоналями с нерациональной одной стороной.
В некоторых параметрических решениях получается просто рациональный куббоид с нерациональной стороной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение25.12.2017, 12:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6314
Коровьев в сообщении #1278465 писал(а):
Дело в том, что любой куббоид Эйлера можно трансформировать в куббоид с некоторыми рациональными и мнимыми сторонами и диагоналями с нерациональной одной стороной.
Если эту (тривиальную) трансформацию пустить по кругу, разрешая отрицательные и мнимые величины, то мы через несколько циклов вернёмся в первоначальное состояние. И на каждом цикле набор размеров по модулю остаётся тот же.

А если формально зацикливать остальные трансформации, разрешая мнимые и отрицательные длины, тоже вернёмся на стартовую позицию, верно? И для любого типа трансформации за то же количество шагов? Но даже в этом случае мы можем генерировать бесконечную нетривиальную последовательность совершенных целочисленных кубоидов, имея (гипотетически) на руках один такой кубоид (примитивный). Само по себе это кажется любопытным (с точки зрения дилетанта :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение04.08.2018, 16:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
760
О расширенной задаче Штейнгауза.

1.Расширенная задача Штейнгауза и вывод формул.
Для каких прямоугольников с рациональными сторонами $a,b$ существует рациональная точка (x,y), расстояния от которой до вершин прямоугольника рациональны.
Составим для этой задачи систему уравнений:

$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 x^2  + y^2  = h_1 ^2  \\ 
 \left( {a - x} \right)^2  + \left( {b - y} \right)^2  = h_2 ^2  \\ 
 x^2  + \left( {b - y} \right)^2  = h_3 ^2  \\ 
 \left( {a - x} \right)^2  + y^2  = h_4 ^2  \\ 
 \end{array} \right.
\]$

Утверждение 1.
Если для рациональных $a,b,c$ выполняется соотношение

$$a^2+b^2=c^2$,

то существует единственное рациональное $d$, что

$$\[
a = b\frac{{2h}}{{1 - h^2 }} = bT_h 
\]$

тогда из системы уравнений получим

$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 1.x = yT_m  \\ 
 2.\left( {a - x} \right) = \left( {b - y} \right)T_n  \\ 
 3.x = \left( {b - y} \right)T_k  \\ 
 4.\left( {a - x} \right) = yT_t  \\ 
 \end{array} \right.
\]$

Сложив первое и четвёртое уравнение получим

$$\[
y = a\frac{1}{{T_m  + T_t }},x = a\frac{{T_m }}{{T_m  + T_t }}
\]$

Сложив второе и третье уравнение получим

$$\[
b - y = a\frac{1}{{T_k  + T_n }},x = a\frac{{T_k }}{{T_k  + T_n }}
\]$

Из них находим $b$

$$\[
b = a\left( {\frac{1}{{T_k  + T_n }} + \frac{1}{{T_m  + T_t }}} \right)
\]$

Далее находим условие существования для $x$

$$\[
x = a\frac{{T_k }}{{T_k  + T_n }} = a\frac{{T_m }}{{T_m  + T_t }} \to T_k T_t  = T_m T_n 
\]$

Выполнение равенства

$\[T_k T_t  = T_m T_n \]$

от четырёх переменных является необходимым и достаточным условием решения
расширенной задачи Штейнгауза.
При этом имеем:

$$\[
x = a\frac{{T_m }}{{T_m  + T_t }},y = a\frac{1}{{T_m  + T_t }},b = a\left( {\frac{1}{{T_k  + T_n }} + \frac{1}{{T_m  + T_t }}} \right)
\]$

$$\[ \cdot  \cdot  \cdot \]$

Длинные посты плохо воспринимаются, поэтому я разобью тему по законченным узлам в разных постах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение04.08.2018, 16:43 


21/05/16
4055
Аделаида
Коровьев в сообщении #1330561 писал(а):
Длинные посты плохо воспринимаются, поэтому я разобью тему по законченным узлам в разных постах.

Посты-вставки для анти-слипания нужны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение04.08.2018, 16:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
760
kotenok gav в сообщении #1330563 писал(а):
Посты-вставки для анти-слипания нужны?

Да, но они слипаются, сразу не удалось продолжение темы разместить в следующем посте. :-(

-- Сб авг 04, 2018 17:53:44 --

Продолжение темы.
2. Проверка формул при основном условии существования решений.

$$\[
x = a\frac{{T_m }}{{T_m  + T_t }},y = a\frac{1}{{T_m  + T_t }},b = a\left( {\frac{1}{{T_k  + T_n }} + \frac{1}{{T_m  + T_t }}} \right)
\]$

$$\[
T_k T_t  = T_m T_n  \to \frac{{T_m }}{{T_t }} = \frac{{T_k }}{{T_n }} = q
\]$

Пригодится.

$$\[
T_h ^2  + 1 = C_h ^{ - 2}  = \left( {\frac{{1 + h^2 }}{{1 - h^2 }}} \right)^2 
\]$

Первое уравнение

$$\[
x^2  + y^2  = \left( {a\frac{{T_m }}{{T_m  + T_t }}} \right)^2  + \left( {a\frac{1}{{T_m  + T_t }}} \right)^2  = \left( {a\frac{1}{{T_m  + T_t }}} \right)^2 \left( {T_m ^2  + 1} \right) = \left( {a\frac{{C_m ^{ - 1} }}{{T_m  + T_t }}} \right)^2 
\]$


Второе уравнение

$$\[
\left( {a - x} \right)^2  + \left( {b - y} \right)^2  = \left( {a - a\frac{{T_m }}{{T_m  + T_t }}} \right)^2  + \left( {a\frac{1}{{T_k  + T_n }} + a\frac{1}{{T_m  + T_t }} - a\frac{1}{{T_m  + T_t }}} \right)^2  = 
\]$
$$\[
 = a^2 \left( {\frac{{T_t }}{{T_m  + T_t }}} \right)^2  + a^2 \left( {\frac{1}{{T_k  + T_n }}} \right)^2  = a^2 \left( {\frac{1}{{T_m /T_t  + 1}}} \right)^2  + a^2 \left( {\frac{{T_n ^{ - 1} }}{{T_k /T_n  + 1}}} \right)^2  = \left( {\frac{a}{{q + 1}}} \right)^2 \left( {1 + T_n ^{ - 2} } \right)
\]$


Третье уравнение

$$\[
x^2  + \left( {b - y} \right)^2  = \left( {a\frac{{T_m }}{{T_m  + T_t }}} \right)^2  + \left( {a\frac{1}{{T_k  + T_n }}} \right)^2  = \left( {a\frac{1}{{1 + T_t /T_m }}} \right)^2  + \left( {a\frac{{T_k ^{ - 1} }}{{1 + T_n /T_k }}} \right)^2  = 
\]$
$$\[
 = \left( {a\frac{1}{{1 + q^{ - 1} }}} \right)^2  + \left( {a\frac{{T_k ^{ - 1} }}{{1 + q^{ - 1} }}} \right)^2  = \left( {\frac{a}{{1 + q^{ - 1} }}} \right)^2 \left( {1 + T_k ^{ - 2} } \right)
\]$


Четвёртое уравнение

$$\[
\begin{array}{l}
 \left( {a - x} \right)^2  + y^2  = \left( {a - a\frac{{T_m }}{{T_m  + T_t }}} \right)^2  + \left( {a\frac{1}{{T_m  + T_t }}} \right)^2  =  \\ 
  \\ 
  = \left( {a\frac{{T_t }}{{T_m  + T_t }}} \right)^2  + \left( {a\frac{1}{{T_m  + T_t }}} \right)^2  = \left( {a\frac{1}{{T_m  + T_t }}} \right)^2 \left( {T_t ^2  + 1} \right) \\ 
 \end{array}
\]$

Таким образом, любое решение уравнения $\[T_k T_t  = T_m T_n \]$ и только оно удовлетворяет условиям задачи. Из него находятся и необходимые для данных значений переменных стороны прямоугольника.
Обратная задача, определить являются ли данные стороны прямоугольника решением задачи очень трудная, а может и не всегда решаема.

Таким образом, любое решение уравнения $\[T_k T_t  = T_m T_n \]$ и только оно удовлетворяет условиям задачи. Из него находятся и необходимые для данных значений переменных стороны прямоугольника.
Обратная задача, определить являются ли данные стороны прямоугольника решением задачи очень трудная, а может и не всегда решаема.

Ещё такой момент.
Возможны ли другие решения задачи не входящие в данные решения?
Думаю нет. Исходная система уравнений для $a,b,x,y$ единственна.
Набор значений $a_0,b_0,x_0,y_$ позволяет единственным образом найти $\[T_k_0 ,T_t_0 ,T_m_0 ,T_n_0 \]$ и если они не удовлетворяют условию $\[T_k T_t  = T_m T_n \]$, то и данный набор значений переменных не будет удовлетворять исходной системе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение04.08.2018, 16:54 


21/05/16
4055
Аделаида
Вот я и предлагаю помощь. Пишите продолжение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение04.08.2018, 16:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
760
i]Продолжение[/i]
3. Некоторые двух параметрические решения системы.

Исходные данные

$$\[
x = a\frac{{T_m }}{{T_m  + T_t }},y = a\frac{1}{{T_m  + T_t }},b = a\left( {\frac{1}{{T_k  + T_n }} + \frac{1}{{T_m  + T_t }}} \right)
\]$

$$\[{T_k T_t  = T_m T_n }\]$

Тривиальные решения

$$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 n = t \\ 
 k = m \\ 
 \end{array} \right. \to y = \frac{a}{{T_k  + T_n }}.x = \frac{{aT_k }}{{T_k  + T_n }}.b = \frac{{2a}}{{T_k  + T_n }}
\]$

$$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 n = k \\ 
 t = m \\ 
 \end{array} \right. \to x = \frac{a}{2},b = \frac{a}{2}\left( {\frac{1}{{T_k }} + \frac{1}{{T_m }}} \right),y = \frac{a}{{2T_m }}
\]$


$$\[
t = \frac{{1 - k}}{{1 + k}} \to T_k T_t  = 1,n = \frac{{1 - m}}{{1 + m}} \to T_m T_n  = 1
\]$

$$\[
x = a\frac{{T_m }}{{T_m  + T_t }},y = a\frac{1}{{T_m  + T_t }},b = a\frac{{1 + T_t T_m }}{{T_t  + T_m }}
\]$

У меня есть сложное соотношение

$$\[
T\left( {\frac{{S_p }}{{C_q }}} \right) = \left( {\frac{{2C_q C_p }}{{C_p ^2  + C_p ^2  - 1}}} \right) \cdot T\left( p \right)
\]$

$$\[
T\left( {\frac{{S_q }}{{C_p }}} \right) = \left( {\frac{{2C_q C_p }}{{C_p ^2  + C_q ^2  - 1}}} \right) \cdot T\left( q \right)
\]$

Отсюда получаем соотношение

$$\[
T\left( q \right)T\left( {\frac{{S_p }}{{C_q }}} \right) = T\left( p \right)T\left( {\frac{{S_q }}{{C_p }}} \right)
\]$

или для нашего уравнения

$$\[
k = q,m = p,t = \frac{{S_p }}{{C_q }},n = \frac{{S_q }}{{C_p }}
\]$

Конечно, если всё это подставить в формулы для $x,y,b$ и раскрыть аналоги, то получатся нетривиальные, но ужасные двух параметрические решения системы. Наверняка есть и попроще нетривиальные двух параметрические решения системы из которых можно было бы судить об стороне $b$ для прямоугольника.
Но можно пойти другим путём.
Продолжение для обсуждения будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение04.08.2018, 16:58 


21/05/16
4055
Аделаида
Для анти-слипания. Публикуйте продолжение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение04.08.2018, 17:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
760
Ещё одно продолжение будет, но не скоро.
Надо кой что подправить. Но благодарю за помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение04.08.2018, 18:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
760
В теме О задаче Штейнгауза было показано, что при $a=b=1$ и целых $x,y$ задача не имеет решений.
Выведем одно свойство сторон прямоугольника для существования решений задачи Штейнгауза.

Любое рациональное число представим в виде

$$\[3^m \frac{a}{b}\]$

где $a,b$ целые, взаимно простые и не делящиеся на $3$ числа, $m$ - целое число или нуль.
$m$ в таком числе называется показателем и обозначается

$\[
\nu _{\left( 3 \right)} \left( x \right) = m
\]$

Основные свойства показателей.
(можно посмотреть к примеру в книге Теория чисел. Боревич, Шаферевич в главе $p$-адические числа)

$$\[
\nu _{\left( 3 \right)} \left( {pq} \right) = \nu _{\left( 3 \right)} \left( p \right) + \nu _{\left( 3 \right)} \left( q \right)
\]$

$$\[
\nu _{\left( 3 \right)} \left( {p + q} \right) \ge \min \left( {\nu _{\left( 3 \right)} \left( p \right),\nu _{\left( 3 \right)} \left( q \right)} \right)
\]$

Следствие

Если $$\[
\nu _{\left( 3 \right)} \left( p \right) \ne 0,\nu _{\left( 3 \right)} \left( q \right) \ne 0
\]$

то и

$$\[
\nu _{\left( 3 \right)} \left( {p + q} \right) \ne 0
\]$

Теории достаточно, перейдём к делу.

Теоремка.
При любых рациональных показатель
$$\[
\nu _{\left( 3 \right)} \left( {T_h } \right) = \nu _{\left( 3 \right)} \left( {\frac{{2h}}{{1 - h^2 }}} \right) \ne 0
\]$

Это следует простым перебором остатков по модулю три. Либо в числителе дроби будет остаток ноль, а в знаменателе не ноль, либо наоборот.
Тогда из следствия следует

$$\[
\nu _{\left( 3 \right)} \left( {T_k  + T_n } \right) = \min \left( {\nu _{\left( 3 \right)} \left( {T_k } \right),\nu _{\left( 3 \right)} \left( {T_n } \right)} \right) \ne 0
\]$

Тогда и

$$\[
\nu _{\left( 3 \right)} \left( {\frac{1}{{T_k  + T_n }}} \right) \ne 0
\]$

и

$$\[
\nu _{\left( 3 \right)} \left( {\frac{1}{{T_m  + T_t }}} \right) \ne 0
\]$

а вместе с тем по следствию и

$$\[
\nu _{\left( 3 \right)} \left( {\frac{1}{{T_k  + T_n }} + \frac{1}{{T_m  + T_t }}} \right) \ne 0
\]$

Но

$$\[
\frac{1}{{T_k  + T_n }} + \frac{1}{{T_m  + T_t }} = \frac{b}{a}
\]$

Следовательно

$$\[
\nu _{\left( 3 \right)} \left( {\frac{b}{a}} \right) \ne 0
\]$

А это значит, что

$$\[
{\nu _{\left( 3 \right)} \left( b \right) \ne \nu _{\left( 3 \right)} \left( a \right)}
\]$

И это есть необходимое условие существования решения исходной системы в рациональных числах.

Стороны единичного квадрата в исходной задаче Штейнгауза этому критерию не удовлетворяют. А значит надо опять искать ошибку в выкладках.
:shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение04.08.2018, 21:09 
Заслуженный участник


17/09/10
2045
Конечно, $a^2+b^2=c^2$ не интересный вариант. Вершины прямоугольника и пересечение диагоналей - искомые точки.
Рассмотрим семейство прямоугольников $a=r^2, b=2r-1$, $r>1/2$, ($r$ - рационально), включающее единичный квадрат при $r=1$.
При $r\ne{1}$ на плоскости существует бесконечно много точек, все расстояния от которых до вершин прямоугольника рациональны.
При $r=1$ это проблема Штейнгауза.
Интересно найти другие семейства прямоугольников, обладающих теми же свойствами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение04.08.2018, 22:00 
Аватара пользователя


07/01/16
957
Аязьма
Коровьев в сообщении #1330594 писал(а):
Теории достаточно, перейдём к делу
Следствие, непосредственно перед этой фразой, возможно, некорректно понимаю. Пример, выглядящий как противоречие следствию: $p=\dfrac7 3,q=\dfrac5 3:\nu_{(3)}(p)=\nu_{(3)}(q)=-1,\nu_{(3)}(p+q)=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение04.08.2018, 23:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
760
waxtep в сообщении #1330635 писал(а):
Коровьев в сообщении #1330594 писал(а):
Теории достаточно, перейдём к делу
Следствие, непосредственно перед этой фразой, возможно, некорректно понимаю. Пример, выглядящий как противоречие следствию: $p=\dfrac7 3,q=\dfrac5 3:\nu_{(3)}(p)=\nu_{(3)}(q)=-1,\nu_{(3)}(p+q)=0$


Вы всё верно подметили.
Следствие верно или при неравных показателях или при обеих неотрицательных показателях. При равных отрицательных показателях следствие может быть и не верно, как показывает Ваш тривиальный контрпример
Следовательно всё, что написано ниже "следствия" можно кинуть в топку и не мучаться поиском ошибки. :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение15.08.2018, 17:34 


16/08/05
1117
Возможно ли "тригонометрически" построить параметризацию геронова треугольника с одной (или больше) натуральной медианой?

Другая возможно интересная задача - параметризовать два (или больше) пифагоровых треугольника с одним общим катетом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение29.07.2019, 00:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
760
Рассмотрим числовую матрицу:
$\[
\left( {\begin{array}{\cdot{20}c}
   {{\rm{4/5}}} & {{\rm{ - 9/25}}} & {{\rm{12/25}}}  \\
   {{\rm{ - 36/65}}} & {{\rm{ - 244/325}}} & {{\rm{9/25}}}  \\
   {{\rm{3/13  }}} & {{\rm{ - 36/65}}} & {{\rm{  - 4/5}}}  \\
\end{array}} \right)
\]
$

Если считать каждую строку и каждый столбец как вектор, то длина каждого вектора равна единице. Скалярное произведение любых двух векторов-строк или любых двух векторов-столбцов равны нулю. Определитель матрицы равен единице.
Найдите параметрические решения для подобных числовых матриц.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 77 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group