2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение02.05.2021, 02:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
760
Итак, множество точек $z$-плоскости вида
$$\[
D\left( t \right) = E^2 \left( t \right) = \left( {C\left( t \right) + S\left( t \right)i} \right)^2  = \left( {\frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }} + \frac{{2t}}{{1 + t^2 }}i} \right)^2 
\]$
с рациональным аргументом $t$ обладает таким свойством, что
- расстояние на $z$-плоскости между двумя любыми точками этого множества всегда рационально.
- три любые точки этого множества на $z$-плоскости образуют треугольник Герона - все стороны и площадь рациональны.
(и вообще $n$ любых точек на $z$-плоскости образуют $n$-угольник, у которого все стороны и все диагонали рациональны.)
И здесь есть вопрос, а существует ли среди всех этих треугольников хотя бы один прямоугольный треугольник?
Пока это не известно, ибо существование такого треугольника равносильно существованию полного рационального кубоида.
В самом деле, у полученных треугольников все стороны $a,b,c$ определяются
так: $$\[
a = 2S\left( m \right),b = 2S\left( n \right),c = 2S\left( k \right)
\]$
при некоторых рациональных $\[m,n,k\]$.
Если треугольник прямоугольный, то должно быть равенство:

$$\[
S^2 \left( m \right) + S^2 \left( n \right) = S^2 \left( k \right)
\]$,

а это есть уравнение для полного кубоида.
Пусть стороны кубоида равны

$$\[
a = S\left( m \right),b = S\left( n \right),c = C\left( k \right)
\]$

тогда

$\[
d_{abc} ^2  = S^2 \left( m \right) + S^2 \left( n \right) + C^2 \left( k \right) = 1
\]$

$$\[
d_{ab}^2  = S^2 \left( m \right) + S^2 \left( n \right) = S^2 \left( k \right)
\]$

$$\[
d_{bc} ^2  = S^2 \left( n \right) + C^2 \left( k \right) = 1 - S^2 \left( m \right) = C^2 \left( m \right)
\]$

$$\[
d_{ca} ^2  = S^2 \left( m \right) + C^2 \left( k \right) = 1 - S^2 \left( n \right) = C^2 \left( n \right)
\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение02.05.2021, 10:20 


03/03/12
1344
Коровьев в сообщении #1516356 писал(а):
существует ли среди всех этих треугольников хотя бы один прямоугольный треугольник?

Что известно про тупоугольные и остроугольные?

Спрашиваю потому, что Ваша проблема похожа на проблему Шарыгинских треугольников.

(Оффтоп)

Для них исходная схема имела вид: {тупоугольные; прямоугольные; остроугольные}. Обозначение $\{1;2;3\}$. Вопрос $\{1_?/2_-;3_-\}$. Знак плюс означает "существование целочисленных Шарыгинских треугольников". Оказалось, что схема имеет вид $\{1_+/2_-;3_-\}$, т.к. в результате численного эксперимента таки нашлись целочисленные тупоугольные Шарыгинские треугольники.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 77 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group